Theoretische Optik - Institut für Theoretische Physik

Wegen der Kleinheit von µ/µ 0 wird ∇µ ≈ 0 gesetzt. Zur Abschätzung der rechten Seite der Wellengleichungbetrachten wir eine ebene Welle der Form E = E 0 (t) exp {ik · r} der Wellenlänge λ = 2π/|k|,dann gilt ∇(E · e) = ikE · e + (∇e) · E und ∆E = −k 2 E mit k = |k|. Unter der Voraussetzung, dasssich der Brechungsindex n(r) im Bereich einer Wellenlänge λ nur wenig ändertdenn es istλ|∇n| ≪ n, gilt k|e| ≪ k 2 ,|e| = 1 ε |∇ε| = 1 ∣ ∣ ∣∇n 2 2 =n 2 n |∇n| ≪ 2 nn λ = 2 λ = k π .Daher kann der Term ∇(E·e) gegen ∆E in der Wellengleichung vernachlässigt werden, und man erhältgenähert die Wellengleichung mit ortsabhängigem Brechungsindex∆E − n2 (r)c 2 Ë = 0.Der Lösungsansatz mit einer sich nur schwach ändernden Amplitude E 0 (r) ist mit k 0 = ω c = konst.E(r, t) = E 0 (r) exp { − ik 0 S(r) } exp {iωt} mit dem reellen Eikonal S(r).Dabei beschreibt S(r) = konst. die Flächen gleicher Phase im Ortsraum, die im Falle n = konst. wegenS(r) = n k|k| · r, |k| = ω cc v = k 0n und k · r = k 0 S Ebenen senkrecht zum geradlinigen Strahl sind.