Theoretische Optik - Institut für Theoretische Physik

Dazu werden reelle Lösungen für die elektrische Feldstärke E mit drei verschiedenen Frequenzen gesuchtE = 1 E1 + E2( ∗ 1 + E 2 + E ∗ 2 + E 3 + E ∗ )3mitE 1 (r, t) = E 1 (r, ω 1 ) exp {−iω 1 t}E 2 (r, t) = E 2 (r, ω 2 ) exp {−iω 2 t}E 3 (r, t) = E 3 (r, ω 3 ) exp {−iω 3 t} .Setzt man E in die Differenzialgleichung ein, erhält man(∆ − ∇∇ · − 1 c 2 ε · ∂2∂t 2 )(E 1 + E ∗ 1 + E 2 + E∗ 2 + E 3 + E∗ 3 ) = 12c 2 χ(2) :∂ 2∂t 2 (E 1 + . . . E∗ 3 )(E 1 + . . . E∗ 3 ).Weil die elektrischen Felder für verschiedene Frequenzen linear unabhängig sind, gilt diese Gleichungfür jede Frequenz einzeln und es folgt für den Prozess der Erzeugung eines Photons mit ω 3 = ω 1 + ω 2 :∆E 1 − ∇∇ · E 1 + ω2 1c 2 ε · E 1 = − ω2 1c 2 χ(2) : E 3 E ∗ 2 und ∇ · ε · E 1 = −∇ · χ (2) : E 3 E ∗ 2∆E 2 − ∇∇ · E 2 + ω2 2c 2 ε · E 2 = − ω2 2c 2 χ(2) : E 3 E ∗ 1 und ∇ · ε · E 2 = −∇ · χ (2) : E 3 E ∗ 1∆E 3 − ∇∇ · E 3 + ω2 3c 2 ε · E 3 = − ω2 3c 2 χ(2) : E 1 E 2 und ∇ · ε · E 3 = −∇ · χ (2) : E 1 E 2 .