¨Ubung Angewandte Mathematik 2

UE Ang. Mathematik 2, SS 2009Gerhard Mitterlechner28.3. 2009 MMT, FH Salzburg4. Übungsblatt zurÜbung Angewandte Mathematik 2Die folgenden Aufgaben sind bis zum 1.4. zu lösen.1. Gegeben sind zwei Objekte A und B mit derselben Ausrichtung. Rotieren Sie Objekt A um90 ◦ um x, Objekt B 90 ◦ um y. Wie sieht die Rotationsquaternion von Objekt A aus, um A sorotieren dass es die gleiche Ausrichtung wie B bekommt?Hinweis: Hier müssen Sie die Rotationsquaternionen dividieren.2. Gegeben ist ein Objekt mit einer Ist-Ausrichtung q 0 und einer Soll-Ausrichtung q 1 . Das Objektsoll in 10 Frames von der Ist-Ausrichtung in die Soll-Ausrichtung gleichmäßig animiert werden.Berechnen Sie die Rotationsquaternion ∆q, die der Drehung in einem Frame entspricht.q 0 = 0.5 + 0.5i + 0.5j + 0.5k , q 1 = 0.5 + 0.5i + 0.5j − 0.5k3. Man will Objekte um 120 ◦ um die Achse ⃗u rotieren. Bilden Sie die zugehörige Rotationsquaternionund rotieren Sie damit die Vektoren ⃗x, ⃗y & ⃗z.⎛ ⎞1⃗u = ⎝ 1 ⎠ ,⎛ ⎞1⃗x = ⎝ 0 ⎠ ,⎛ ⎞0⃗y = ⎝ 1 ⎠ &⎛ ⎞0⃗z = ⎝ 0 ⎠ .1001Wie sieht die Rotationsmatrix der gegebenen Rotation aus? Hinweis: Die Spalten der Matrixsind die Bilder der Einheitsvektoren.4. Zeigen Sie, dass eine Rotationsquaternion immer eine Einheitsquaternion ist, dass also gilt:|q| = 1.5. Für Rätsellöser: Zeigen Sie, dass folgende Gesetze für das Rechnen mit i, j und k ausreichen:i 2 = j 2 = k 2 = −1 & ij = kZeigen Sie also alle fehlenden Gesetze, wie −ji = k oder ki = j, nur mit den obigen Gesetzen.Achten Sie auf die Reihenfolge der Multiplikation!1