Theoretische Optik - Institut für Theoretische Physik

Institut für Theoretische PhysikTechnische Universität BerlinTheoretische OptikUdo ScherzWintersemester 2007/08

1 Elektromagnetische FelderDie Optik befasst sich im Wesentlichen mit der Wechselwirkung elektromagnetischer Felder mit Materiein einem bestimmten Energiebereich. Wir untersuchen hier neben dem sichtbaren Licht mit Energienvon 2 – 4 eV auch den infraroten und ultravioletten Spektralbereich und betrachten Materie in Form vonfreien oder gebundenen Atomen, also Festkörper, Flüssigkeiten und Gase. Bei einer Energieänderung∆E sind Kreisfrequenzen um ω = ∆E¯h und Schwingungsdauern T = 2π ω = h∆E betroffen. Wirinteressieren uns nur für Prozesse mit Beobachtungsdauern t ≫ T , d.h. ohne Berücksichtigung vonEinschwingvorgängen. Dann kann die quantenmechanische Goldene Regel für optische Übergänge angewandtwerden. Außerdem muss die Wellenlänge λ = cT =hc groß sein gegenüber der Ausdehnung∆Eeines Atoms, um eine einfache Kopplung zwischen Atomen und der elektromagnetischen Strahlunganzusetzen.Zudem werden die geometrische Optik, die Beugung und die Interferenz vom Verhältnis derWellenlänge zu den begrenzenden Gerätedimensionen bestimmt.

1.1 Punktmechanik und elektromagnetische FelderKlassische Mechanik eines Massenpunktesohne elektromagnetische Felderm ¨R(t) = F(R, t)invariant gegen Galilei-Transformationennicht relativistischKlassische Feldtheorie der Felder E, Bim Vakuum ρ = 0, j = 0∇ × E = −Ḃ, ∇ × B = µ 0ε 0 Ė∇ · B = 0, ∇ · E = 0invariant gegen Lorentz-TransformationenrelativistischElektromagnetische Felder verursachendie Bahnkurve R(t) des Massenpunktesder elektrischen Ladung em ¨R(t) = F L (R, t)mit der Lorentz-Kraft(F L R(t), Ṙ(t) ) = e ( E + Ṙ(t) × B) .Eine Punktladung auf einer Bahnkurveρ(r, t) = eδ ( r − R(t) )j(r, t) = eṘ(t)δ( r − R(t) )ist Ursache elektromagnetischer Felder∇ · E = ρ/ε 0 ,mit ˙ρ + ∇ · j = 0.∇ × B = µ 0 ε 0 Ė + µ 0 jElektromagnetische Feldenergie wird inmechanische Energie verwandelt.Mechanische Energie wird in elektromagnetischeFeldenergie verwandelt.

1.2 Feldgleichungen makroskopischer FelderBei makroskopischer Beobachtung kann die räumliche Ausdehnung von Atomen und Molekülen sowiederen Abstände in Festkörpern und Flüssigkeiten nicht mehr aufgelöst werden. Ebenso lässt sichdie dynamische Bewegung innerhalb der quantenmechanischen Systeme nicht mehr zeitlich verfolgen.Daher werden experimentell die räumlichen und zeitlichen Mittelwerte der Observablen beobachtet.Die Feldgleichungen solcher makroskopischer Felder sind dann∇ × E = −Ḃ ; ∇ · B = 0 ; ε 0µ 0 = 1 c 2∇ × H = Ḋ + j ; ∇ · D = ρ ; D = ε 0E + P ; H = 1 B − M,µ 0mit den makroskopischen Observablen der Materieρ(r, t) : elektrische Ladungsdichtej(r, t) : elektrische StromdichteP(r, t) : elektrische Dipoldichte oder PolarisationM(r, t) : magnetische Dipoldichte oder Magnetisierung.Im Vakuum gilt ρ = 0, j = 0, P = 0, M = 0 und wegen D = ε 0 E und µ 0 H = B erhält man∇ × E = − Ḃ ; ∇ · E = 0∇ × B = 1 c 2 Ė ; ∇ · B = 0 mit den Wellengleichungen∆E − 1 c 2 Ë = 0∆B − 1 c 2 ¨B = 0.

Berechnung der makroskopischen FelderEs existiert noch keine geschlossene Theorie der Wechselwirkung elektromagnetischer Felder mit derMaterie.Dies würde die Verknüpfung der relativistischen Quantenmechanik mit der quantisiertenElektrodynamik erfordern. In vielen Fällen genügt es aber, auf spezielle experimentelle Fragestellungenspezielle Lösungen für die Materialeigenschaften zu berechnen. Zum Beispiel kann man im stationärenFall die makroskopische Ladungsdichte ρ(r) eines Systems gebundener Atome aus einer mikroskopischenElektronendichte n Elektr (r) und Ionendichte n Ion (r) durch eine räumliche Mittelung mit geeignetenkleinen Volumenelementen ∆V k erhaltenρ(r) =〈 〈e0n Ion (r) − e 0 n Elektr (r) 〉〉 =〈 ∑k∫1∆V k∆V k[e0 n Ion (r − r ′ ) − e 0 n Elektr (r − r ′ ) ] d 3 r ′〉 ,wobei auf der rechten Seite noch eine Glättung der Stufenfunktion erfolgt.Dabei lässt sich diemikroskopische Elektronendichte etwa mit Hilfe der quantenmechanischen Dichtefunktionaltheorieberechnen.Entsprechend findet man eine makroskopische Polarisation aus den atomaren elektrischen Dipolmomentenund die makroskopische Magnetisierung aus den atomaren magnetischen Dipolmomenten.

1.3 Energie elektromagnetischer FelderAus dem Induktionsgesetz ∇ × E = −Ḃund dem Durchflutungsgesetz ∇ × H = Ḋ + j folgt mit demPoynting-Vektor s = E × H, der die Dimension einer Energiestromdichte (Jm −2 s −1 ) hat,−∇ · s = −∇ · (E × H) = E · (∇ × H) − H · (∇ × E) = E · Ḋ + H · Ḃ + j · E.∫Dann gilt für ein ∫ endliches Volumen V mit der Oberfläche ∂V und mit dem Integralsatz von Gauß∇ · s d 3 r = s · d 2 fV∂V∫(E · Ḋ + H · Ḃ) d 3 rV} {{ }Änderung der in V enthaltenenFeldenergie pro Sekunde∫∫+ s · d 2 f = − j · E d 3 r∂V} {{ }}V{{ }durch die Oberflächepro Sekunde nach außenströmende FeldenergieUmwandlung von Feldenergiepro Sekunde innerhalb Vin andere EnergieDann istdu = E · dD + H · dBdie infinitesimaleinhomogene KontinuitätsgleichungÄnderung der Feldenergie pro Volumeneinheit und lokal gilt die∂u∂t + ∇ · s = −j · EEnergiebilanzgleichung.

Einsetzen der Materialgleichungen D = ε 0 E + P und B = µ 0 H + µ 0 M ergibt für die Feldenergiedu = ε 0 E · dE + E · dP + µ 0 H · dH + µ 0 H · dM= ε 0 d ( 12 E2) } {{ }Energie deselektrischen Feldes+ E · dP} {{ }Polarisationsenergie+ µ 0 d ( 12} {{ H2) + µ 0 H · dM.} } {{ }Energie desMagnetisierungsenergiemagnetischen FeldesDas elektrische Feld E leistet im Medium die Polarisationsarbeit E P pro Volumeneinheitund das Magnetfeld H die Magnetisierungsarbeit E M , die im Medium in Wärme umgewandelt wirdE P = −∫ E0∫ HE · dP und E M = −µ 0 H · dM.0Gilt speziellP = (ε r − 1)ε 0 EM = χHmit der FolgeD = ε r ε 0 EB = µ r µ 0 H,µ r = 1 + χmit den konstanten Skalaren der relativen Dielektrizitätskonstanten ε r , der relativen Permeabilität µ rund der magnetischen Suszeptibilität χ, so erhält man für die elektromagnetische Feldenergiedu = E · dD + H · dB = d ( 12 ε rε 0 E 2) + d ( 12 µ rµ 0 H 2) bzw. u = 1 2 E · D + 1 2 H · B.Damit ergibt sich für die an die Materie abgegebene elektromagnetische Feldenergie pro VolumeneinheitE P = − 1 2 (ε r − 1)ε 0 E 2 und E M = − 1 2 µ 0χH 2 .

1.4 Elektrodynamische PotenzialeDie magnetische Induktion B(r, t) ist quellenfrei ∇ · B = 0, und lässt sich daher durch ein VektorpotenzialA(r, t) ausdrücken: B = ∇ × A, wobei noch über die Quellen ∇ · A von A verfügt werdenkann. Das Induktionsgesetz lautet dann ∇ × E + Ḃ = ∇ × (E + Ȧ) = 0, sodass ein skalares Potenzialφ(r, t) existiert mit der Eigenschaft E + Ȧ = −∇φ. Daher giltB = ∇ × A und E = −Ȧ − ∇φ.Dann sind die beiden homogenen Feldgleichungen erfüllt, und die bei gegebenen ρ(r, t) und j(r, t)inhomogenen Feldgleichungen ergeben sich für das Vakuum P = 0, M = 0, B = µ 0 H, D = ε 0 E mitder Lorentz-Konvention∇ · A + 1 c 2 ˙φ = 0 mit ε 0 µ 0 = 1 c 2zu inhomogenen Wellengleichungen mit dem Wellenoperator = 1 ∂ 2c 2 ∂t 2 − ∆( 1 ∂ 2 )( 1c 2 ∂t 2 − ∆ ∂ 2 )A = A = µ 0 j undc 2 ∂t 2 − ∆ φ = φ = 1 ρ Potenzialgleichungen.ε 0Damit ist die Kontinuitätsgleichung ˙ρ + ∇ · j = 0 erfüllt, denn es gilt mit der Lorentz-Konvention fürdie elektrische Ladung und Stromdichte ˙ρ = ε 0˙φ und ∇ · j =1µ 0∇ · A mit der Folge˙ρ + ∇ · j = 1 µ 0(ε0 µ 0 ˙φ + ∇ · A)= 0.

Die vier Felder A(r, t), φ(r, t) sind dadurch nur bis auf eine Eichtransformation mit f(r, t) bestimmtA ′ = A + ∇f und φ ′ = φ − ∂f∂twobei A ′ und φ ′ mit A und φ die Lorentz-Konvention erfüllen.mit der Bedingung f = 0,Zum Beweise berechnet manE ′ = −Ȧ′ − ∇φ ′ ⇒ − ∂ (∂t (A + ∇f) − ∇ φ − ∂f )= −Ȧ ∂t− ∇φ = EB ′ = ∇ × A ′ ⇒ ∇ × (A + ∇f) = ∇ × A = B∇ · A + 1 c ˙φ 2 = 0 ⇒ ∇ · (A + ∇f) + 1 ∂(c 2 φ − ∂f )= ∇ · A + 1 ∂t ∂tc ˙φ 2 − f = 0.Die Lösungen der inhomogenen Wellengleichungen A = µ 0 j und φ = 1 ε 0ρ setzen sich ausden Lösungen A hom bzw. φ hom der homogenen Wellengleichungen A = 0 und φ = 0 und denpartikulären integralen A pI bzw. φ pI zusammen.Letztere lassen sich mit Hilfe der retardierten (oder avancierten) Greenschen FunktionG(r, t; r ′ , t ′ ) = 1 δ ( t − t ′ − |r − r ′ |/c ) ( 1 ∂ 2 )4π |r − r ′ mit|c 2 ∂t 2 − ∆ G(r, t; r ′ , t ′ ) = δ(r − r ′ )δ(t − t ′ )berechnenφ pI (r, t) =A pI (r, t) =∫∫G(r, t; r ′ , t ′ ) 1 ρ(r ′ , t ′ ) d 3 r ′ dt ′ = 1 ∫ (ρ r ′ , t − |r − r ′ |/c )ε 0 4πε 0 |r − r ′ d 3 r ′|G(r, t; r ′ , t ′ )µ 0 j(r ′ , t ′ ) d 3 r ′ dt ′ = µ ∫ (0 j r ′ , t − |r − r ′ |/c )4π |r − r ′ d 3 r ′ .|

Anwendungsbeispiel ElektrostatikIm stationären Fall erhält man entsprechend die allgemeine Lösung φ = φ pI + φ homGleichung ∆φ = − 1 ε 0ρ in der Elektrostatik.Die Greensche Funktion ist bestimmt durch die Differenzialgleichung∆G(r, r ′ ) = δ(r − r ′ ) mit der Lösung G(r, r ′ ) = − 14πDamit erhält man das partikuläre Integral der Poisson-Gleichung∫φ pI (r) = G(r, r ′ ) ρ(r′ )d 3 r ′ = 1 ∫ρ(r ′ )−ε 0 4πε 0 |r − r ′ | d3 r ′ ,1|r − r ′ | .der Poisson-denn es ist∫∫∆φ pI (r) = ∆G(r, r ′ ) ρ(r′ )d 3 r ′ = δ(r − r ′ ) ρ(r′ )d 3 r ′ = − ρ(r) .−ε 0 −ε 0 ε 0Die zugehörige Lösung der homogenen Differenzialgleichung ∆φ = 0 lautet in Kugelkoordinatenr : r, ϑ, ϕ und entwickelt nach Kugelfunktionen Y lm (ϑ, ϕ)φ hom (r) =∞∑l∑l=0 m=−l(a lm r l + b lmr l+1 )Y lm (ϑ, ϕ)mit beliebigen Integrationskonstanten a lm und b lm . Speziell ergibt sich wegen Y 00 (ϑ, ϕ) = 1 √4πalskugelsymmetrische Lösung das Coulomb-Potenzialφ hom (r) = a + b r .

1.5 Liénhard-Wiechert-PotenzialeBei vorgegebener elektrischer Ladungsdichte ρ(r, t) hat die Potenzialgleichung( 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 − ∆ φ(r, t) = 1 ρ(r, t)ε 0als partikuläres Integral die retardierte Lösungφ(r, t) = 1 ∫ ρ(r ′ , t ′ )(4πε 0 |r − r ′ | δ t ′ − t + 1 )c |r − r′ |d 3 r ′ dt ′ .Für einen Massenpunkt der Ladung q auf einer vorgegebenen Bahnkurve x(t) ist die Ladungdichteρ(r ′ , t ′ ) = qδ ( r ′ − x(t ′ ) ) . Zur Abkürzung sei R(t ′ ) = r − x(t ′ ) mit R(t ′ ) = ∣ R(t ′ ) ∣ , dann istφ(r, t) =q ∫14πε 0 R(t ′ ) δ( t ′ − t + 1 c R(t′ ) ) dt ′u = t ′ − t + 1 c R(t′ )= q4πε 0∫δ(u) duR(t ′ ) − 1 c R(t′ ) · ẋ(t ′ )[R(t′ ) − 1 c R(t′ ) · ẋ(t ′ ) ] t ′ + 1 c R(t′ )=t= q4πε 01.mitdudt ′ = 1 + 1 c Ṙ(t′ ) = 1 − R(t′ ) · ẋ(t ′ )cR(t ′ )dt ′R(t ′ ) =duR(t ′ ) − 1 c R(t′ ) · ẋ(t ′ )Entsprechend ist die retardierte Lösung des Vektorpotenzials A(r, t) mit der elektrischen Stromdichtej(r ′ , t ′ ) = qẋ(t ′ )δ ( r ′ − x(t ′ ) ) der Punktladung q auf der Bahnkurve x(t ′ )A(r, t) = µ [04π q ẋ(t ′ ])R(t ′ ) − 1 c R(t′ ) · ẋ(t ′ )t ′ + 1 c R(t′ )=t.

2 Elektromagnetische Wellen2.1 MaterialgleichungenDie makroskopischen Feldgleichungen enthalten die Polarisation oder elektrische Dipoldichte P(r, t)D = ε 0 E + P mit [ε 0 ] = C2Nm 2 ;[ ] V E =m und [ P ] = C m 2 = Cmm 3elektr. Dipolmoment=Volumenund die Magnetisierung oder magnetische Dipoldichte M(r, t)M = 1 B − H mit [µ 0 ] = Vsµ 0 Am ; [ ] VsB = T =m 2 und [ M ] = Am2m 3=magn. Dipolmoment,Volumendie den Einfluss der Materie auf die Felder beschreiben.Wird z.B. an einen Festkörper ein elektrisches Feld E(r, t) ohne ein B-Feld angelegt, so ist diedadurch induzierte Polarisation allgemein ein Funktional der elektrischen Feldstärke P = P [ E ] (r, t).In den hier interessierenden Fällen sind die äußeren Felder nur klein im Vergleich zu den inneren Feldernder Atome, und in der linearen Optik hat P = (P 1 , P 2 , P 3 ) mit E = (E 1 , E 2 , E 3 ) die Form3∑∫P j (r, t) = ε 0 χ e jk (r, r′ , t, t ′ )E k (r ′ , t ′ ) d 3 r ′ dt ′ .k=1Ist der Festkörper speziell homogen und isotrop, hängt χ e jk = δ jkχ e nur von |r − r ′ | ab, und imstationären Fall nur von t − t ′ .

Im einfachsten Fall ohne Fernwirkung und Gedächtniseffekt gilt bei dielektrischen und parelektrischenStoffen P = ε 0 χ e E mit skalarem und konstantem χ e . Dann istD = ε 0 E + P = ε 0 ε r E mit ε r = 1 + χ e und 1 ≤ ε r ≤ 10 2 .In der nichtlinearen Optik schreibt man für die Polarisation P = (P 1 , P 2 , P 3 )P ν (r, t) = ε 03∑µ=11,2,3χ e νµ E ∑µ(r, t) + ε 0µ,ρ1,2,3χ (2)νµρ E ∑µ(r, t)E ρ (r, t) + ε 0Entsprechend erhält man im einfachsten Fall bei dia- und paramagnetischen Stoffenµ,ρ,τM = χH und B = µ 0 H + µ 0 M = µ 0 µ r H mit µ r = 1 + χ,χ (3)νµρτ E µ(r, t)E ρ (r, t)E τ (r, t).und man beobachtet χ < 0 mit |χ| = 10 −5 − 10 −6 bei diamagnetischen Stoffenχ > 0 mit χ = 10 −4 − 10 −5 bei paramagnetischen Stoffen.Bei ferromagnetischen Stoffen ( ) wird M = M(H) vom Wege abhängig und nichtlinear (Hysteresisschleife).Man setzt χ =mit χ = 10 − 10 3 .∂M∂HH=0Bei der elektrischen Stromdichte gilt nur im einfachsten Fall das Ohmsche Gesetz j = σE miteiner skalaren elektrischen Leitfähigkeit σ. Allgemeiner hat man bei Kristallen mit j = (j 1 , j 2 , j 3 )j k =3∑σ kl E l +l=11,2,3∑l,mσ klm E l B m + . . . .

2.2 Ebene WellenWir betrachten zunächst stationäre, homogene, isotrope, dielektrische oder parelektrischeund dia- oder paramagnetische Stoffe: D = ε 0 ε r E = εE und B = µ 0 µ r H = µH mitεµ = ε 0 µ 0 ε r µ r = ε rµ rc 2= n2c 2 = 1 v 2 und n = c v = √ ε r µ rohne Ladungsdichte ρ = 0 und Stromdichte j = 0. Aus den Maxwell-Gleichungen∇ × E = −Ḃ ; ∇ · D = 0 ; ∇ × H = Ḋ ; ∇ · B = 0findet man ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∇ × Ḃ = −µ∇ × Ḣ = −εµË die Wellengleichungen( 1v 2 ∂ 2∂t 2 − ∆ )E = 0und( 1v 2 ∂ 2∂t 2 − ∆ )B = 0.1) Linear polarisierte ebene Wellen:Der Lösungsansatz: E(r, t) = E 0 cos{k · r − ωt}ergibt die Dispersionsbeziehung − ω2v 2 + k2 = 0 bzw. ω(k) = v|k| > 0mit dem Ausbreitungsvektor k, der Kreisfrequenz ω und der Phasengeschwindigkeit v = √ 1 . εµ

Aus ∇ × E = −k × E 0 sin{k · r − ωt} = −Ḃ folgt B(r, t) = k × E 0cos{k · r − ωt} + B 1 (r). Setzt manωeine konstante magnetische Induktion zu Null B 1 (r) = 0, erhält man B(r, t) = B 0 cos{k · r − ωt} undes ergeben sich Transversalwellen∇ · E = 0 ⇒ k · E 0 = 0 ; E 0 ⊥ k∇ · B = 0 ⇒ k · B 0 = 0 ; B 0 ⊥ kB 0 = k × E 0ω⇒ E 0 · B 0 = 0 ; E 0 ⊥ B 0Die Energiestromdichte ergibt sich aus dem Poynting-Vektor s = E × Hs = E 0 × (k × E 0 )µωcos 2 {k · r − ωt} = k E2 0µω cos2 {k · r − ωt}und die Energiedichte ist u = 1 2 E · D + 1 2H · B = E · D, denn es ist wegenk2µω 2 = ε12 E · D = ε 2 E2 = ε 2 E2 0 cos 2 {k · r − ωt}12 H · B = 12µ B2 = (k × E 0) 22µω 2 cos 2 {k · r − ωt} = k2 E 2 02µω 2 cos2 {k · r − ωt} = 1 2 E · D.Der zeitliche und räumliche Mittelwert der Energiestromdichte ist wegen 〈 cos 2 {k · r − ωt} 〉 = 1 2〈s〉 =〈 k|k|〉|k|µω E2 0 cos 2 {k · r − ωt}= k|k||k|2µω E2 0 und 〈u〉 = ε 2 E2 0.

2) Zirkular oder elliptisch polarisierte ebene WelleWir betrachten eine ebene Welle in z-Richtung mit k = (0, 0, k), E = (E x , E y , 0) und erhaltenE x = E 1 cos{kz − ωt}E y = E 2 cos{kz − ωt + ϕ}E yE 2= E xE 1cos ϕ −√1 − E2 xE 2 1sin ϕfolgt⇒wegencos{α + β} = cos α cos β − sin α sin βcos{kz − ωt + ϕ} = cos{kz − ωt} cos ϕ − sin{kz − ωt} sin ϕ(ExE 1cos ϕ − E yE 2) 2=( )1 − E2 xE12 sin 2 ϕE 2 xE 2 1+ E2 yE 2 2− 2 E xE yE 1 E 2cos ϕ = sin 2 ϕ.Speziell für den Phasenwinkel ϕ = ± π 2gilt die Ellipsengleichung E2 xE 2 1+ E2 yE22= 1,und die Welle ist für E 1 = E 2 zirkular polarisiert.yE 2EψE 1 xMit ψ = kz − ωt findet man E yE xE 1E 2= cos ϕ − tan ψ sin ϕ.Für ϕ = π 2 gilt E y E 1= − tan ψ und die elliptische Welle ist links polarisiert.E x E 2Entsprechend für ϕ = − π rechts polarisiert. Der Zeiger E dreht sich2links polarisiert: bezüglich t im mathematisch positiven Sinn und bezüglich z im Uhrzeigersinn,rechts polarisiert: bezüglich t im Uhrzeigersinn und bezüglich z im mathematisch positiven Sinn.

3) Allgemeine Lösungen der WellengleichungSei u(r, t) eine Komponente ( ) der Vektoren E(r, t) oder B(r, t), dann ist die allgemeine Lösung derWellengleichung − ∆ u = 0 : u(r, t) = f(k · r − ωt) + g(k · r + ωt) mit ω 2 (k) = v 2 k 2 ,1 ∂ 2v 2 ∂t 2∂denn es gilt für beliebige, zweimal differenzierbare f und g:2 f∂t= ω 2 f ′′ und ∆f = k 2 f ′′ . Hier2beschreibt f den auslaufenden Teil in Richtung k und g den einlaufenden in Richtung −k. Ist etwau(r, 0) zur Zeit t = 0 gegeben, so erfüllt u(r ∓ nvt, 0) die Wellengleichung und die Anfangsbedingung,wobei n = k mit k = |k| die Ausbreitungsrichtung angibt.kDie beiden Lösungen der linearen und homogenen Wellengleichung mit Ausbreitung in Richtung kcos{k · r − ωt} und sin{k · r − ωt} sind linear unabhängig und in exp { i(k · r − ωt) }enthalten. Wegen ω(k) = vk = ω(k) setzt man ω(−k) = ω(k) und mit k = (k, 0, 0) stellen dannu(x, t) = a(k) exp { i(kx − ωt) } und u(x, t) = a(−k) exp { i(−kx − ωt) }zwei linear unabhängige Lösungen mit beliebigen Amplituden a(k) und a(−k) dar. Die allgemeineLösung kann also mit der Realitätsbedingung A(k) = A ∗ (−k) in der Formu(x, t) =∫ ∞−∞A(k) exp { i(kx − ω(k)t) } dk =∫ ∞−∞A(k) exp { ik(x − vt) } dk = u(x − vt, 0)geschrieben werden, wobei u(x, t) und A(k) unterschiedliche Dimensionen haben [ A(k) ] = m [ u(x, t) ] .Das Integral kann als Fourier-Transformation des Anfangswertproblems aufgefasst werden∫ ∞u(x, 0) = A(k) exp{ikx} dk und A(k) = 1 ∫ ∞u(x, 0) exp{−ikx} dx.2π−∞−∞

2.4 Optische KonstantenDie in den Feldgleichungen verwendeten Materialkonstanten ε = ε r ε 0 , µ = µ r µ 0 und σ sind zunächstmit den statischen Feldern oder im elektrischen Bereich bestimmt. In optischen Frequenzbereichenwird stattdessen der Brechungsindex und der Absorptionskoeffizient gemessen. Den Zusammenhangerhält man über die Messung der gemittelten Intensität des Lichtes, siehe Abschn. 2.2,I = 〈 |s| 〉 = v〈u〉 = vε〈E 2 〉 = 1 2 vεE2 0 exp{−2 ω }c κxIst I 0 die Intensität der Welle beim Eintritt und I nach dem Hindurchtritt durch das Medium derDicke x, so wird eine Intensitätsabnahme nach dem Lambertschen Absorptionsgesetz I = I 0 exp{−αx}mit dem Absorptionskoeffizienten α = 2 ω κ beobachtet. Dadurch sind die im optischen Bereich bestimmtenMaterialkonstanten Brechungsindex n und Absorptionskoeffizient α mit dencMaterialparameternε = ε 0 ε r , µ = µ 0 µ r und der elektrischen Leitfähigkeit σ verknüpft,√n ∗ = n − i αc2ω = c 2v 2 − iµ rσε 0 ω und n∗2 = ε ∗ = ε ′ − iε ′′ mitund es gilt εµ = n2c 2 − α24ω 2 sowie σ = 2nε 0ω αcµ r 2ω = nε 0µ 0µ( √n 2 = ε rµ r21 +1 +)( σ) 2εωαc =nαµc und µ r ≈ 1und α 2 = 2εµω 2 (−1 +ε ′ = n 2 − κ 2 = c2v 2 = ε rµ rε ′′ = 2nκ = µ rσε 0 ω ,√1 +)( σ) 2.εω

3 DispersionDie Wechselwirkung von Licht mit Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen wird von den gebundenenAtomen bestimmt. Die makroskopischen Beobachtungen entstehen dabei durch kompliziertemikroskopische Prozesse, sodass man vielfach bei konkreten Messungen zu einfachen Beschreibungsmodellenübergeht. Wir behandeln hier die in der Spektroskopie an Materie beobachteten frequenzabhängigendielektrischen Eigenschaften und vernachlässigen den Einfluss magnetische Felder, indemwir M = 0 setzen, was bei dia- und paramagnetischen Stoffen mit M = χH wegen µ r = 1 + χ und|χ| = 10 −4 − 10 −6 gerechtfertigt ist.3.1 Dielektrische EigenschaftenDie Frequenzabhängigkeit der makroskopisch beobachteten optischen Konstanten wird dann durch diePolarisation P = P[E](r, t) bestimmt, die allgemein ein Funktional der elektrischen Feldstärke E(r, t)ist. Bei hinreichend schwachen elektrischen Feldern des Lichtes, das auf die Materie trifft, im Vergleichzu den inneren Feldern der Atome, hängt die Polarisation P = (P 1 , P 2 , P 3 ) linear von E = (E 1 , E 2 , E 3 )ab, und man setzt bei Festkörpern mit dem Tensor der elektrischen Suszeptibilität pro Volumen- undZeiteinheit χ e = (χ jk ), vergl. Abschn. 2.1,3∑∫D(r, t) = ε 0 E(r, t) + P(r, t) mit P j (r, t) = ε 0k=1χ jk (r, r ′ , t, t ′ )E k (r ′ , t ′ ) d 3 r ′ dt ′ .

Damit erhält manD(q, t) = ε 0 E(q, t) + ε 0 E(q, ω) exp {iωt}∫ ∞−∞χ(q, t − t ′ ) exp { − iω(t − t ′ ) } dt ′oderD(q, ω) = ε 0˜ε(q, ω)E(q, ω),mit der komplexen Dielektrizitätskonstanten mit der Realitätsbedingung ˜ε(−q, −ω) = ˜ε ∗ (q, ω)˜ε(q, ω) = 1 +∫ ∞−∞χ(q, t − t ′ ) exp { − iω(t − t ′ ) } dt ′ .Kann außerdem die räumliche Dispersion d.h. die Fernwirkung der Polarisation vernachlässigt werden,sodass die elektrische Suszeptibilität vom Ort unabhängig ist χ(r−r ′ , t−t ′ ) = χ(t−t ′ )δ(r−r ′ ), so wirddie dielektrische Verschiebung von der elektrischen Suszeptibiltät pro Zeiteinheit χ(t − t ′ ) bestimmtD(r, t) = ε 0 E(r, t) + ε 0∫ t−∞χ(t − t ′ )E(r, t ′ ) dt ′ ,wobei wegen der Kausalität die Integration nur bis t ausgeführt ist. Dann erhält manD(r, t) = ε 0 E(r, ω) exp {iωt} + ε 0 E(r, ω) exp {iωt}oder mit D(r, t) = D(r, ω) exp {iωt}D(r, ω) = ε 0 E(r, ω) + ε 0 E(r, ω)∫ ∞0∫ t−∞χ(t − t ′ ) exp {−iω(t − t ′ )} dt ′χ(t ′′ ) exp {−iωt ′′ } dt ′′ .

In dem Modell von Debye folgen diese Dipole dem elektrischen Feld nur mit einer gewissen Verzögerung,und für diesen Anteil der elektrischen Suszeptibilität χ perm wird, bei nicht zu hohen Frequenzen unterhalbdes optischen Bereiches, angenommen, dass eine Polarisation P nach Abschalten des äußerenelektrischen Feldes E exponentiell mit einer Relaxationszeit τ abklingt, wobei ein gewisser Teil derPolarisation dem elektrischen Feld ohne Verzögerung verlustfrei folgen kann. Mit P. Debye wird fürE(r, t) = E 0 (r, ω) exp {iωt} mit reellen ε ′ 0 = ˜ε(0) und ε ′ ∞ = ˜ε(∞) gesetztD(r, t) = ε 0˜ε(ω)E(r, t)∫ t{= ε 0 ε ′ ∞ E(r, t) + ε 0 E(r, t ′ )a exp − t − }t′dt ′−∞τ∫ t {= ε 0 ε ′ ∞E(r, t) + ε 0 E(r, t) a exp − t − }t′exp { − iω(t − t ′ ) } dt ′−∞τ[ ∫ ∞ { } ]= ε 0 E(r, t) ε ′ ∞ + a exp − t′′exp {−iωt ′′ } dt ′′ .0 τDie Auswertung des Integrals liefert mit aτ = ε ′ 0−ε ′ ∞ wegen∫ ∞[D(r, t) = ε 0 E(r, t) ε ′ τ∞ + a1 + ω 2 τ 2 − iaωτ τ]1 + ω 2 τ 2[= ε 0 E(r, t) ε ′ ∞ + ε′ 0 − ε′ ∞1 + ω 2 τ 2 − iωτ ε′ 0 − ]ε′ ∞1 + ω 2 τ 2 .0. . . dt ′′ = exp {−t′′ /τ} exp {−iωt ′′ }−(1/τ)(1 + iωτ)∣∞0

Setzt man die komplexe Dielektrizitätskonstante˜ε(ω) = ε ′ (ω) − iε ′′ (ω)ein, so erhält manε ′ (ω) = ε ′ ∞ + ε′ 0 − ε ′ ∞1 + ω 2 τ 2 und ε ′′ (ω) = ωτ ε′ 0 − ε ′ ∞1 + ω 2 τ 2 .Bei sehr niedrigen Frequenzen werden alle Dipole ausgerichtet sein, so dass ε ′ (0) den größten Wert hat.Bei sehr hohen Frequenzen können die Dipole nicht mehr folgen, so dass ε ′ (∞) den kleinsten Werthat, und ε ′ (ω) mit der Frequenz monoton abnimmt. Für den Imaginärteil ε ′′ (ω) ist ε ′′ (0) = 0 undε ′′ (∞) = 0 mit einem Maximum bei ω = 1/τ, das meist im Mikrowellenbereich liegt.ε ′ 0ε ′ ∞+++ε ′ (ω)+ + + + + +1/τ 5/τ ωε ′ 0ε ′ ∞+++ε ′′ (ω)+ + + + + +1/τ 5/τ ω

2) Dispersion durch induzierte atomare DipoleIm optischen Bereich wird allgemein die normale Dispersion beobachtet, wonach der Brechungsindexmit der Frequenz zunimmt. Es gibt aber auch bestimmte Frequenzbereiche mit anomaler Dispersion, indenen der Brechungsindex, und damit bei geringer Dämpfung der Realteil der Dielektrititätskonstantenmit der Frequenz abnimmt. Im klassischen Modell für die Suszeptibilität χ Atom geht man von derVorstellung aus, dass es im Kristall elastisch gebundene Elektronen gibt, die durch das elektrische Feldzu gedämpften Schwingungen angeregt werden. Befindet sich der Oszillator mit der Federkonstantenmω 2 0und dem Reibungskoeffizienten mγ am Ort R, so lautet die Bewegungsgleichung für ein Elektronder Ladung e, der Masse m und am Ort r im elektrischen Feld E(r, t) = E 0 exp { − i(q · r − ωt) }¨r + γṙ + ω 2 0(r − R) ≈ e m E 0 exp {−iq · R} exp {iωt} ,wobei angenommen wurde, dass die Auslenkung der Elektronen klein ist im Vergleich zur Wellenlänge2π/|q| der elektrischen Welle. Der Lösungsansatz für die erzwungene Schwingungr − R = A e m E 10 exp {−iq · R} exp {iωt} ergibt A =ω0 2 − ω2 + iωγmit der komplexen Amplitude A. Die Summe der Dipolmomente e(r−R) der schwingenden Elektronenpro Volumeneinheit ergeben die komplexe Dipoldichte oder PolarisationP = NA e2m E(r, t) = ε )0(˜ε(ω) − 1 E(r, t) mitNe 2˜ε(ω) = 1 +ε 0 m A,wobei N die Dichte des Oszillatoren bezeichnet.

Man setzt unterschiedliche Oszillatoren mit Frequenzen ω j , Dämpfungen γ j und Konzentrationen Nf jmit ∑ j f j = 1 an, und erhält für die komplexe Dielektrizitätskonstante˜ε(ω) = 1 + Ne2ε 0 m∑jf jω 2 j − ω2 + iωγ j= ε ′ (ω) − iε ′′ (ω),und bezeichnet f j als Oszillatorenstärke. Die Zerlegung in den Real- und Imaginärteil liefertε ′ (ω) = 1 + Ne2ε 0 mε ′′ (ω) = Ne2ε 0 m∑j∑jf jf jω 2 j − ω2(ω 2 j − ω2 ) 2 + ω 2 γ 2 jωγ j(ω 2 j − ω2 ) 2 + ω 2 γ 2 j= ε r = n 2 − κ 2= 2nκ = ncω α.Daraus ergibt sich eine Zunahme des Brechungsindex mit der Frequenz, also normale Dispersion im optischenBereich, für alle Frequenzen bis auf Bereiche in einer Umgebung der Resonanzstellen ω j . Unterder Annahme schwacher Dämpfung findet man aus dem Imaginärteil der Dielektrizitätskonstantenε ′′ (ω) den Absorptionskoeffizienten α = (ω/nc)ε ′′ (ω) mit Absorptionsmaxima an den Stellen ω j . Ineiner Umgebung dieser Stellen, die ungefähr der Halbwertsbreite der Absorptionslinien entspricht,nimmt der Brechungsindex mit der Frequenz ab, sodass hier anomale Dispersion beobachtet wird.

3) Dispersion durch ein ElektronengasIm Drude-Modell des Elektronengases werden die Elektronen eines Metalles oder Halbleiters im elektrischenFeld E(r, t) = E(r) exp {iωt} beschleunigt, und ihre Geschwindigkeit v klingt beim Abschaltenvon E mit der Relaxationszeit τ ab. Dann gilt im Rahmen der klassischen Mechanik∂v∂t = − 1 τ v − e 0m E mit der Lösung v = − e 0τ 1m 1 + iωτ E.Hier ist v weder die mikroskopische Geschwindigkeit der Elektronen, noch die Driftgeschwindigkeit,die bei der elektrischen Leitung auftritt, sondern die Geschwindigkeit der oszillierenden Dipole. Beieiner Elektronendichte n ergibt sich die elektrische Stromdichte mit der Plasmafrequenz ω pj = −e 0 nv = e2 0 nτm11 + iωτ E = ω2 p ε 0τ1 + iωτ E mit ω2 p = e2 0 nε 0 m .Diese elektrische Stromdichte j sei die Ursache der Polarisation oder Dipoldichte P. Der Verschiebungsvektoreines Elektrons r(t) erzeugt lokal ein Dipolmoment p = −e 0 r mit ṗ = −e 0 v. Darausergibt sich für die Dipoldichte Ṗ = nṗ = −e 0nv = j mit der Elektronendichte n. Damit schreibt sichdie dielektrische Verschiebung D mit der komplexen Dielektrizitätskonstanten ˜ε(ω) in der Form(D = ε 0 E + P mit Ḋ = ε 0˜ε(ω)Ė = ε 0Ė + j = iωε 0 + ω2 pε 0 τ )E = iωε 0 ˜ε(ω)E,1 + iωτund es folgt˜ε(ω) = 1 − i ω2 pτω11 + iωτ = 1 − ω2 pτ 21 + ω 2 τ 2 − i ω 2 pτω(1 + ω 2 τ 2 ) = ε′ (ω) − iε ′′ (ω).

Bei Metallen gilt ωτ ≫ 1 für ω in der Größenordnung der Plasmafrequenz bei ¯hω p = 10 eV, sodass giltε ′ (ω) ≈ 1 − ω2 pω 2 und ε ′′ (ω) ≪ 1.Aus dem Durchflutungsgesetz ∇ × H = Ḋ = ε 0Ė + j und dem Induktionsgesetz ∇ × E = −µ 0Ḣ folgt−µ 0 ∇ × Ḣ = −µ 0∂ (ε0 Ė + j ) = ∇ × (∇ × E) = ∇∇ · E − ∆E,∂tmit ∇ · E = 0, woraus sich wegen Ḋ = ε 0Ė + j und D = ε 0˜ε(ω)E die Telegrafengleichung ergibt∂∆E = µ 0∂t (ε 0Ė + j) = µ ∂0∂t Ḋ = µ ¨D 0 = µ 0 ε 0˜ε(ω)Ë.• Für ω < ω p gilt ε ′ (ω) < 0, und wegen ε ′′ (ω) > 0 gibt es nach der Telegrafengleichung nurabklingende Lösungen für die elektrische Feldstärke E.• Für ω > ω p verschwindet die Dämpfung praktisch, und die Metalle werden bei hinreichend hohenFrequenzen durchsichtig.

3.3 DispersionsrelationenEs wird vorausgesetzt, dass die elektrische Suszeptibilitätf(ω) = ˜ε(ω) − 1 = (n − iκ) 2 − 1 = n 2 − κ 2 − 1 − i2nκ = ε ′ (ω) − 1 − iε ′′ (ω)in der unteren komplexen ω-Halbbene einschließlich der reellen Achse holomorph ist.Ferner sei|ωf(ω)| → 0 für |ω| → ∞. Dies ist bei der komplexen Dielektrizitätskonstanten ˜ε(ω) nach Abschn. 3.2der Fall, die die normale und die anomale Dispersion qualitativ richtig wiedergeben. Dann lässt sichdie Cauchy-Formel für jeden Punkt ω auf der reellen Achse anwendenf(ω) = 1 ∫f(z) dz2πi z − ω= − 1 ∫ ∞πi P f(ω ′ ) dω ′ω ′ − ω ,Γmit einem Integrationsweg Γ, der auf der reellen Achse aber oberhalb der Polstelle bei ω und auf einemHalbkreis unten herum im mathematisch positiven Sinn verläuft, wobei Letzterer verschwindet. Wegen˜ε(ω) = 1 +∫ ∞und es gilt wegen f(−ω) = ˜ε(−ω) − 1 = f ∗ (ω)0−∞χ(t ′ ) exp {−iωt ′ } dt ′ folgt ˜ε(−ω) = ˜ε ∗ (ω),Re { f(ω) } = 1 ∫[ ] 1 ∞f(ω) + f(−ω) = −22πi P −∞Im { f(ω) } = 1 ∫[ ] ω ∞f(ω) − f(−ω) =2i2π P−∞2ω ′ f(ω ′ ) dω ′ω ′2 − ω 22f(ω ′ ) dω ′ω ′2 − ω 2mit1ω ′ − ω + 1ω ′ + ω = 2ω′ω ′2 − ω 21ω ′ − ω − 1ω ′ + ω = 2ωω ′2 − ω 2 .

Wegen f(−ω) = f ∗ (ω) erhält manRe { f(ω) } = − 1 ∫ ∞πi P ω ′[ f(ω ′ ) − f ∗ (ω ′ ) ]0 ω ′2 − ω 2 dω ′ = − 2 ∫ ∞π P ω ′ Im { f(ω ′ ) }0 ω ′2 − ω 2 dω ′Im { f(ω) } = ω ∫ ∞π P f(ω ′ ) + f ∗ (ω ′ )ω ′2 − ω 2 dω ′ = 2ω ∫ ∞π P Re { f(ω ′ ) }ω ′2 − ω 2 dω ′0und mit Re { f(ω) } = n 2 − κ 2 − 1 und Im { f(ω) } = −2nκ ergeben sich die Kramers-Kronig-Relationenn 2 (ω) − κ 2 (ω) = 1 + 2 π P ∫ ∞2n(ω)κ(ω) = − 2ω π P ∫ ∞0002n(ω ′ )κ(ω ′ )ω ′ω ′2 − ω 2 dω ′n 2 (ω ′ ) − κ 2 (ω ′ ) − 1ω ′2 − ω 2 dω ′ ,wonach sich der Realteil der Dielektrizitätskonstanten berechnen lässt, wenn der Imaginärteil für alleFrequenzen bekannt ist, und umgekehrt.Kramers-Kronig-Relationenn 2 (ω) − κ 2 (ω) = 1 + 2 π2n(ω)κ(ω) = − 2ω πDie zur numerischen Integration praktischere Form der∫ ∞0∫ ∞02n(ω ′ )κ(ω ′ )ω ′ − 2n(ω)κ(ω)ωω ′2 − ω 2 dω ′n 2 (ω ′ ) − κ 2 (ω ′ ) − n 2 (ω) + κ 2 (ω)ω ′2 − ω 2 dω ′enthält keine Polstellen mehr, und wird mit Hilfe der Beziehung bewiesen:P∫ ∞0dω ′ω ′2 − ω 2 = 0.

4 Nichtlineare OptikExperimentell kann man statische elektrische Felder E bis zu 10 6 V/m an Nichtleiter anlegen, und indiesem Bereich hängt die Polarisation P linear von E ab. Innerhalb der Atome herrschen Feldstärken|E| > 10 11 V/m. Gitterschwingungen in Festkörpern führen zu Energien bis zu 1 eV bei atomarenVerschiebungen von 1 Å = 10 −10 m, wobei elektrische Felder von 10 10 V/m auftreten. Hierbei hängt diePolarisation nichtlinear von E ab. In diesen Bereich gelangt man auch mit Laserlicht hoher Intensität,sodass nichtlineare optische Effekte beobachtet werden.4.1 Nichtlineare elektrische SuszeptibilitätUnter den Voraussetzungen ρ = 0, j = 0, M = 0, B = µ 0 H ergeben die elektromagnetischenFeldgleichungen ∇ × E = −Ḃ und ∇ × B = µ 0Ḋ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∇ × Ḃ = −µ 0 ¨D,oder mit der Polarisation P∆E − ∇∇ · E = µ 0 ¨D und ∇ · D = 0 mit D = ε0 E + P.

Ohne räumliche Dispersion wird für nichtferroelektrische Stoffe für die Polarisation P = (P 1 , P 2 , P 3 )die Reihenentwicklung nach der elektrischen Feldstärke E = (E 1 , E 2 , E 3 ) ohne Fernwirkung und miteinem Gedächtniseffekt im linearen Term der elektrischen Suszeptibilität χ angesetztP ν (r, t) = ε 0∫ ∞03∑µ=11,2,3∑χ νµ (t ′ )E µ (r, t − t ′ ) dt ′ + ε 0µ,ρ1,2,3∑+ ε 0µ,ρ,σχ (2)νµρE µ (r, t)E ρ (r, t)χ (3)νµρσE µ (r, t)E ρ (r, t)E σ (r, t) + . . . .Wir trennen die Polarisation P in den linearen und nichtlinearen Teil mit ε(t ′ ) = 1 δ(t − t ′ ) + χ(t ′ )∫ ∞D = ε 0 ε(t ′ ) · E(r, t − t ′ ) dt ′ + P NL (r, t) mit P NL (r, t) = ε 0 χ (2) : EE + ε 0 χ (3)˙:EEE,0und die zweite Differenzialgleichung erhält die Form∇ · D = 0bzw.∫ ∞0∇ · ε(t ′ ) · E(r, t − t ′ ) dt ′ = − 1 ε 0∇ · P NL (r, t).1) Bei isotropen Medien ist ε(t ′ ) = ε(t ′ )1 . Dann transformieren E, D und P wie der Ortsvektor beieiner Inversion r → −r, sodass χ (2) = 0 folgt, und P NL von dritter Ordnung in E, und somit sehrklein ist.

2) Bei nichtisotropen Stoffen mit ε(t ′ )·E(r, t−t ′ ) = ε·E(r, t−t ′ )δ(t−t ′ ) lauten die Grundgleichungender nichtlinearen Optik mit dem Tensor der Dielektrizitätskonstanten ε wegen D = ε 0 ε · E + P NL∆E − ∇∇ · E − 1 c 2 ε · Ë = µ 0 ¨P NL und ∇ · ε · E = − 1 ε 0∇ · P NL mit µ 0 ε 0 = 1 c 2 .Berücksichtigt man nur Terme bis zweiter Ordnung in E, so erhält man für nichtisotrope Stoffe∆E − ∇∇ · E − 1 c 2 ε · Ë = 1 c 2 χ(2) :∂ 2∂t 2 EE und ∇ · ε · E = −∇ · χ(2) : EE.4.2 Erzeugung und Vernichtung von PhotonenWir untersuchen Drei-Photonen-Prozesse, wie sie durch die Quantenoptik begründet werden¯hω 1 , ¯hk 1¯hω 1 , ¯hk 1Energiesatz ¯hω 1 + ¯hω 2 = ¯hω 3¯hω 3 , ¯hk 3Impulssatz ¯hk¯hω 2 , ¯hk 1 + ¯hk 2 = ¯hk 32¯hω 3 , ¯hk 3Impulssatz ¯hk 1 = ¯hk 2 + ¯hk 3Energiesatz ¯hω 1 = ¯hω 2 + ¯hω 3¯hω 2 , ¯hk 2

Dazu werden reelle Lösungen für die elektrische Feldstärke E mit drei verschiedenen Frequenzen gesuchtE = 1 E1 + E2( ∗ 1 + E 2 + E ∗ 2 + E 3 + E ∗ )3mitE 1 (r, t) = E 1 (r, ω 1 ) exp {−iω 1 t}E 2 (r, t) = E 2 (r, ω 2 ) exp {−iω 2 t}E 3 (r, t) = E 3 (r, ω 3 ) exp {−iω 3 t} .Setzt man E in die Differenzialgleichung ein, erhält man(∆ − ∇∇ · − 1 c 2 ε · ∂2∂t 2 )(E 1 + E ∗ 1 + E 2 + E∗ 2 + E 3 + E∗ 3 ) = 12c 2 χ(2) :∂ 2∂t 2 (E 1 + . . . E∗ 3 )(E 1 + . . . E∗ 3 ).Weil die elektrischen Felder für verschiedene Frequenzen linear unabhängig sind, gilt diese Gleichungfür jede Frequenz einzeln und es folgt für den Prozess der Erzeugung eines Photons mit ω 3 = ω 1 + ω 2 :∆E 1 − ∇∇ · E 1 + ω2 1c 2 ε · E 1 = − ω2 1c 2 χ(2) : E 3 E ∗ 2 und ∇ · ε · E 1 = −∇ · χ (2) : E 3 E ∗ 2∆E 2 − ∇∇ · E 2 + ω2 2c 2 ε · E 2 = − ω2 2c 2 χ(2) : E 3 E ∗ 1 und ∇ · ε · E 2 = −∇ · χ (2) : E 3 E ∗ 1∆E 3 − ∇∇ · E 3 + ω2 3c 2 ε · E 3 = − ω2 3c 2 χ(2) : E 1 E 2 und ∇ · ε · E 3 = −∇ · χ (2) : E 1 E 2 .

Exkurs über lineare AbhängigkeitDef.: Die N Funktionen f 1 (x), f 2 (x), . . . f N (x) sind linear unabhängig,N∑wenn aus a n f n (x) = 0 folgt a 1 = 0, a 2 = 0, . . . a n = 0, sonst linear abhängig.n=1Dies lässt sich mit der Wronski-Determinante entscheiden, denn es giltf 1 f 2 · · · f Nf 1 ′ f 2 ′ · · · f ′ {NW =. . . . . ... = 0, falls f1 . . . f N linear abhängig sind,.≠ 0, falls f 1 , . . . f N linear unabhängig sind.∣f (N−1)1 f (N−1)2 · · · f (N−1) ∣NBei der Anwendung auf f 1 (t) = exp {iω 1 t} und f 3 (t) = exp {iω 3 t} ergibt die Wronski-DeterminanteW =und f 1 und f 3 sind für ω 1 ≠ ω 3 linear unabhängig.∣ f 1 f 3 ∣∣∣∣= i(ωiω 1 f 1 iω 3 f 3 − ω 1 )f 1 f 3 ≠ 0 für ω 1 ≠ ω 3 ,3

4.3 Bestimmung der zweiten HarmonischenBei Einstrahlung von zwei ebenen Transversalwellen E 1 und E 2 in z-Richtung e 3 = (0, 0, 1), die auchdie optische Achse sein soll, nimmt man für die zweite Harmonische an |E 3 | ≪ |E 1 |, |E 2 |E 1 (z, ω 1 ) = n 1 E 10 exp { i(k 1 z − ω 1 t) } mit n 1 · e 3 = 0E 2 (z, ω 2 ) = n 2 E 20 exp { i(k 2 z − ω 2 t) } mit n 2 · e 3 = 0und ε =⎛⎝ ε ⎞⊥ 0 00 ε ⊥ 0 ⎠ .0 0 ε ‖Die elektrische Feldstärke der zweiten Harmonischen wird in einen Anteil in z-Richtung und einenAnteil senkrecht dazu aufgespaltenE 3 (z, ω 3 ) = E ‖ (z, ω 3 )e 3 + E ⊥ (z, ω 3 )e ⊥ mit ε · E 3 = ε ‖ E ‖ (z, ω 3 )e 3 + ε ⊥ E ⊥ (z, ω 3 )e ⊥ .Einsetzen von E 3 in die Differenzialgleichung ergibt mit der Abkürzung k 2 = ω2 3 ε ⊥c 2( ) ∂2∂z 2 + k2 E ⊥ (z, ω 3 ) = − ω2 3c 2 χ(2) ⊥ E 10E 20 exp { i(k 1 + k 2 )z } mit χ (2)⊥ = e ⊥ · χ (2) : n 1 n 2E ‖ (z, ω 3 ) = − 1 ε ‖χ (2)‖ E 10E 20 exp { i(k 1 + k 2 )z } mit χ (2)‖= e 3 · χ (2) : n 1 n 2 .

Die Differenzialgleichung für E ⊥ wird mit dem Ansatz einer ebenen Welle mit schwach veränderlicherAmplitude gelöstE ⊥ (z, ω 3 ) = F (z, ω 3 ) exp {ikz}mit∣∂F∂z∣ ≪ ∣ ∣F (z, ω 3 ) ∣ ∣2k,und man erhält für die Amplitude der zweiten Harmonischen senkrecht zur AusbreitungsrichtungF (z, ω 3 ) = ω2 32kc 2 χ(2) ⊥ E sin { }Kz {210E 20 i exp i Kz }mit K = k 1 + k 2 − k.2K2Damit ergibt sich für die Intensität der Transversalkomponente der erzeugten zweiten Harmonischenein in z-Richtung oszillierender VerlaufI ⊥ = ε 0 ω338c 2 k(χ (2)⊥ E 10E 20) 2z2[ {sinKz}] 22.Die Intensität der zweiten Harmonischen ist für K = 0 oder k = k 1 + k 2maximal, was den Impulssatz der Photonen widerspiegelt.ϑdKz2opt. Achsez =dcos ϑ1−3π −2π −π 0( sin x) 2xπ 2π x

5 Optische FasernModerne Hochgeschwindigkeitsleitungen der Telekommunikation arbeiten mit Trägerfrequenzen im optischenBereich. Dazu betrachten wir unterschiedliche Glasfasertypen.5.1 StufenprofilfasernDie Faser besteht aus einem inneren Kernbereich mit einem Brechungsindex n 1 = 1.46, wobeider Quarz SiO 2 mit GeO 2 oder P 2 O 5 (Phosphorpentoxid) dotiert ist, und einem äußeren Mantelbereichmit niedrigerem Brechungsindex n 2 = 1.45, was durch eine Dotierung mit F erreicht wird. Fürdie Totalreflexion an der Grenzfläche muss der Öffnungswinkel γ klein sein γ < 90◦ − ϑ T mit demGrenzwinkel der Totalreflexion ϑ T , der sich aussin ϑ T = n 2n 1= 1.451.46zu90 ◦ − ϑ T = 6.7 ◦ergibt. Für die verschiedenen Neigungswinkel eines eintretenden Strahles ergeben sich jedoch unterschiedlicheLaufzeiten über eine feste Strecke, was auch als Modenlaufzeitdispersion bezeichnet wird.n 1n 2

Die Durchmesser 2a des inneren Teils der Faser reichen von 3 µm bis 50 µm bei einem Außenradiusvon 80 µm, und die Wellenlängen des Lichtes an den Minima des Absorptionskoeffizienten betragenλ = 1.3 µm oder λ = 1.55 µm.Ist λ nicht mehr klein gegen a, müssen die optischen Randbedingungen der Lösungen der Wellengleichungberücksichtigt werden. Löst man die Wellengleichung für die elektrische Feldstärke E(r, t)mit einem orts- und frequenzabhängigen Brechungsindex n(r, ω)(∆ − n2 (r, ω) ∂ 2 )c 2 ∂t 2 E(r, t) = 0bzw. in Zylinderkoordinaten( ∂2∂r 2 + 1 r⎛∂∂r + 1 ∂ 2 )r 2 ∂ϕ 2 + ∂2∂z 2 E − n2 (r, ω) ∂ 2c 2 ∂t 2 E = 0 mit r = ⎝ x = r cos ϕy = r sin ϕzmit dem Ansatz ebener Wellen in z- oder Faserrichtung und der Wellenzahl k = 2π/λ{< ∞ für r = 0;E(r, t) = R m (r) exp {imϕ} exp {ikz} exp {−iωt} mit R m (r) =0 für r = ∞,mit der Randbedingung, so erhält man eine Eigenwertgleichung für die Radialfunktionen R m (r) mitden von m abhängigen Eigenwerten k 2 (siehe Besselsche Differenzialgleichung und Zylinderfunktionenbzw. Bessel-Funktionen)[ ∂2∂r 2 + 1 r∂∂r − m2r 2 + n2 (r, ω)c 2 ω 2 ]R m (r) = k 2 R m (r).⎞⎠

Die diskreten Eigenwerte k νm mit ν = 0, 1, 2, . . . hängen von n 2 (r, ω) ab, hier also vom Radius a desInnenbereiches. Ist k kleiner als der tiefste Eigenwert k < k 00 gibt es keine solchen ungedämpftenWellen.• Ist bei kleinem Durchmesser des Innenbereiches bei a = 2.5 µm und λ = 1.5 µm nur die tiefsteMode mit k 00 möglich, spricht man von Einmodenfasern.• Bei größeren Durchmessern a = 25µm sind dagegen mehrere Moden k νm möglich, und man sprichtvon Vielmodenfasern.5.2 GradientenfasernBei Gradientenfasern nimmt der Brechungsindex im Kernbereich quadratisch mit dem Radius ab.In Zylinderkoordinaten mit z in Faserrichtungn(r)⎛r : ⎝ x = r cos ϕ⎞n 0y = r sin ϕ ⎠zhat der Brechungsindex n(r) für r ≤ a die Gestalt( )n(r) = n 0 1 − b r2a 2 mit b = n n(a)0 − n(a).n 0 a RrIn der Praxis hat man z.B. mit einem Kernradius von a = 25 µm die Werte n 0 = 1.475, n(a) = 1.457und b = 0.0122. Hängt der Brechungsindex auf diese Weise vom Radius ab, haben die gekrümmtenStrahlen weiter außen eine höhere Geschwindigkeit und die Laufzeit hängt nicht mehr davon ab, wiegroß der Eintrittswinkel des Strahles zur Faserachse ist.

Die bei ortsabhängigem Brechungsindex n(r) gekrümmten Strahlen lassen sich in Abhängigkeit vomEintrittswinkel γ mit Hilfe der Strahlendifferenzialgleichung berechnendds(n(r) dr )ds= ∇n(r),wobei r(s) die Strahlenkurve und s die Bogenlänge bezeichnen.Zur Berechnung betrachten wir achsennahe Strahlen mit kleinem Eintrittswinkel und ϕ = 0 inder x-z-Ebene, sodassdx∣ dz ∣ = | tan γ| ≪ 1 und ds = √ dx 2 + dz 2 ≈ dz gesetzt werden kann. DerBrechungsindex n(r) = n(r) ist unabhängig von z, und aus der Strahlendifferenzialgleichung folgtn(r) d2 rdz 2 = ∇n bzw. xn(r)d2 dz 2 = ∂n∂x = dndr∂r∂x = −2n 0b r xa 2 r = −2n 0b x a 2 .Setzt man auf der linken Seite n(r) ≈ n 0 ein, erhält man die Differenzialgleichungd 2 xdz 2 + 2b(√ ) 2ba 2 x = 0 mit der Lösung x(z) = x 0 sina z= x 0 sin(2π z ),pwobei p = √ 2πa die Periode der Sinusfunktion bezeichnet. Sie beträgt p = 1 mm bei a = 25 µm und2b ( ) dx(z)2πb = 0.0122. Verschiedene Eintrittswinkel γ ergeben dann wegen tan γ == x 0dzz=0pdiegleiche Periode für unterschiedliche Amplituden x 0 .

Zwei gekrümmte Bahnkurven mit verschiedenen Entrittswinkeln γ haben dann genähert die FormaDa alle Kurven mögliche Lichtstrahlen sind, benötigen sie nach dem Prinzip von Fermat die gleicheLaufzeit, sodass in dieser Näherung keine Modenlaufzeitdispersion entsteht. Dies liegt daran, dass inden Außenbereichen die Lichtgeschwindigkeit größer ist als in den Nähe der Achse.Der maximale Eintrittswinkel γ max berechnet sich aus x 0 = a undtan γ max = 2π a p = √ 2b zu γ max = 8.9 ◦ .Zum Vergleich beträgt derÖffnungswinkel ϑ eines Strahles vom Durchmesser d mit der Wellenlänge λsin ( 12 ϑ) = λ dFür λ = 1 µm und dem Durchmesser der Glasfaser d = 2a = 50 µm ergibt das ϑ = 1.4 ◦ .Zur Datenübertragung kann man die Phasenmodulation verwenden, die mit Lithiumniobat Kristallen3.82π .Li 3 NbO 4 erreicht wird, bei denen eine Spannungsänderung von einigen Volt zurÄnderung der Dispersionführt.

5.3 StrahlendifferenzialgleichungFür ein Dielektrikum ohne Ladungen ρ = 0 und Ströme j = 0, jedoch mit einer ortsabhängigen,skalaren Dielektrizitätskonstanten ε(r) mit D = ε(r)E und Permeabilität µ(r) mit B = µ(r)H ergibtsich ein ortsabhängiger und reeller Brechungsindex n(r)ε(r)µ(r) = n2 (r)c 2 = 1v 2 (r) ,der zu einer ortsabhängigen Lichtgeschwindigkeit v(r) im Medium führt. Die Feldgleichungen∇ × E = −Ḃ ; ∇ × H = Ḋ ; ∇ · B = 0 ; ∇ · D = 0ergeben wegen ∇ · D = ε∇ · E + E · ∇ε = 0 sowieund∇ × B = µ∇ × H − H × ∇µ = µεĖ − H × ∇µ bzw. ∇ × B + H × ∇µ = n2 (r)c 2 Ė(∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∇ E · 1 )ε ∇ε − ∆E = − n2 (r)c 2 Ë + Ḣ × ∇µeine modifizierte Wellengleichung∆E − n2 (r)c 2 Ë = −∇(E · e) − Ḣ × ∇µ mit e =1ε(r) ∇ε(r).

Wegen der Kleinheit von µ/µ 0 wird ∇µ ≈ 0 gesetzt. Zur Abschätzung der rechten Seite der Wellengleichungbetrachten wir eine ebene Welle der Form E = E 0 (t) exp {ik · r} der Wellenlänge λ = 2π/|k|,dann gilt ∇(E · e) = ikE · e + (∇e) · E und ∆E = −k 2 E mit k = |k|. Unter der Voraussetzung, dasssich der Brechungsindex n(r) im Bereich einer Wellenlänge λ nur wenig ändertdenn es istλ|∇n| ≪ n, gilt k|e| ≪ k 2 ,|e| = 1 ε |∇ε| = 1 ∣ ∣ ∣∇n 2 2 =n 2 n |∇n| ≪ 2 nn λ = 2 λ = k π .Daher kann der Term ∇(E·e) gegen ∆E in der Wellengleichung vernachlässigt werden, und man erhältgenähert die Wellengleichung mit ortsabhängigem Brechungsindex∆E − n2 (r)c 2 Ë = 0.Der Lösungsansatz mit einer sich nur schwach ändernden Amplitude E 0 (r) ist mit k 0 = ω c = konst.E(r, t) = E 0 (r) exp { − ik 0 S(r) } exp {iωt} mit dem reellen Eikonal S(r).Dabei beschreibt S(r) = konst. die Flächen gleicher Phase im Ortsraum, die im Falle n = konst. wegenS(r) = n k|k| · r, |k| = ω cc v = k 0n und k · r = k 0 S Ebenen senkrecht zum geradlinigen Strahl sind.

Zum Einsetzen des Ansatzes in die Wellengleichung berechnen wir zunächst die erste Ortsableitungeiner beliebigen Komponente E nach dem Ortund die zweite Ableitung ergibt∂ 2 E∂x 2 = −ik ∂S 20∂x 2 E + ∂∂x≈ −ik 0∂S 2∂x 2 E − k2 0∂E∂x = −ik ∂S0∂x E + 1 (∂E 0E 0 ∂x E = ∂S−ik 0∂x + 1 )∂E 0E,E 0 ∂x( 1 ∂E 0E 0 ∂x( ∂S∂x) (∂SE + −ik 0) 21 ∂E 0E − i2k 0E 0 ∂x∂x + 1 ∂E 0E 0 ∂x∂S∂x E,) (∂S−ik 0∂x + 1 )∂E 0EE 0 ∂xwobei zwei Terme vernachlässigt werden, die bei nur schwach veränderlicher Amplitude E 0 klein sind.Damit erhält man aus der Wellengleichung∆E − n2 (r)c 2Ë = ∆E + n2 (r)c 2 ω 2 E = ∆E + k0 2 n2 (r)E = 0[ (∂S ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ∂S ∂S0 = −k02 + + − n (r)]2∂x ∂y ∂z[ 1E − i2k 02 ∆S + 1 ]∇E 0 · ∇S EE 0Da Real- und Imaginärteil getrennt verschwinden müssen, ergeben sich die Eikonalgleichungen(∇S) 2 = n 2 (r)und1E 0∇E 0 · ∇S = − 1 2 ∆S.

Während die zweite Differenzialgleichung zur Bestimmung der Amplitude E 0 dient, lässt sich dieerste in die Strahlendifferenzialgleichung umformen. Sei t der Kurvenparameter der Kurve r(t) desLichtstrahles bei ortsabhängigem Brechungsindex n(r), so gilt für die Bogenlänge s(t)s(t) =∫ tt 0∣ ∣ dr(t ′ ) ∣ ∣ =∫ tt 0∣ ∣∣∣ dr(t ′ )dt ′ ∣ ∣∣∣dt ′ mitds(t)dtWird als Kurvenparameter die Bogenlänge s verwendet r = r(s), so gilt|t| = 1 mit dem Tangentenvektor t an die Strahlkurve.=∣∣dr(t)dtdr(s)ds∣ .∣= 1 mitdrds = t undBetrachtet man die Fläche eines konstanten Eikonals S(r) = konstant, die die Fläche gleicherPhase des Lichtstrahles ist, so ist ∇S(r) ↑↑ t und |∇S(r)| = n(r) nach der Eikonalgleichung. Also gilt∇S(r) = n(r)t = n(r) drds .tr(s)Differenziert man diese Gleichung nach der Bogenlänge s als Kurvenparameterd dr∇S =ds ds · ∇∇S = 11∇S · ∇∇S =n(r) 2n(r) ∇(∇S)2 = 12n(r) ∇n2 (r) = ∇n(r),so folgt die Strahlendifferenzialgleichungdds(n(r) dr )ds= ∇n(r).xzS(r) = konst.y

5.4 SolitonenStufenprofilfasern mit einem konstanten isotropen Brechungsindex im Innern können als Einmodenfasernfür einen engen Frequenzbereich ausgelegt werden, indem der innere Durchmesser z.B. a = 2.5µmund die Wellenlänge des Lichtstrahls z.B. λ = 1.5 µm betragen, sodass keine anderen Moden hindurchtretenkönnen. In solchen Fasern gibt es neben der besprochenen Wellenausbreitung mit einerPulsverbreiterung durch Laufzeitdispersion bei hohen Lichtintensitäten noch eine andere Ausbreitungsformdurch Solitonen, wobei nichtlineare optische Effekte die dispersive Pulsverbreiterung kompensieren,was größere Übertragungsstrecken ermöglicht. Die Entstehung der Solitonen hängt mit demelektro-optischen Kerr-Effekt zusammen, wonach elektrische Felder auch in isotropen Medien eine Doppelbrechungverursachen können, was auf nichtlinearen optischen Effekten beruht.Ein Soliton ist ein stabiler, nichtlinearer optischer Puls, der nahezu unverändert die Faser durchwandert,falls die Eingangsintensität des Lichtes über einer gewissen Mindestintensität liegt.Zur Herleitung in isotropen Medien ohne Ladungen ρ = 0 und Ströme j = 0 und ohne MagnetisierungM = 0 und B = µ 0 H, geht man von der nichtlinearen dielektrischen Verschiebung∫ ∞D = ε 0 ε 1 (t ′ )E(r, t − t ′ ) dt ′ + P NL (r, t) mit P NL (r, t) = ε 0 χ (3)˙:EEE = ε 0 ε 2 |E| 2 E0aus, vergl. Abschn. 4.1. Mit ∇ · P NL ≈ 0 folgt aus ∇ · D = 0 auch ∇ · E = 0 und damit ergibt sich ausden Feldgleichungen ∇ × E = −Ḃ und ∇ × H = Ḋ∇ × (∇ × E) = −∆E = −µ 0 ∇ × Ḣ = −µ ¨D. 0

Die nichtlineare Wellengleichung ist die Ausgangsgleichung der nichtlinearen Optik in isotropen Medien∆E − 1 c 2 ∂ 2∂t 2 ∫ ∞0ε 1 (t ′ )E(r, t − t ′ ) dt ′ = ε 2c 2 ∂ 2∂t 2 |E|2 E.Wir verwenden einen Lösungsansatz in Zylinderkoordinaten r : ρ, ϕ, z mit |E 0 | = 1 unabhängig von ϕ⎛E(ρ, z, t) = E 0 R(ρ)A(z, t) exp { i(kz − ωt) } mit r = ⎝ x = ρ cos ϕ⎞y = ρ sin ϕ ⎠zmit nur schwacher zeitlicher und örtlicher Abhängigkeit der Solitonenamplitude A(z, t) innerhalb einerSchwingungsdauer T = 2π/ω bzw. Wellenlänge λ = 2π/k( 2πω) 2 ∣ ∣∣∣ ∂ 2 A∂t 2 ∣ ∣∣∣≪ 2π ω∣∂A∂t( 2π∣ ≪ |A| und k) 2 ∣ ∣∣∣ ∂ 2 A∂z 2 ∣ ∣∣∣≪ 2π k∣∂A∂z∣ ≪ |A|.A(z, t)exp { i(kz − ωt) }z

Unter der Voraussetzung eines nur geringen Gedächtniseffektes der Dispersion wird die Solitonenamplitudein eine Potenzreihe nach der Vergangenheit t ′ entwickelt, wobei t ′ = 0 kein Gedächtniseffektbedeuten würdeA(z, t − t ′ ) = A(z, t) − t ′ Ȧ(z, t) + 1 2 t′2 Ä(z, t).Wir verwenden die AbkürzungenA ˙ = ∂A∂t; Ä = ∂2 A∂t 2 ; A ′ = ∂A∂z; A ′′ = ∂2 A∂z 2 ; R ′ = dR(ρ)dρ; R ′′ = d2 R(ρ)dρ 2 ,und erhalten für den Solitonenansatz E(ρ, z, t) = E 0 R(ρ)A(z, t) exp { i(kz − ωt) } wegenfür die Ortsableitung∆ = ∂2∂ρ 2 + 1 ρ∂∂ρ + 1 ∂ 2ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂2∂z 2∆E = E 0 exp { i(kz − ωt) }[ A∆ ρ R + RA ′′ − k 2 RA + i2kRA ′] mit ∆ ρ = ∂2∂ρ 2 + 1 ρFür den nichtlinearen Term in der Wellengleichung findet man unter Vernachlässigung von ∂ ∂tε 2 ∂ 2c 2 ∂t 2 |E|2 E = ε 2c 2 E ∣∣0 R(ρ) 2 { }[R(ρ) exp i(kz − ωt) − ω 2 |A| 2 A ] .∂∂ρ .(|A| 2 A )

Zur Berechnung des linearen Integralterms benützen wir die Abkürzungenε(ω) =∫ ∞0ε 1 (t ′ ) exp {iωt ′ } dt ′ ;ε ′ (ω) = ∂ε(ω)∂ωε ′′ (ω) = ∂2 ε(ω)∂ω 2∫ ∞= i t ′ ε 1 (t ′ ) exp {iωt ′ } dt ′= −0∫ ∞0t ′2 ε 1 (t ′ ) exp {iωt ′ } dt ′und erhalten bei Vernachlässigung von Termen mit ∂3 A∂t 3∂ 2 ∫ ∞∂t 20ε 1 (t ′ )E(r, t − t ′ ) dt ′ =und ∂4 A∂t 4= ∂2∂t 2 E 0R(ρ) exp { i(kz − ωt) }[ ε(ω)A + iε ′ (ω) ˙ A − 1 2 ε′′ (ω)Ä) ]= E 0 R(ρ) exp { i(kz − ωt) }[ − ω 2 εA − iω 2 ε ′ ˙ A + ω22 ε′′ Ä − i2ωε ˙ A + 2ωε ′ Ä + εÄZusammen erhält man aus der nichtlinearen Wellengleichung mit dem SolitonenansatzA∆ ρ R + RA ′′ − k 2 RA + i2kRA ′ + ω2c 2 εRA + i ω c 2 (2ε + ωε′ )R ˙ A − 1 c 2 (ε + 2ωε ′ + 1 2 ω2 ε ′′) RÄwobei sich die in A linearen Terme in der linearen Näherung zu Null addieren)A(∆ ρ − k 2 + ω2c 2 ε R = 0.= − ε 2c 2 ω2 |R| 2 R|A| 2 A,].

Also erhält man aus dem Ansatz die von der linearen Lösung unabhängige Solitonenlösung der nichtlinearenOptik der restlichen TermeRA ′′ + i2kRA ′ + i ω c 2 (2ε + ωε′ )RȦ − 1 c 2 (ε + 2ωε ′ + 1 2 ω2 ε ′′) RÄ = −ε 2c 2 ω2 |R| 2 R|A| 2 A.Wir eliminieren die Radialfunktion R(ρ) durch Mittelung über den Faserquerschnitt und verwendendie Abkürzungenα =〈|R(ρ)|4 〉 ρ〈|R(ρ)|2 〉 ρmit〈|R(ρ)|2 〉 ρ = ∫ Rmax0|R(ρ)| 2 d 2 ρ =∫ Rmax0|R(ρ)| 2 ρ dρ∫ 2π0dϕund erhaltenA ′′ + i2kA ′ + i ω c 2 (2ε + ωε′ ) ˙ A − 1 c 2 (ε + 2ωε′ + 1 2 ω2 ε ′′ )Ä = −ε 2c 2 ω2 α|A| 2 A.Im Falle der tiefsten Mode der linearen Lösung, d.h. der Besselschen Differenzialgleichung, erhält mandie Dispersionsbeziehung mit der Gruppengeschwindigkeit vund man findetk 2 = ω2c 2 ε und k′ = dkdω = 1 vdk 2dω = 2kk′ = ω c 2 (2ε + ωε′ )undddω (kk′ ) = k ′2 + kk ′′ = 1 c 2 (ε + 2ωε′ + 1 2 ω2 ε ′′ ).

Die Differenzialgleichung lautet dann bei schwach veränderlicher Solitonenamplitude A(z, t)1(A ′′ − 1 )2k v 2 Ä= 1 (2 k′′ Ä − i A ′ + 1 Av ˙)− ε 2c 2 ω 22k α|A|2 A ≈ 0,denn es ist aufgrund der eingeführten Näherungsannahmen1∣ ∂A′∣ ≪ |A ′ 1| und ∣ ∂ A˙∣ ≈ 1 ∣ ∂ A˙A∣ ≪ ∣ ˙∣∣.k ∂zvk ∂t v ω ∂t v vBei Einführung dimensionsloser Variabler A(z, t) = |A 0 |B(ζ, τ), sowieτ = tt 0−zvt 0und ζ = z z 0mit t 2 0 = −k ′′ z 0 und1z 0= ε 22ε kα|A 0| 2erhält man für die rechte Seite eine Differenzialgleichung ähnlich der Schrödinger-Gleichungi ∂B∂ζ + 1 ∂ 2 B2 ∂τ 2 + |B|2 B = 0.Die Lösung lautet mit einer dimensionslosen Amplitude q 0 und sech x = 1cosh x = 2exp {x} + exp {−x}B(ζ, τ) = q 0 sech { q 0 (τ − ϑ) } exp{i( 12 q2 0 ζ + δ ) } ,mit den dimensionslosen freien Parametern ϑ und δ.

Also erhält man die SolitonenlösungE(r, t) = E 0 R(ρ)|A 0 |q 0 sech{q0(t − z 0ϑ) } { ( q2 ) }t 0 v − t exp i 0z + δ exp { i(kz − ωt) } .2z 0Die Solitonenlösung hat an den Stellen gleicher Phase q 0 τ = q 0( z )t − = φ einen festen Wert undt 0 v{ q2 }ist im Ortsraum periodisch cos 0z + δ , aber ungedämpft, und q 0 bestimmt die Amplitude der2z 0Solitonenlösung. Die Halbwertsbreite der Pulskurve sech x beträgt 2.63 und bestimmt die Pulsdauert PD = 2.63 t 0an einem festen Ort. Die Pulsdauer ist umso kleiner, je größer die Amplitude q 0 ist, wasq 0die Selbstphasenmodulation der Solitonen bei hohen{Intensitäten verursacht.q0}sech tt 0q 0tt 0Das Soliton bewegt sich also ungedämpft mit der Gruppengeschwindigkeit v durch das nichtlineareisotrope Medium, ist im Ortsraum periodisch, und hat an einem festen Ort den zeitlichen Verlauf einesPulses sech { q 0t 0t } exp {−iωt}, und entsteht erst bei einer Mindestintensität der in die Faser eintetendenStrahlung. Die Wellenlänge im Ortsraum wird durch q 2 0 /z 0 und die Phase durch δ bestimmt.Die Daten für Quarz SiO 2 für die Solitonen sind λ = 2π k|A 0 |q 0 = 2 · 10 6 Vm −1 .= 1.5 µm, z 0 = 1 km, t 0 = 3 ps und

6 TeilchenzahlformalismusQuantenmechanische Systeme aus N identischen Massenpunkten, z.B. Elektronen, werden in einemN-Teilchen-Hilbert-Raum als Produktraum aus N Einteilchen-Hilbert-Räumen beschriebenH (N) = H 1 ⊗ H 2 ⊗ . . . ⊗ H N .Ist dann ψ ν1 (x 1 ) ∈ H 1 eine Basis in H 1 mit 〈ψ ν |ψ µ 〉 = δ νµ und x 1 = (r 1 , s 1 ) die Konfigurationskoordinatefür ein Teilchen, so bilden die Produkte aus N Einteilchen-Basisfunktionen eine Basis in H (N) .Nach dem Pauli-Prinzip sind jedoch als Zustände nur solche Elemente von H (N) erlaubt, die beiBosonen symmetrisch und bei Fermionen antisymmetrisch bezüglich der Vertauschung zweier Teilchensind. Beschreibt man also die Zustände aus Produkten von Einteilchenfunktionen, sind aufwendigeSymmetrisierungen bzw. Antisymmetrisierungen erforderlich, weil die nach dem Pauli-Prinzip ununterscheidbarenTeilchen zunächst nummeriert werden, was anschließend korrigiert werden muss.Eine andere Darstellungsmöglichkeit, nämlich die der Teilchenzahlzustände, besteht darin, nur dieAnzahl der Teilchen anzugeben, die sich in einem bestimmten Einteilchenzustand befinden.

6.1 Erzeugungs- und VernichtungsoperatorenSei n ν die Anzahl der Teilchen, die sich im gegebenen Einteilchenzustand ψ ν (x) befinden, so ist einN-Teilchen-Zustand durch Angabe aller n ν vollständig beschrieben |n 1 n 2 n 3 . . .〉, und es gilt|n 1 n 2 . . .〉 =( ) −1/2 ∞∏ ∑N! n ρ ! (±1) p {T P ψν1 (1) . . . ψ νN (N) } mitρ=1P ∈S∞∑n ν = N.ν=1Hier bezeichnet T P den Permutationsoperator im Hilbert-Raum H (N) , der eine bestimmte PermutationP der Teilchenummern erzeugt, und an Stelle von x ν wurde vereinfacht nur ν geschrieben. DieSumme läuft über alle N! Permutationen P der Permutationsgruppe S und p bezeichnet die Anzahlder Zweiervertauschungen, die P in das Einselement überführen.Bei Fermionen ist nach dem Pauli-Prinzip n ν = 0 oder 1, und bei Bosonen eine natürliche Zahloder Null.Mit dem Normierungsfaktor gilt die Orthonormalitätsrelation der Teilchenzahlzustände〈n 1 n 2 . . . |n ′ 1 n′ 2 . . .〉 = δ n 1n ′ 1 δ n 2n ′ 2 . . . ,die den irreduziblen Teilraum von H (N) aufspannen, der alle möglichen physikalischen Zustände enthält.

Um quantenmechanische Systeme mit Teilchenzahlzuständen berechnen zu können, ist es erforderlich,die Anwendung von Operatoren auf die Teilchenzahlzustände zu kennen. Die selbstadjungierten N-Teilchen-Operatoren, die physikalischen Observablen zugeordnet sind, lassen sich aus einer Summe vonEinteilchen- und Zweiteilchen-Operatoren zusammensetzen:mit B(i, j) = B(j, i) und es giltH(1, 2, . . . N) =N∑A(j) + 1 2j=11...N∑i,ji≠jB(i, j)N∑A(j)|n 1 n 2 . . .〉 =j=11...∞∑λ,µA λµ a + λ a µ |n 1n 2 . . .〉 mit A λµ = 〈ψ λ |A|ψ µ 〉.Dabei bezeichnen a + λ und a λsogenannte Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, die durcha λ |n 1 n 2 . . . n λ . . .〉 = √ n λ |n 1 n 2 . . . n λ − 1 . . .〉a + λ |n 1n 2 . . . n λ . . .〉 = √ n λ + 1 |n 1 n 2 . . . n λ + 1 . . .〉definiert sind. Hierbei ist a + λ der zu a λ adjungierte Operator mit ( a + ) +λ = aλ und wegena + λ a λ|n 1 n 2 . . .〉 = n λ |n 1 n 1 . . .〉liefert der Teilchenzahloperator ˆN die Anzahl der Teilchen N jedes Zustandes∞∑∞∑ˆN = a + λ a λ mit ˆN|n1 n 2 . . .〉 = n λ |n 1 n 2 . . .〉 = N|n 1 n 2 . . .〉.λ=1λ=1

Es gelten ferner die Vertauschungsrelationen für Bosonen mit dem Kommutator [A, B] = AB − BA[a λ , a + µ ] = δ λµ1 ; [a λ , a µ ] = 0 = [a + λ , a+ µ ].Im Falle von Fermionen gilt entsprechend mit dem Antikommutator {A, B} = AB + BA{a λ , a + µ } = δ λµ 1 ; {a λ , a µ } = 0 = {a + λ , a+ µ } mit der Folge(a+λ) 2= 0 und nλ = 0, 1.Der Zweiteilchenoperator, ausgedrückt durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, lautet121...N∑i,ji≠jB(i, j)|n 1 n 2 . . .〉 = 1 21...∞∑λ,µ,ν,ρB λµνρ a + λ a+ µ a ν a ρ |n 1n 2 . . .〉mit den Matrixelementen der ZweiteilchenwechselwirkungB λµνρ = 〈 ψ λ (1)ψ µ (2) ∣ ∣ B(1, 2) ∣ψν (2)ψ ρ (1) 〉 .Wählt man speziell die Eigenfunktionen von A als Basis im Einteilchen-Hilbert-Raum, so giltA(1)ψ ν (1) = ε ν ψ ν (1) mit A λµ = 〈ψ λ |A|ψ µ 〉 = ε λ δ λµ ,und der Hamilton-Operator hat die einfachere FormĤ =∞∑ε λ a + λ a λ + 1 2λ=11...∞∑λ,µ,ν,ρB λµνρ a + λ a+ µ a ν a ρ .

Der Zustand |0〉 = |00 . . .〉 für die Teilchenzahl N = 0 wird Vakuum-Zustand genannt und es giltspeziell für Bosonen (und auch für Photonen)a + λ|0〉 = |00 . . . 10 . . .〉a λ |0〉 = 0|0〉a + λ;|00 . . . 10 . . .〉 = √ 2|00 . . . 20 . . .〉a λ |00 . . . 10 . . .〉 = |0〉.Die Teilchenzahlzustände kann man durch Erzeugungsoperatoren und das Vakuum ausdrücken|n 1 n 2 . . .〉 =1√n1 !n 2 ! . . . (a+ 1 )n 1(a + 2 )n 2. . . |0〉.Wenn die Anzahl N der Teilchen erhalten bleiben soll, müssen die Operatoren der Observableneine gleiche Anzahl von Erzeugungs- wie Vernichtungsoperatoren aufweisen, wie das bei dem Hamilton-Operator der Fall ist. Die Anwendung einzelner Erzeugungs- oder Vernichtungsoperatoren bildet jedocheinen Teilchenzahlzustand mit N Teilchen auf einen mit veränderter Teilchenzahl ab. Die ErzeugungsundVernichtungsoperatoren sind deshalb in einem verallgemeinerten Hilbert-Raum, dem Fock-RaumH F definiert, der aus der orthogonalen Summe aller N-Teilchen-Hilbert-Räume bestehtH F = H (0) ⊕ H (1) ⊕ H (2) ⊕ . . . ⊕ H (N) ⊕ . . . .Die Operatoren physikalischer Observabler sind unabhängig von der Teilchenzahl und somit im ganzenFock-Raum definiert. Dieser enthält auch den Vakuum-Zustand |0〉 mit 〈0|0〉 = 1, der den eindimensionalenHilbert-Raum H 0 aufspannt.

6.2 FeldoperatorenDer im vorigen Abschnitt eingeführte Teilchenzahlformalismus gestattet die Berechnung quantenmechanischerSysteme mit N-Teilchen-Zuständen aus diskreten Einteilchenzuständen. Der Formalismus lässtsich weiter verallgemeinern und vereinfachen, indem Operatoren zu beliebigen Einteilchenzuständenbetrachtet werden.Geht man von einer Basis, also einem vollständigen Orthonormalsystem ψ ν (x) ∈ H (1)im Einteilchen-Hilbert-Raum H (1) aus, so lässt sich jedes Element ψ(x) ∈ H (1) danach entwickelnψ(x) = ∑ ∫ψ ν (x)〈ν|ψ〉 mit 〈ν|ψ〉 = ψν(x)ψ(x) ∗ dτ,νwobei dτ ein Volumenelement im Konfigurationsraum eines Teilchens ist und x einen Vektor in diesemKonfigurationsraum bezeichnet. Mit Hilfe der Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren a ν , a + ν für einTeilchen im Zustand ψ ν (x) werden Feldoperatoren in Form von Vernichtungs-und Erzeugungsoperatorenˆψ(x), ˆψ + (x) für ein Teilchen in einem beliebigen Zustand ψ(x) ∈ H (1) definiertˆψ(x) = ∑ νˆψ + (x) = ∑ νψ ν (x)a νψ ∗ ν (x)a+ νmita ν =a + ν =∫∫ψ ∗ ν(x) ˆψ(x) dτψ ν (x) ˆψ + (x) dτ,wobei die Feldoperatoren im Fock-Raum zur Unterscheidung mit einem Dach versehen wurden.

Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren ergeben sich direkt aus denen der Vernichtungs- undErzeugungsoperatoren für Bosonen:[ ˆψ(x), ˆψ+ (x ′ ) ] = δ(x − x ′ )1 ;[ ˆψ(x), ˆψ(x ′ ) ] = 0 = [ ˆψ+ (x), ˆψ + (x ′ ) ] .Für den Teilchenzahloperator ˆN erhält man∞∑∫ˆN = a + λ a λ = ˆψ + (x) ˆψ(x) dτ =λ=1∫ˆn(x) dτ mit ˆn(x) = ˆψ + (x) ˆψ(x),wobei ˆn(x) den Teilchendichteoperator bezeichnet. Das Umschreiben des Hamilton-Operators in Feldoperatorenergibt∫Ĥ = ˆψ + (x)A(x) ˆψ(x) dτ + 1 ∫ˆψ + (x ′ )2ˆψ + (x)B(x, x ′ ) ˆψ(x) ˆψ(x ′ ) dτ dτ ′ ,wobei A(x) den Einteilchen- und B(x, x ′ ) den Zweiteilchenoperator bezeichnet. Die mit einem Dachmarkierten Feldoperatoren im Fock-Raum beziehen sich nicht auf eine bestimmte Teilchenzahl, dieTeilchenzahl ist vielmehr durch die Zustände des Fock-Raumes gegeben. Die Anwendung des TeilchenzahloperatorsˆN auf einen solchen Zustand liefert die Anzahl N der Teilchen als Eigenwert.Die Teilchenzahlzustände lassen sich auch aus Erzeugungsoperatoren und dem Vakuum-Zustandausdrücken und |x 1 〉 = ˆψ + (x 1 )|0〉 bezeichnet z.B. einen Zustand mit einem Teilchen an der Stelle x 1des Konfigurationsraumes.

6.3 Zeitabhängige FeldoperatorenZur Beschreibung zeitabhängiger Prozesse mit zeitabhängigem Einteilchenoperator A(x, t) und zeitunabhängigemZweiteilchenoperator, lassen sich die zeitunabhängigen Operatoren leicht verallgemeinern.Wir gehen von der zeitabhängigen Einteilchen-Schrödinger-Gleichung aus−¯hi∂ψ(x, t) = A(x, t)ψ(x, t),∂tund definieren die Zeitabhängigkeit der Feldoperatoren entsprechend als Heisenberg-Operatoren−¯h ∂i ∂t ˆψ(x, t) = [ ˆψ(x, t), Â(t) ]∫−¯h ∂i ∂t ˆψ + (x, t) = [ mit Â(t) =ˆψ+ (x, t), Â(t)]ˆψ + (x, t)A(x, t) ˆψ(x, t) dτ.Die Vertauschungsrelationen der Vernichtungs- und Erzeugungs-Feldoperatoren werden zu einer festenZeit t festgelegt und lauten für Bosonen[ ˆψ(x, t), ˆψ+ (x ′ , t) ] = δ(x − x ′ )1[ ˆψ(x, t), ˆψ(x ′ , t) ] = 0 = [ ˆψ+ (x, t), ˆψ + (x ′ , t) ] ,sodass die Feldoperatoren die gewünschte Zeitabhängigkeit erhalten−¯hi∂∂t ˆψ(x, t) = A(x, t) ˆψ(x, t) und − ¯h i∂∂t ˆψ + (x, t) = A(x, t) ˆψ + (x, t).

Der Hamilton-Operator wechselwirkender Teilchen im Fock-Raum hat die FormĤ(t) =Â(t) + ˆB(t)mitÂ(t) und dem ZweiteilchenoperatorˆB(t) = 1 ∫ˆψ + (x, t)2ˆψ + (x ′ , t)B(x, x ′ ) ˆψ(x ′ , t) ˆψ(x, t) dτ dτ ′ ,dessen Zeitabhängigkeit vom Hamilton-Operator bestimmt wird−¯hid ˆBdt = [ ˆB, Ĥ(t) ] .Für den Einteilchenoperator gilt dagegen−¯hidÂ(t)dt= [ Â(t), Ĥ(t)] − ¯h i∂Â∂tmit∂Â∂t = ∫ˆψ + ∂A(x, t)(x, t)∂tˆψ(x, t) dτ.

Exkurs über Heisenberg-OperatorenDie Erwartungswerte der Observablen A(x, t) findet man im Schrödinger-Bild und die Zeitabhängigkeitdes statistischen Opertors ρ(x, t) wird bestimmt durch die von-Neumann-GleichungM(A) = Sp{ρA}mit∂ρ∂t = ī [ρ, H]hmit dem zeitunabhängigen Hamilton-Operator H(x). Eine Lösung der Gleichung erhält man mit demunitären Zeitschiebeoperator U(x, t, t 0 ) mit UU + = 1ρ(x, t) = Uρ(x, t 0 )U +mit∂U∂t = − ī {h HU und U(x, t, t 0) = exp − ī }h H(x)(t − t 0) .Dann hat der Erwartungswert die FormM(A) = Sp { ρ(x, t)A } = Sp { Uρ(x, t 0 )U + A } = Sp { ρ(x, t 0 )A H}mit dem Heisenberg-Operator A H = U + (x, t, t 0 )A(x, t)U(x, t, t 0 ), dessen Zeitabhängigkeit bestimmtwird durch∂A H∂t= ī h [H, A H] + U + ∂A∂t U,wobei der letzte Term verschwindet, wenn der Operator A der Observablen nicht explizit von der Zeitabhängt ∂A∂t = 0.

6.4 QuantenfeldtheorieZur Beschreibung der optischen Eigenschaften von Festkörpern, Flüssigkeiten, Atomen und Molekülenhat man es mit geladenen Massenpunkten d.h. Elektronen und Atomkernen zu tun, die mit elektromagnetischenFeldern in Wechselwirkung stehen. Zum Verständnis vieler optischer Eigenschaftenwird es nötig, auch die elektromagnetischen Felder zu quantisieren.Die Vorgehensweise ist dabeidie gleiche wie bei der Quantisierung der Punktmechanik, indem neben der Lagrange-Funktion eineHamilton-Funktion gebildet wird, und zu den kanonisch konjugierten Koordinaten selbstadjungierteOperatoren eingeführt werden, die bestimmten Vertauschungsrelationen gehorchen. Dieser Weg seideshalb hier kurz skizziert. Hat man in der klassischen Mechanik ein System von Massenpunkten,welches durch generalisierte Lagekoordinaten q k und Geschwindigkeitskoordinaten ˙q k bestimmt ist, soergibt sich die Bewegungsgleichung nach dem Variationsprinzip aus der Variation des Wirkungsintegralsmit der Lagrange-Funktion L(q k , ˙q k , t) = T (q k , ˙q k , t) − V (q k , t) aus kinetischer Energie T undpotenzieller Energie Vδ∫ t2t 1L(q k , ˙q k , t ′ ) dt ′ = 0,wobei die q k (t) mit den Nebenbedingungen δq k (t 1 ) = 0 = δq k (t 2 ) zu variieren sind. Die Variationsableitungoder Funktionalableitung dieses Funktionals ergibt dann die Euler-Lagrange-Gleichungen:δδq k (t)∫ t2t 1L(q k , ˙q k , t ′ ) dt ′ = 0 =⇒ ∂L∂q k− d dt∂L∂ ˙q k= 0.

Funktionalableitung oder VariationsableitungSei r ∈ R 3 , ϕ(r) ∈ R N , F ∈ C, dann heißt ϕ(r) F−→C bzw. F[ϕ] ein Funktional von ϕ.Wenn für η(r) ∈ R N und α ∈ R für ein gegebenes Funktional F[ϕ + αη]die Ableitung nach α existiert und sich in der Formd∣ ∫dα F[ϕ + αη] ∣∣α=0N∑ δF[ϕ]=δϕ k (r) η k(r) d 3 rschreiben läßt, dann heißt δF[ϕ]δϕ k (r)Vk=1Funktionalableitung des Funktionals F[ϕ].Definiert man die kanonisch konjugierten Impulskoordinaten p kHamilton-FunktionH(q k , p k , t) = ∑ p k ˙q k − L(q k , ˙q k , t)k= ∂L∂ ˙q k, so kann man aus derund den Hamilton-Gleichungendie Bewegungsgleichung ebenfalls bestimmen.˙q k = ∂H∂p kund ṗ k = − ∂H∂q k

Der Übergang zur Quantenmechanik besteht nun darin, zu den kanonisch konjugierten Koordianten q k,p k selbstadjungierte Operatoren in einem Hilbert-Raum einzuführen, die den Vertauschungsrelationen[p k , q l ] = ¯h i δ kl1 ; [q k , q l ] = 0 = [p k , p l ]genügen. Die Zeitabhängigkeit der Operatoren A(q k , p k ), die Observablen zugeordnet sind, ist danngegeben durch−¯h idAdt= [A, H].Zur Quantisierung von Feldern gehen wir von einem System von endlich vielen Feldern ψ ν (r, t)mit ν = 1, 2, . . . n aus, mit den unabhängigen Variablen des Ortsraumes r = (x 1 , x 2 , x 3 ) und derZeit t.Diese Felder mögen die Lösungen eines Systems von Differenzialgleichungen sein, die sichaus einem Funktional der Lagrange-Funktion mit einem Variationsprinzip ergeben. Die Variation desWirkungsintegrals muss hier bezüglich der Felder ψ ν (r, t) mit vier unabhängigen Variablen geschehen,so dass die Lagrange-Funktion L aus einer Lagrange-Dichte L gemäßδ∫ t2t 1L dt = 0 mit L =∫L d 3 r und L = L(ψ ν , ψ ν|k , ˙ψ ν , t)zu bestimmen ist, die von den ψ ν , den ˙ψ ν und außerdem noch von den partiellen Ableitungen nachden Ortskoordinaten ψ ν|k = ∂ψ ν∂x kabhängen kann.

Die Variation der ψ ν (r, t) soll dabei an den Integrationsgrenzen |r| → ∞ und t = t 1 , t 2 verschwinden.Dann ergibt die Variation des Wirkungsintegralsδδψ ν (r, t)∫ t2t 1dt ′ ∫d 3 r ′ L(ψ ν , ψ ν|k , ˙ψ ν , t ′ ) = 0die Euler-Lagrange-Gleichungen für Felder ψ ν (r, t) für ν = 1, 2, . . . n∂L∂ψ ν−3∑k=1∂∂x k∂L∂ψ ν|k− ∂ ∂t∂L∂ ˙ψ ν= 0,die zu den Ausgangsgleichungen führen.Zur Quantisierung werden zunächst kanonisch konjugierte Impulsfelder π ν (r, t) und eine von den˙ψ ν unabhängige Hamilton-Dichte D mithilfe einer Legendre-Transformation eingeführtπ ν (r, t) = ∂L∂ ˙ψ νund D(ψ ν , ψ ν|k , π ν , π ν|k , t) =und die von den ˙ψ ν unabhängige Hamilton-FunktionH =∫n∑π ν ˙ψ ν − Lν=1D(ψ ν , ψ ν|k , π ν , π ν|k , t) d 3 r.mit∂D∂ ˙ψ ν= 0,

∫ [ ∑Aus dem totalen Differenzial der Hamilton-Funktion H(ψ ν , π ν ) =n∑ν=1erhält man wegen − δHδψ ν= δLδψ ν= d dt[ δHδψ νδψ ν + δHδπ νδπ ν]δL=n∑ν=1[− δLδψ νδψ ν + ˙ψ ν δπ ν]νπ ν ˙ψ ν −L(ψ ν , ψ ν|k , ˙ψ]ν , t) d 3 rδ ˙ψ ν= d dt π ν die Hamiltonschen Gleichungen für Felder∂ψ ν∂t= δHδπ ν= ∂D∂π ν−3∑k=1∂∂x k∂Dund − ∂π ν∂π ν|k ∂t= δHδψ ν= ∂D∂ψ ν−3∑k=1∂∂x k∂D∂ψ ν|k.Der Übergang von der klassischen Feldtheorie zu einer Quantenfeldtheorie wird dadurch vorgenommen,dass die kanonisch konjugierten Felder zu Feldoperatorenψ ν (r, t) −→ ˆψ ν (r, t) und π ν (r, t) −→ ˆπ ν (r, t) und H −→ Ĥwerden, die den Vertauschungsrelationen für Bosonen[ˆπν (r, t), ˆψ µ (r ′ , t) ] = ¯h i δ νµδ(r − r ′ )1 und [ˆπ ν (r, t), ˆπ µ (r ′ , t) ] = 0 = [ ˆψν (r, t), ˆψ µ (r ′ , t) ]genügen sollen. Die zeitlicheÄnderung der Feldoperatoren ergibt sich bei Heisenberg-Operatoren−¯hi∂ ˆψ ν∂t= [ ˆψ ν , Ĥ] und − ¯h i∂ˆπ ν∂t= [ˆπ ν , Ĥ].

7 QuantenoptikDie dielektrische Verschiebung sei gegeben durch D = εE mit ε = ε r ε 0 , wobei E die elektrischeFeldstärke, ε 0 die elektrische Feldkonstante und ε r eine Konstante bezeichnen. Die magnetische Induktionsei gegeben durch B = µH mit µ = µ r µ 0 , wobei H die magnetische Feldstärke, µ 0 diemagnetische Feldkonstante und µ r eine Konstante bezeichnen. Ist dann ρ die Ladungsdichte und j dieelektrische Stromdichte, so lassen sich die Feldgleichungen∇ × E = −Ḃ ; ∇ × H = Ḋ + j ; ∇ · D = ρ ; ∇ · B = 0mit Hilfe des Vektorpotenzials A und des skalaren Potenzials φ mit der Lorentz-KonventionB = ∇ × A ; E = −Ȧ − ∇φ mit 1v 2 ˙φ + ∇ · A = 0wegen ε 0 µ 0 = 1/c 2 mit der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum und der Brechzahl n∇ · A + 1 v 2 ∂φ∂t = 0 mit 1v 2 = εµ = ε rµ r ε 0 µ 0 = n2c 2 und n = c v = √ ε r µ rauf vier inhomogene Wellengleichungen zurückführen, vergl. Abschn. 1.4( 1v 2 ∂ 2∂t 2 − ∆ )A = µjund( 1v 2 ∂ 2∂t 2 − ∆ )φ = 1 ε ρ.

Die Potenzialgleichungen ergeben sich mit Hilfe der Lagrange-DichteL = 1 2(εE 2 − 1 µ B2) + j · A − ρφ= ε 2( ) 2 ∂A+ ε ∂A∂t ∂t · ∇φ + ε ( ) 2 1 ( ) 2∇φ − ∇ × A + j · A − ρφ2 2µund den Euler-Lagrange-Gleichungen mit ψ ν|k = ∂ψ ν∂x k3∑∂L∂ψ ν−k=1∂∂x k∂L∂ψ ν|k− ∂ ∂tund ˙ψ ν = ∂ψ ν∂t∂L∂ ˙ψ ν= 0,indem ψ k = A k , für k = 1, 2, 3 und ψ 4 = φ gesetzt, und die Lorentz-Konvention beachtet wird.Zum Beweise beachten wir mit A = (A 1 , A 2 , A 3 ), r = (x 1 , x 2 , x 3 )((∇ × A) 2 ∂A3= − ∂A ) 2 (2 ∂A1+ − ∂A ) 2 (3 ∂A2+ − ∂A ) 21∂x 2 ∂x 3 ∂x 3 ∂x 1 ∂x 1 ∂x 2und berechnen zunächst den mittleren Term der Euler-Lagrange-Gleichungen mit ψ 1 = A 13∑ ∂ ∂L= − 1 3∑ ∂ ∂(∇ × A) 2∂x k ∂Ak=11|k 2µ ∂x k ∂Ak=21|k= − 1 [ ∂( ∂A1− ∂A )2+ ∂ ( ∂A1− ∂A )3± ∂ ]∂A 1µ ∂x 2 ∂x 2 ∂x 1 ∂x 3 ∂x 3 ∂x 1 ∂x 1 ∂x 1= − 1 [∆A 1 −∂ ]∇ · A .µ ∂x 1

Damit erhält man aus den Euler-Lagrange-Gleichungen∂L∂ψ ν−3∑k=1∂∂x k∂L∂ψ ν|k− ∂ ∂t∂L∂ ˙ψ ν= 0,und der Lagrange-FunktionL = ε 2( ) 2 ∂A+ ε ∂A∂t ∂t · ∇φ + ε ( ) 2 1 ( ) 2∇φ − ∇ × A + j · A − ρφ2 2µfür ψ 1 = A 1 mit j = (j 1 , j 2 , j 3 )j 1 + 1 µund wegen der Lorentz-Konvention[∆A 1 −∂ ]∇ · A − ε ∂2 A 1∂x 1 ∂t 2 − ε ∂φ = 0,∂t∂x 11µ ∇ · A + ε∂φ ∂t = 0addieren sich der dritte und fünfte Term zu Null, so dass die inhomogene Wellengleichungµj 1 +(∆A 1 − εµ ∂2 A)1∂t 2für A 1 resultiert. Entsprechend erhält man mit ψ ν = φ aus der Euler-Lagrange-Gleichung ebenfallsdie inhomogene Wellengleichung für φ.= 0

7.1 Quantisierung freier elektromagnetischer FelderBei der zu behandelden Wechselwirkung der elektromagnetischen Strahlung mit Festkörpern befindensich die die Strahlungsfelder erzeugenden Ladungen ρ und Ströme j entfernt vom Festkörper undwerden hier zu Null gesetzt, um die Potenziale A und φ der freien elektromagnetischen Strahlung zubestimmen. Da beide Potenziale Lösungen der homogenen Wellengleichung A = 0 und φ = 0 sind,lassen sich die beobachtbaren Felder E und B aus A alleine bestimmen, indem eine EichtransformationA ′ = A + ∇f, φ ′ = φ − f ˙ mit f = 0 und f ˙ = φ vorgenommen wird, sodass φ ′ = 0 wird. Dadurcherhält man aus der Lorentz-Konvention ∇ · A = 0, was auch als Strahlungseichung bezeichnet wird.Das zum Vektorpotenzial A(r, t) = (A 1 , A 2 , A 3 ) gehörige kanonisch konjugierte Impulsfeld istπ k (r, t) = ∂L∂A ˙ = εA ˙ k mit L(A, Ȧ) = 2Ȧ2 ε − 1k 2µ (∇ × A)2 ,und die Energiedichte ergibt sich wegen B = ∇ × A und E = −Ȧ zuD =3∑k=1π k Ȧ k − L = 1 2 εȦ2 + 12µ (∇ × A)2 = 1 2 E · D + 1 2 H · B.Die Hamilton-Funktion der freien elektromagnetischen Strahlung ist damit die Energie nach Abschn. 1.3∫H = D d 3 r = 1 ∫ [εȦ2 + 1 ]2µ (∇ × A)2 d 3 r = 1 ∫(E · D + H · B) d 3 r.2

Zur Quantisierung des elektromagnetischen Strahlungsfeldes werden für die kanonisch konjugiertenFelder A k (r, t) und π k (r, t) Feldoperatoren Âk bzw. ˆπ k mit den Vertauschungsrelationen angesetzt:[ˆπk (r, t), Âl(r ′ , t) ] = ¯h i δ klδ(r − r ′ )1 und [ˆπ k (r, t), ˆπ l (r ′ , t) ] = 0 = [ Â k (r, t), Âl(r ′ , t) ] .Wir schreiben die Lösungen der homogenen Wellengleichungebenen WellenA(r, t) = √ 1 2∑ ∑2j=1qA = 0 als Linearkombination von[u j (q) √ 1]exp {iq · r} exp {−i2πν j (q)t} + k.k. .VDie Basisvektoren des Gitters a 1 , a 2 , a 3 spannen die Elementarzelle bzw.das PeriodizitätsgebietΩ = (a 1 , a 2 , a 3 ) auf und die Vektoren Na 1 , Na 2 , Na 3 das Grundgebiet V = N 3 Ω mit 1 ≪ N. Dieperiodischen Randbedingungen für die ebenen Wellen exp { iq · (r + Na j ) } = exp {iq · r} erfordern dieBedingung exp {iq · a j N} = 1, woraus sich die diskreten Ausbreitungsvektorenq = m 1N b 1 + m 2N b 2 + m 3N b 3 mit ganzen Zahlen m 1 , m 2 , m 3ergeben. Dabei erfüllen die reziproken Gittervektoren b j = 2π Ω a k × a l mit zyklischen (j, k, l) dieBedingungen a j · b k = 2πδ jk .

Ferner bezeichnen u j (q) den Polarisationsvektor für zwei verchiedene Polarisationsrichtungen,ν j (q) = v|q|/2π die Frequenz der Welle mit dem Dispersionsgesetz, und ”k.k.” den konjugiert komplexenTerm. Wegen ∇ · A = 0 erfüllen die reellen Polarisationsvektoren die Bedingung q · u j (q) = 0,so dass es nur zwei transversale linear unabhängige Polarisationsrichtungen j = 1, 2 gibt.BeimÜbergang zu den Feldoperatoren A(r, t) −→ Â(r, t) ist die Reihenentwicklung von der Formwie in Abschn. 6.2 ˆψ(x) = ∑ ν ψ ν(x)a ν mit dem Vernichtungsoperator a ν für ein Teilchen bzw. hierc j (q, t) und dem Erzeugungsoperator c + j (q, t)√Â(r, t) = √ 1 2∑ ∑[¯hu j (q) √ 1 exp {iq · r} c j (q, t) + u j (q) √ 1 exp {−iq · r} c + j].2 2πεν j (q)(q, t) V Vj=1qDie zeitabhängigen Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren für die Photonen√2πενj (q)c j (q, t) =exp { − i2πν j (q)t } √bzw. c + j¯h(q, t) = 2πενj (q)exp { i2πν j (q)t }¯herfüllen die Schwingungsgleichung∂c j (q, t)∂t= −i2πν j (q)c j (q, t) oder∂ 2 c j (q, t)∂t 2 + ( 2πν j (q) ) 2cj (q, t) = 0.Das zu A(r, t) = (A 1 , A 2 , A 3 ) gehörige Impulsfeld ˆ⃗π(r, t) = (π 1 , π 2 , π 3 ) ist dann√ˆ⃗π(r, t) = ε ∂Â∂t = √ 1 2∑ ∑[¯h− iε2πν j (q)u j (q) √ 1 exp {iq · r} c 2 2πεν j (q)j (q, t)Vj=1q+ iε2πν j (q)u j (q) 1 √Vexp {−iq · r} c + j (q, t) ].

Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren  und ˆ⃗π führen dann zu den Vertauschungsrelationenfür die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren c j (q, t) und c + j (q, t) für ein Photon der Polarisationj, der Wellenzahl |q| und der Energie hν j (q) = v¯h|q|[cj (q, t), c + j(q ′ , t) ] [= δ ′ jj ′δ qq ′1 ; cj (q, t), c j ′(q ′ , t) ] = 0 = [ c + j (q, t), c+ j(q ′ , t) ] .′Zum Beweis sei darauf hingewiesen, dass die Operatoren c j (q, t) und c + j (q, t) jeweils einem Photonder beiden unabhängigen Polarisationsrichtungen j = 1, 2 zugeordnet sind, sodass u 2 kj (q) = 1 undu kj u lj = 0 zu setzen ist. Ferner gilt die Vollständigkeitsbeziehung 1 ∑exp { iq · (r − r ′ ) } = δ(r − r ′ ).VqBeim Einsetzen der FeldoperatorenÂ(r, t) und ˆπ(r, t) in den Hamilton-OperatorĤ = 1 2∫ [ε( ∂ Â∂t) 2+1µ (∇ × Â)2] d 3 r = 1 2∫ [1ε ˆ⃗π 2 (r, t) + 1 µ(∇ × Â(r, t) ) 2 ] d 3 rergibt sich bei Verwendung der Vertauschungsrelationen für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatorenc + j (q, t) und c j (q, t) die Form einer Summe aus 2N 3 ungekoppelter harmonischer Oszillatoren,die durch die beiden Indizes j und q abgezählt werden,Ĥ =2∑ ∑j=1q(hν j (q) c + j (q, t)c j(q, t) + 1 ).2

Jeder einzelne Oszillator hat die äquidistanten Energieeigenwerte hν j (q) = ( n j (q) + 2) 1 mit den Besetzungszahlenn j (q) = 0, 1, 2, . . . die angeben, wieviele Photonen der Energie hν j (q) = v¯h|q| und mitdem Impuls ¯hq im Grundgebiet V vorhanden sind.Der Hamilton-Operator ist mit dem Feldoperator Â(r, t) und damit auch mit der elektrischenFeldstärke und der magnetischen Induktion nicht vertauschbar. Die elektromagnetischen Felder unddie Anzahl der Photonen2∑ ∑2∑c + j (q, t)c ∑j(q, t) = n j (q)j=1 qj=1 qsind wegen [c + c, c] = −c und [c + c, c + ] = c + nicht gleichzeitig scharf meßbar.Der Beweis für den Feldoperator Ĥ, wie er sich aus der Form der Operatoren Ȧ und ∇×A ergibt,wird einfach, wenn man die folgenden Zusammenhänge berücksichtigt.⊲ Die beiden Integrale sind gleich∫ 1ε ˆ⃗π 2 d 3 r =∫ 1µ (∇ × A)2 d 3 r.⊲ Für die ebenen Wellen ϕ q (r) = 1 √Vexp {iq · r}gelten die Orthonormalitäts- und Vollständigkeitsbeziehungen〈ϕ q |ϕ q ′〉 = 1 V∫exp { i(q ′ − q) · r } d 3 r = δ qq ′und∑ϕ q (r)ϕ ∗ q(r ′ ) = δ(r − r ′ ).Vq⊲ Es gilt die Dispersionsbeziehung 2πν j (q) = v|q| bzw.q 2εµ = v2 q 2 = 4π 2 ν 2 j (q).

⊲ Zu berücksichtigen sind nur Terme mit der gleichen Anzahl von Erzeugungsoperatoren c + j (q, t)und Vernichtungsoperatoren c j (q, t).⊲ Wegen ∇ · A = 0 handelt es sich um Transversalwellen mit q · u j (q) = 0 mit der Folge(q × uj (q) ) · (q× u j (q) ) = q 2 u 2 j (q) = q2 .7.2 Elektron-Photon-WechselwirkungBei der Wechselwirkung der quantisierten elektromagnetischen Wellen, also der Photonen, mit freienoder gebundenen Atomen geht man von der Lorentz-Kraft aus, die die elektromagnetischen Felder Eund B auf die als geladene Massenpunkte idealisierten Elektronen und Atomkerne ausüben.Im Rahmen der klassischen Mechanik bewegt sich eine Punktladung der Masse m und der Ladunge auf einer Bahnkurve r(t), die bei gegebenen E und B durch die Lorentz-Kraftm¨r = e(E + ṙ × B)bestimmt ist. Die Ladungen und Ströme, die die Felder E und B erzeugen, seien vom Ort der untersuchtenMaterie weit entfernt, sodass hier nur die Ladungen und Ströme der betrachteten Punktladungeneine Rolle spielen. Wir verwenden die elektrodynamischen Potenziale A und φ mit B = ∇ × Aund E = −Ȧ − ∇φ in Strahlungseichung mit φ = 0 und ∇ · A = 0, vergl. Abschn. 7.1, alsoB = ∇ × A und E = −Ȧ.

Im nichtrelativistischen Fall ergibt sich dann die Bahnkurve r(t) aus der Lagrange-FunktionL(r, ṙ) = m 2 ṙ2 + eṙ · Aund den Euler-Lagrange-Gleichungend ∂Ldt ∂ṙ − ∂L∂r = 0.Der zu r kanonisch konjugierte Impuls ist p = ∂L = mṙ + eA und die Hamilton-Funktion ist∂ṙH(r, p) = ṙ · p − L(r, ṙ) = mṙ 2 + eṙ · A − m 2 ṙ2 − eṙ · A = m 2 ṙ2 = 1 ( ) 2. p − eA2mGeht man davon aus, dass sich die Elektronen bzw. die Atomkerne in einem effektiven Einteilchenpotenzialv(r) bewegen, das von der umgebenden Materie verursacht wird, so lautet die Einelektronen-Hamilton-Funktion mit der Elektronenmasse m eH = 12m e(p − eA) 2+ v(r).Beim Übergang zur Quantenmechanik ist der Impulsoperator p = ¯h ∇ einzusetzen und die Energie derifreien elektromagnetischen Felder nach Abschn. 7.1 hinzuzufügen. Der Hamilton-Operator beschreibtdann das Elektron, die elektromagnetische Strahlung und die Wechselwirkung zwischen beidenH = 1 (¯h) 2∫2m e i ∇ − eA 1 (+ v(r) + ε 0 E 2 + 1 B 2) d 3 r2µ 0= 1 (¯h) 2∫2m e i ∇ − eA 1 [+ v(r) + ε 0 Ȧ 2 + 1 (∇ × A) 2] d 3 r.2µ 0

Vernachlässigt man den kleinen Term mit A 2 , so erhält man wegen ∇ · A = 0 für den gemischten Term1(− ¯h )2m e i e (∇ · A + A · ∇) = 1 (− ¯h )2m e i e (A · ∇ + ∇· A ↓+A · ∇) = − e¯h A · ∇,im ewobei der Pfeil auf dem Term ∇ · A anzeigt, dass der Operator ∇ nur das A differenziert, und es folgtH = − ¯h2e¯h∆ + v(r) − A · ∇ + 1 ∫ [ε 0 Ȧ 2 + 1 (∇ × A) 2] d 3 r2m} e im{{ } } e 2µ{{ } } {{ 0}Kristallelektron Elektron-Licht-WWfreies Strahlungsfeldein Einelektronen-Hamilton-Operator aus drei Teilen, mit einem Teil H KE des Kristallelektrons, einemTeil H EL der Elektron-Licht-Wechselwirkung und einem Teil H L des freien Strahlungsfeldes.DerÜbergang zu dem Vielelektronensystem und einem quantisierten Strahlungsfeld ist nun mitdem Teilchenzahlformalismus denkbar einfach. Wir schreiben den Operator im Fock-Raum der Elektronenund PhotonenĤ = ĤKE + ĤEL + ĤLmit dem Operator der Kristallelektronen und dem Teilchenzahloperator a nk der Bloch-ZuständeĤ KE = ∑ n∑BZkE n (k)a + nk a nk mit |nk〉 = ψ n (k, r) = 1 √N3 exp {ik · r} u n(k, r),dem Operator des freien Strahlungsfeldes mit dem Teilchenzahloperator der Photonen c j (q)Ĥ L =2∑ ∑j=1q(hν j (q) c + j (q, t)c j (q, t) + 1 )2

und dem Operator der Elektron-Photon-Wechselwirkung und dem Operator  des VektorpotenzialsH EL = − e¯h 1im e 2√2∑ ∑ ¯h2πε 0 ν j (q)j=1q[ 1√Vexp {iq · r} u j (q) · ∇c j (q, t)+ 1 √Vexp {−iq · r} u j (q) · ∇c + j (q, t) ].Dieser Operator ist zunächst nur für die Photonen ein Teilchenzahloperator, in Bezug auf die Elektronenaber ein Einelektronenoperator. Er lässt sich jedoch nach Abschn. 6.1 direkt in einen Fock-Operatormit den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Bloch-Zustände a + nk , a nk umschreibenĤ Elekt = ∑ ∑〈nk|H Elekt |n ′ k ′ 〉a + nk a n ′ k ′,n,k n ′ ,k ′und man erhältĤ EL = ∑ n,k∑ ∑][M(n, k; n ′ , k ′ ; j, q)a + nk a n ′ k ′c j (q, t) + M(n, k; n′ , k ′ ; j, −q)a + nk a n ′ k ′c+ j (q, t)n ′ ,k ′ j,qmit dem Übergangsmatrixelement zwischen den Bloch-Zuständen |nk〉 = ψ n(k, r)√M(n, k; n ′ , k ′ ; j, q) = − e¯h 1im e 2¯h2πε 0 ν j (q)〈nk∣ ∣1√Vexp {iq · r} u j (q) · ∇ ∣ ∣ n ′ k ′〉 .

Hier bezeichnen also a + nk und a nk die Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren für ein Elektron imBloch-Zustand ψ n (k, r) mit der Energie E n (k) und c + j (q, t) bzw. c j (q, t) die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatorenfür ein Photon der Energie hν j (q) mit dem Impuls ¯hq und der Dispersionsbeziehungν j (q) = c|q|/2π, wobei c die Lichtgeschwindigleit bezeichnet. Die Vektoren u j (q) mit q · u j (q) = 0geben die Amplituden und die Polarisation senkrecht zum Wellenvektor q an.Zur Veranschaulichung betrachten wir einen Laserstrahl, der von einem Resonator erzeugt wird,und der aus einzelnen diskreten Linien, den sogenannten Moden besteht. Seien n 1 , n 2 , . . . die Besetzungszahlender Bloch-Zustände und l 1 , l 2 . . . die der Photonenzustände, so sind die Teilchenzahlzuständefür den OperatorĤ = ĤKE + ĤEL + ĤL durch |nl〉 = |n 1 n 2 . . . l 1 l 2 . . .〉gegeben. Der Erwartungswert der elektrischen Feldstärke berechnet sich wegen Ê = − ˙Â = − 1 ε ˆ⃗π zu〈Ê〉 = 〈nl|Ê|nl〉 = 〈nl∣ ∣ −1ε ˆ⃗π ∣ ∣ nl〉 = 0,weil der Operator ˆ⃗π nur einzelne Photonenzahloperatoren mit 〈nl|c j (q, t)|nl〉 = 0 = 〈nl|c + jenthält. Jedoch ergibt sich für die Streuung bei der Messung der elektrischen Feldstärke(q, t)|nl〉〈(∆ Ê) 2〉 = 〈 nl ∣ ∣ ( Ê − 〈Ê〉1 )2∣ ∣ nl〉=〈nl∣ ∣〈 Ê 2 〉 − 〈Ê〉2∣ ∣ nl〉=〈nl∣ ∣〈 Ê 2 〉 ∣ ∣ nl〉.Der Ausdruck ist für jede einzelne Mode proportional zu 2l ν + 1 mit l ν = 0, 1, 2, . . ., also von Nullverschieden.

Anwendungsbeispiel: Elektronische InterbandübergängeBei der Interpretation der Energiebänder E n (k) der Kristalle als Einelektronenenergieniveaus muss manverschiedene Anregungsprozesse unterscheiden. Bei elektrischen Feldern E, die zur Beschleunigungvon Elektronen führen, ändert sich der Bloch-Zustand quasistetig von ψ n (k, r) nach ψ n (k ′ , r). Beider Absorption eines Photons hinreichender Energie, wird aber ein Elektron im Zustand ψ V (k, r) ausdem Valenzband entfernt und in einen Zustand ψ L (k, r) im Leitungsband angeregt, wobei ein Loch imValenzband zurückbleibt.Bei der Photoemission wird andererseits ein Elektron aus einem Zustand ψ V (k, r) im Valenzbandentfernt und befindet sich anschließend außerhalb des Kristalles. Die drei Vorgänge haben unterschiedlicheEndzustände und entsprechende Experimente sind bezüglich der Energiebänder nicht unmittelbarvergleichbar.So gibt es z.B. bei der elektrischen Leitfähigkeit auch Streuprozesse der Leitungselektronen untereinander,und bei der Absorption eines Photons entsteht ein Elektron-Loch-Paar, wobei zwischenElektron und Loch eine anziehende Wechselwirkung existiert. Beides hängt mit dem Koopmans-Theorem zusammen, wonach die Energiebänder zwar die Photoemission genähert beschreiben, für dieinneren Anregungen im Festkörper aber Korrekturen erforderlich sind.

Wir setzen voraus, dass der Operator der Wechselwirkung zwischen Elektronen und dem Licht ĤEL nureine kleine Störung des durch den Operator Ĥ0 = ĤKE +ĤL beschriebenen ungestörten Systems verursacht.Die elektromagnetische Welle kann dann mit der zeitabhängigen Störungsthoerie berücksichtigtwerden, und dieÜbergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit für einen Übergang vom Anfangszustand|a〉 in einen Endzustand |e〉 von Ĥ0 lässt sich mit der Goldenen Regel der Quantenmechanik berechnenW ae = 2π¯h∣ 〈 . . . N nk . . . ; . . . M jq . . . ∣ ∣ ĤEL∣ ∣ . . . N′nk . . . ; . . . M ′ jq . . . 〉∣ ∣ ∣2δ(|Ea − E e | ) ,wobei E a den Anfangszustand |a〉 = | . . . N nk . . . ; . . . M jq . . .〉 und |e〉 = | . . . N nk ′ . . . ; . . . M jq ′ . . .〉 denEndzustand von Ĥ0 bezeichnen, mit den Besetzungszahlen N nk für die Bloch-Zustände und M jq fürdie Photonen. Wir gehen davon aus, dass reichlich Licht eingestrahlt wird, so dass sich das Photonenreservoirdurch einen Absorptions- oder Emissionsprozess praktisch nicht verändert.Beim Einsetzen des Elektron-Licht Wechselwirkungsoperators ĤEL betrachten wir nur den einenSummanden mit a + n ′ k ′ a nk c j (q), der die Absorption eines Photons der Energie hν j (q) beschreibt, und erhaltenfür die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit für ein Elektron vom Bloch-Zustand ψ n(k, r)in einen Zustand ψ n ′(k ′ , r) mit dem ÜbergangsmatrixelementW nk,n ′ k ′ = 2π¯h∑j,qe 2¯h 2m 2 e¯h∣ 〈 n ′ k ′∣ ∣1√ exp {iq · r} u j (q) · ∇ ∣ 〉 ∣ 2nk ∣2πε 0 ν j (q) V× δ ( |E n ′(k ′ ) − E n (k)| − hν j (q) ) .

Setzt in man das Integral die Bloch-Funktionen |nk〉 = ψ n (k, r) ein,I =∫Vψ + n ′ (k ′ , r) 1 √Vexp {iq · r} u j (q) · ∇ψ n (k, r) d 3 r,so kann man die Integration über das Grundgebiet V = N 3 Ω zerlegen in eine Integration r 1 über dieElementarzelle Ω und in eine Summe über die durch einen Gittervektor R abgezählten Elementarzellen,indem man r = R + r 1 setzt und die Bloch-Bedingungψ n (k, r) = ψ n (k, r 1 + R) = exp {ik · R} ψ n (k, r 1 )beachtet. Dann lässt sich die Summe über die N 3 Gittervektoren R in V separat ausführenI =V∑∫RΩexp { i(k − k ′ + q) · R } ψ ∗ n ′(k′ , r 1 ) 1 √Vexp {iq · r 1 } u j (q) · ∇ψ n (k, r 1 ) d 3 r,die wegen1N 3V∑Rexp { i(k − k ′ + q) · R } = δ k′ −k,qnur für k ′ − k = q + G nicht verschwindet, wobei G einen reziproken Gittervektor bezeichnet.

Nun sind die Ausbreitungsvektoren der Elektronen am Rande der Brillouin-Zone etwa |k| = 2π/a,mit der Gitterkonstanten a in der Größenordnung einiger Å, z.B. a = 5, 43 Å bei Silicium. Photonenhaben bei Energien von weniger als 10 eV viel größere Wellenlängen λ > 1 µm = 10 4 Å ≫ a undWellenvektoren |q| = 2π/λ ≪ |k| außer in einer kleinen Umgebung des Γ-Punktex bei k = 0. Deshalbfinden optische Übergänge zwischen verschiedenen Bändern in erster Näherung der Störungstheorienur bei k ′ = k statt, was auch als k-Auswahlregel bezeichnet wird. Intrabandübergänge innerhalbeines Energiebandes sind in dieser Näherung verboten. Betrachtet man den zweiten Term von ĤEL, sofindet man die gleiche Auswahlregel auch für Emissionsvorgänge.Die Elementarprozesse der Absorption bzw. Emission eines Photons sind alsohν j (q)E V (k)E L (k ′ Energiesatz E V (k) + hν j (q) = E L (k ′ ))e − e − Impulssatz ¯hk + ¯hq = ¯hk ′ ≈ ¯hkE L (k)hν j (q)Energiesatz E L (k) = E V (k ′ ) + hν j (q)e − Impulssatz ¯hk = ¯hk ′ + ¯hq ≈ ¯hk ′ ,e − E V (k ′ )und es gelten die Erhaltungssätze von Energie und Impuls.

7.3 Phonon-Photon-WechselwirkungIn einem einfachen Modell des Festkörpers geht man davon aus, dass die thermischen Gitterschwingungendie Atome aus ihren Ruhelagen auslenken. Die dadurch entstehenden Abweichungen im periodischenElektronenpotenzial führen zu der in Festkörpern wirksamen Elektron-Phonon-Kopplung, die dieUrsache ist für die Umwandlung elektrischer Energie in Wärme nach dem Ohmschen Gesetz. Andererseitsbilden sich durch die Auslenkungen auch atomare elektrische Dipole, sodass eine Dipoldichte oderPolarisation entsteht. Diese Dipolmomente sind bei gegeneinander schwingenden Nachbaratomen, alsobei optischen Phononen, und bei polaren Halbleitern besonders groß und in einfacher Näherung proportionalzu Auslenkung des Atoms aus seiner Ruhelage. Im elektrischen Feld der elektromagnetischenStrahlung E = −Ȧ ist dann als Polarisationsarbeit die Energie∫E = − P(r, t) · E(r, t) d 3 raufzuwenden, die dem Hamilton-Operator des Lichtes hinzuzufügen ist, und die Phonon-Photon-Wechselwirkung beschreibt. Dazu wird die Polaristion P durch dieErzeugungs- und Vernichtungsoperatoren b + l (p) bzw. b l (p) der Phononen,mit der Energie ¯hω l (p) und dem Impuls ¯hp, ausgedrückt, und die elektrische Feldstärke E durch dieErzeugungs- und Vernichtungsoperatoren c + j (q) bzw. c j(q) der Photonen.

In dem Ausdruck der Phonon-Photon-Wechselwirkung treten dann Terme der Art c + j (q)b l(p) undb + l (p)c j (q) mit hν j (q) = ¯hω l (p) (Energiesatz) und ¯hq = ¯hp (Impulssatz)auf, die die Emission eines Photons bzw. die Absorption eines Photons beschreiben. Hierbei wird dieEnergie des Photons unmittelbar in die Energie eines Phonons umgewandelt, und der Impulssatz kannnur mit einem optischen Phonon mit p am Γ-Punkt, also bei ¯hp ≈ 0 erfüllt werden.Außerdem gibt es Terme, die Zweiphononenprozesse mit akustischen Phononen darstellenhν j (q) = ¯hω l1 (p 1 ) + ¯hω l2 (p 2 ) mit ¯hq = ¯hp 1 + ¯hp 2 ≈ 0,bei denen die Impulse der beiden Phononen entgegengesetzt gleich sein müssen.Die Absorption bzw. Emission eines Photons beschreiben dann die Diagramme:hν j (q) ¯hω l1 (p 1 )¯hω l1 (p 1 )hν j (q)¯hω l2 (p 2 )¯hω l2 (p 2 )Die optischen Eigenschaften von Halbleitern und Metallen werden hauptsächlich durch die Elektron-Photon-Phonon-Kopplung bestimmt.

7.4 Kohärente ZuständeBetrachtet man die Emission eines Lichtquantes durch ein Atom, so beträgt eine typische Lebensdauereines angeregten Zustandes etwa τ c = 10 −8 s, sodass die Länge des Wellenpaketes l c = cτ c = 3 m unddie Streuung der Kreisfrequenz aufgrund der Energie-Zeit-Unschärferelation ∆ω = 1 = 5 · 10 7 s −12τ cbetragen (zum Vergleich: bei grünem Licht der Wellenlänge λ = 500 nm ist ω = 4 · 10 15 s −1 ). Beigebundenen Atomen sind Kohärenzzeit τ c und Kohärenzlänge l c deutlich kleiner. Teilt man einenWellenzug in zwei Strahlen und überlagert sie, nachdem sie unterschiedliche Wegstrecken zurückgelegthaben, so kann man Interferenzerscheinungen nur beobachten, wenn der Wegunterschied nicht größerist als die Länge des Wellenzuges l c , d.h. wenn zeitliche Kohäherenz besteht.Betrachtet man gewöhnliche Lichtquellen, bei denen eine Vielzahl von Atomen unabhängig voneinanderemittieren, so weisen die einzelnen Wellenpakete im Detektor keine Phasenkorrelation auf.Allerdings wird bei der Beobachtung von Licht ausgedehnter Körper (z.B. eines Sternes) meisteine räumliche Kohärenz der Phase festgestellt. Sei D der Durchmesser des Strahlers und d der derEintrittsöffnung der Messapparatur im Abstand R, so ist die für Interferenzexperimente erforderlicheräumliche Kohärenz gegeben, falls Dd < λR ist, wobei λ = 2πc/ω die Wellenlänge des Lichtes bezeichnet.Führt man den Winkel α = D/R ein, unter dem der Strahler vom Beobachter aus erscheint, so istdie räumliche Kohäherenz für d < λ/α gegeben, und bei Flächenstrahlern beträgt die Kohärenzlängesenkrecht zur Beobachtungsrichtung l ⊥ = λ/α und in Beobachtungsrichtung l c = cτ c . Für den hellstenFixstern Beteigeuze z.B. ist α = 2 · 10 −7 und bei Beobachtung mit grünem Licht der Wellenlängeλ = 500 nm ergibt sich l ⊥ = 2 m.

Bei Experimenten mit monochromatischem Licht hat man es bei gewöhnlichen Lichtquellen in derRegel mit vielen Photonen unterschiedlicher Phasen zu tun, die durch Teilchenzahlzustände |n〉 mitn = 0, 1, 2, . . . beschrieben werden, und die inkohärentes Licht genannt werden. Im Unterschied dazuemittieren Laser monochromatisches und kohärentes Licht, wobei die einzelnen Photonen als ebeneWellen E = E 0 exp { i(q · r − ωt + ϕ) } am Ort r 0 und zur Zeit t 0 die gleiche Phase φ = q · r 0 − ωt 0 + ϕbesitzen.Dies wird im Laser mithilfe zweier Spiegel durch induzierte Emission erreicht, wenn dasMedium bis zur Inversion angeregt ist.Der Operator des Vektorpotenzials der Photonen lautet nach Abschn. 7.1Â = 1 √2√2∑ ∑j=1q¯h2πεν j (q)[u j (q) 1 √Vexp {iq · r} c j (q, t) + u j (q) 1 √Vexp {−iq · r} c + j (q, t) ]mit den Kreisfrequenzen 2πν j (q), den Polarisationsvektoren u j (q) und den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatorenfür ein Photon c + j (q, t) bzw. c j (q, t), die nach Abschn. 7.1 durch j und q abgezähltwerden. Zur Beschreibung des Laserlichtes betrachten wir ebene Wellen mit einer festen Kreisfrequenzω und dem Ausbreitungsvektor |q| = ω/v, wobei v = c/ √ ε die Lichtgeschwindigkeit im Mediumbezeichnet, in das das Laserlicht eingestrahlt wird. Wir setzen dann2πν j (q) = ω ; u j (q) = u ; c j (q, t) = c exp {−iωt} ; c + j (q, t) = c+ exp {iωt}mit zeitunabhängigen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für ein Photon c + bzw. c.

Mit den Photonenzahlzuständen |n〉 gilt dannc + |n〉 = √ n + 1 |n + 1〉 ; c|n〉 = √ n |n − 1〉 ; [c, c + ] = 1 und 〈n|m〉 = δ nm .Der zugehörige Operator des Vektorpotenzials lautet also = 1 2und der Operator der elektrischen Feldstärke ist√¯hεω u 1 √V[exp { i(q · r − ωt) } c + exp { − i(q · r − ωt) } c +]Ê = − ˆȦ =i √2√¯hωεV u [exp { i(q · r − ωt) } c − exp { − i(q · r − ωt) } c +] .Die einzelnen Photonen eines n-Photonenzustandes |n〉 sind nicht korreliert, d.h. haben keine festePhasenbeziehung untereinander, sodass der Erwartungswert der elektrischen Feldstärke verschwindet〈n|Ê|n〉 = 0, denn es gilt 〈n|c|n〉 = 0 = 〈n|c+ |n〉.Die Operatoren der elektrischen Feldstärke Ê und der der Photonenzahl ˆn = c+ c sind wegen[ˆn, c] = [c + c, c] = −c und [ˆn, c + ] = [c + c, c + ] = c +nicht vertauschbar, und daher nicht gleichzeitig scharf messbar.

Dazu berechnen wir die Streuung ∆n bei der Messung der Photonenzahl mit dem Erwartungswert〈n|ˆn|n〉 = n∆n 2 = 〈 n ∣ ∣ (ˆn − n1 )2 ∣ ∣ n〉= 〈n|ˆn 2 − 2nˆn + n 2 1 |n〉 = 0.Die Streuung ∆E bei der Messung der elektrischen Feldstärke berechnen wir mit der Abkürzunga = exp { i(q · r − ωt) } zu∆E 2 = 〈 n ∣ ( Ê − 〈n|Ê|n〉)2∣ 〉∣ n = 〈n| Ê 2 |n〉= − 1 ¯hω 〈 ∣n∣(ac − a ∗ c + ) 2∣ 〉∣1 ¯hω n =2 εV2 εV 〈n|aa∗ cc + + a ∗ ac + c|n〉= 1 ¯hω2 εV 〈n|2c+ c + 1 |n〉 = ¯hω (n + 1 ).εV 2Da n streuungsfrei gemessen wird, streuen die Messwerte für E.Wir betrachten jetzt kohärentes Laserlicht, wobei die einzelnen ebenen Wellen die gleiche Phasebesitzen sollen, und konstruieren einen kohärenten Zustand mithilfe eines Operators D(α) und demVakuumzustand |0〉|α〉 = D(α)|0〉 mit D(α) = exp { αc + − α ∗ c } mit α ∈ C.Zur Berechnung beachten wir die Formel für Exponentialreihen mit Operatoren A, Bexp {A} exp {B} = exp {A + B} exp{ 12 [A, B] }, wenn gilt[A, [A, B]]= 0 =[B, [A, B]].

Dann schreiben sich die Operatoren wegen [c, c + ] = 1 in der FormD(α) = exp { αc +} exp {−α ∗ c} expDer Operator ist daher unitär D + (α) = D −1 (α), denn es ist{− 1 2 |α|2} und D + (α) = exp { −αc +} {exp {α ∗ c} exp − 1 2 |α|2} .D(α)D + (α) = exp { αc + − α ∗ c } exp { −αc + + α ∗ c } = 1 ,weil sich die beiden Operatoren in den Exponenten nur durch ein Vorzeichen unterscheiden und somitvertauschbar sind. Daher sind die kohärenten Zustände |α〉 normiert〈α|α〉 = 〈0|D + (α)D(α)|0〉 = 〈0|0〉 = 1.Wir berechnen den Kommutator mit einer Exponentialfunktion, indem wir beachtenund erhalten[c, c + ] = 1 und [c, c +n ] = nc +(n−1) für n = 1, 2, 3, . . .[c, exp{αc+ } ] = [ c, exp { αc +} − 1 ] == α∞∑n=1[c,∞∑n=1α nn! c+n] =α n−1(n − 1)! c+(n−1) = α exp { αc +} .∞∑n=1α nn! nc+(n−1)

Man erkennt nun auscD(α) = c exp { αc + − α ∗ c } = exp { αc + − α ∗ c } c + α exp { αc + − α ∗ c } = D(α)(c + α),dass die unitäre Transformation mit D(α) eine Translation erzeugtD + (α)cD(α) = c + α und D + (α)c + D(α) = c + + α ∗ .Multipliziert man den ersten Ausdruck von links mit D(α) und von rechts mit D + (α), so erhält manc = D(α)cD + (α) + α und es folgt(c − α)|α〉 = D(α)cD + (α)D(α)|0〉 = D(α)c|0〉 = 0 oder c|α〉 = α|α〉,d.h. |α〉 ist ein Eigenzustand des Vernichtungsoperators c zum Eigenwert α und es ist 〈α|c|α〉 = α und〈α|c + |α〉 = α ∗ . Damit findet man den Erwartungswert der elektrischen Feldstärke E im Zustand |α〉mit α = |α| exp {iϕ}〈α〈α|Ê|α〉 = ∣√ i√¯hω[2 εV u exp { i(q · r − ωt) } c − exp { − i(q · r − ωt) } c +]∣ 〉∣ ∣α= i √2√¯hωεV u [exp { i(q · r − ωt) } α − exp { − i(q · r − ωt) } α ∗]= √ i√¯hω[2 εV u|α| exp { i(q · r − ωt + ϕ) } − exp { − i(q · r − ωt + ϕ) }]= − √ √¯hω2 u|α| sin{q · r − ωt + ϕ}.εV

Der Zustand |α〉 =∞∑|n〉〈n|α〉 ist eine Linearkombination verschiedener Photonenzahlzustände, dien=0sich zu einer einzigen ebenen Welle überlagern, was als kohärenter Zustand bezeichnet wird, und beiLasern oberhalb der Anregungsschwelle auftritt.Zur Veranschaulichung der kohärenten Zustände |α〉 entwickeln wir sie nach den Basisfunktionender Photonenzahlzustände |n〉, die wir durch Erzeugungsoperatoren c + und den Vakuumzustand |0〉ausdrückenEs ergibt sich|n〉 = 1 √n!c +n |0〉 mit 〈n|m〉 = δ nm .{|α〉 = D(α)|0〉 = exp − 1 2 |α|2} exp { αc +} exp {−α ∗ c} |0〉{= exp − 1 2 |α|2} exp { αc +} |0〉{= exp − 1 ∞2 |α|2} ∑n=0α n{n! c+n |0〉 = exp − 1 ∞2 |α|2} ∑Aus der Reihenentwicklung nach den Photonenzahlzuständen |α〉 =∞∑|n〉〈n|α〉 ergibt sich die Wahrscheinlichkeitdafür, im Zustand |α〉 n Photonen zu findenW n (α) = ∣ ∣〈n|α〉 ∣ ∣ 2 = |α|2nn!exp { − |α| 2}mitn=0α n√n!|n〉.n=0∞∑W n (α) = 1.n=0

Diese Wahrscheinlichkeit ist eine Poisson-Verteilung W n (α) = P n(|α|2 ) mit4×10 W 1 (α)3P n (x) = xnn! exp {−x} mit ∞∑2×10n=0P n (x) = 1W n (2)und∫ ∞0P n (x) dx = 1.21W 5 (α)W 9 (α)100 1 2 3 4 5 6α00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12nDie mittlere Photonenzahl im kohärenten Zustand |α〉 ist〈α|ˆn|α〉 =∑0,1,...∞n,m〈α|n〉〈n|ˆn|m〉〈m|α〉 == exp { − |α| 2} ∞ ∑n=0n |α|2nn!∑0,1,...∞n,m〈α|n〉mδ nm 〈m|α〉 == exp { − |α| 2} |α| 2 ∞∑n=1∞∑n ∣ ∣ 〈α|n〉 2∑ ∞= nW n (α)n=0|α| 2(n−1)(n − 1)!= |α| 2 ,n=0

und für die Streuung bei der Messung der Photonenzahl erhält man ∆n = |α|:denn es ist∆n 2 = 〈 α ∣ ∣ (ˆn − 〈α|ˆn|α〉 ) 2 ∣ ∣α 〉 ====∑0,1,...∞n,m〈α|n〉 〈 n ∣ ∣ (ˆn − |α| 2) 2 ∣ ∣m 〉 〈m|α〉∞∑ (n − |α|2 ) 2∣ ∣ ∣〈n|α〉 2∑ ∞(= n − |α|2 ) 2Wn (α)n=0∞∑n 2 W n (α) − 2|α| 2n=0∞∑n=0∞∑n 2 W n (α) − |α| 4 = |α| 2 ,n=0∞∑n(n − 1)W n (α) =n=0∞∑n=0= |α| 4 ∞∑=n=0n(n − 1) |α|2nn!n=2∞∑n 2 W n (α) −n=0nW n (α) + |α| 4∞∑n=0exp { − |α| 2}W n (α)|α| 2(n−2)(n − 2)! exp { − |α| 2} = |α| 4∞∑nW n (α) =n=0∞∑n 2 W n (α) − |α| 2 .n=0