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Technische Universität BerlinInstitut für Theoretische PhysikProf. Dr. K.-E. HellwigDipl. Phys. Tobias Prager 29. Juni 20011. Übungsblatt zur QuanteninformationstheorieAufgabe 1: BlochkugelZustände auf einem (endlichdimensionalen) Hilbertraum werden durch Dichtematrizen,d.h. selbstadjungierte positive Matrizen mit Spur 1 dargestellt. Der Zustand eines Qubitsist also eine positive 2 × 2-Matrix mit Spur 1. Eine Basis des reelen Vektorraumes derselbstadjungierten 2 × 2-Matrizen sind die Identität und die drei Pauli-Matrizen1 =(1 00 1), σ x =(0 11 0), σ y =(0 −II 0), σ z =(1 00 −1d.h. jede selbstadjungierte 2 × 2-Matrix A läßt sich darstellen als A = 1 2 (c 11 + c x σ x +c y σ y + c z σ z ) mit c 1 , c x , c y , c z ∈ R (Der Faktor 1 2ist Konvention).1. Welche Einschränkungen muß man an die Koeffizienten c 1 , c x , c y , c z stellen damitdie Matrix A positiv ist und tr A = 1 gilt, A also ein Zustand ist?2. Welche zusätzliche Forderung muß erfüllt sein, damit A ein reiner Zustand (Projektor)ist ?3. Der Vektor (c x , c y , c z ) heißt Blochvektor des Zustandes ρ = 1 2 (1+c xσ x +c y σ y +c z σ z ). Wie sieht die Menge aller Blochvektoren aus? Wo liegen die Blochvektorender reinen Zustände in dieser Menge? Wo liegen die Blochvektoren der Eigenvektorender Paulimatrizen?),Aufgabe 2: Shannon-EntropieMan betrachte eine Menge von Ereignissen {E i } n i=1 , die mit den Wahrscheinlichkeiten{p i } n i=1 eintreten. Dabei kann man zum Beispiel an ein Münzwurfexperiment(E 1 =”Kopf fällt”, E 2 =”Zahl fällt”, p 1 = p 2 = 1 2) oder an den Empfang einerbestimmten Nachricht aus einer Menge von mögliche Nachrichten denken. An die InformationI, die das Eintreten eines bestimmten Ereignisses liefert, kann man einigenatürliche Forderungen stellen:• I hängt nur von der Wahrscheinlichkeit des eingetretenen Ereignis ab, d.h. I i =I(p i ), und zwar stetig• I ist additiv, d.h. die Information die das Eintreten von zwei unabhängigen Ereignissenliefert, ist gleich der Summe der Informationen die das Eintreten derEinzelereignisse liefert1. Formalisieren Sie die letzte Forderung (Was gilt für die Wahrscheinlichkeit für dasgemeinsame Auftreten von voneinander unabhängigen Ereignissen?). Zeigen Sie,daß die Funktion I bis auf einen konstanten Faktor durch diese zwei Forderungeneindeutig bestimmt ist. Wie sieht sie aus? Bestimmen sie den konstanten Faktor,so daß ein Ereignis, das mit der Wahrscheinlichkeit 1 2auftritt, die Information 1hat.2. Der durchschnittliche Informationsgewinn beim Eintreten eines Ereignisses aus einer∑Menge von möglichen Ereignissen ist gegeben durch H({p i } n i=1 ) =ni=1 p iI(p i ). Für welche Wahrscheinlichkeitsverteilung {p i } n i=1 nimmt H, dieShannon-Entropie, ihr Maximum, für welche ihr Minimum an? Wie groß sinddiese Werte?

1. Übungsblatt zur Quanteninformationstheorie 29. Juni 2001Aufgabe 3: No-Cloning TheoremKlassische Information, z.B. der Zustand eines klassischen Bits 0 oder 1 läßt sich beliebigkopieren. Für Quanteninformation, daß heißt den Zustand |φ〉 eines quantenmechanischenSystems gilt das nicht.1. Zeigen Sie, daß es keinen “unitären” Quantenkopierer gibt, d.h. keine unitäreTransformation U die aus einem beliebigen Zustand |φ〉 und einem Zustand |0〉(das weiße Blatt) zwei Kopien des Zustandes |φ〉 erzeugt,U(|φ〉 ⊗ |0〉) = |φ〉 ⊗ |φ〉 ∀ |φ〉 .2. Welche Bedingung müssen die Zustände |φ 1 〉 bis |φ n 〉 erfüllen, damit sie kopiertwerden können, es also eine unitäre Transformation U gibt mitU(|φ i 〉 ⊗ |0〉) = |φ i 〉 ⊗ |φ i 〉∀i ∈ [1, . . . , n].Wie groß ist n maximal bei gegebener Dimension des Hilbertraumes ?