Theoretische Optik - Institut für Theoretische Physik

Anwendungsbeispiel ElektrostatikIm stationären Fall erhält man entsprechend die allgemeine Lösung φ = φ pI + φ homGleichung ∆φ = − 1 ε 0ρ in der Elektrostatik.Die Greensche Funktion ist bestimmt durch die Differenzialgleichung∆G(r, r ′ ) = δ(r − r ′ ) mit der Lösung G(r, r ′ ) = − 14πDamit erhält man das partikuläre Integral der Poisson-Gleichung∫φ pI (r) = G(r, r ′ ) ρ(r′ )d 3 r ′ = 1 ∫ρ(r ′ )−ε 0 4πε 0 |r − r ′ | d3 r ′ ,1|r − r ′ | .der Poisson-denn es ist∫∫∆φ pI (r) = ∆G(r, r ′ ) ρ(r′ )d 3 r ′ = δ(r − r ′ ) ρ(r′ )d 3 r ′ = − ρ(r) .−ε 0 −ε 0 ε 0Die zugehörige Lösung der homogenen Differenzialgleichung ∆φ = 0 lautet in Kugelkoordinatenr : r, ϑ, ϕ und entwickelt nach Kugelfunktionen Y lm (ϑ, ϕ)φ hom (r) =∞∑l∑l=0 m=−l(a lm r l + b lmr l+1 )Y lm (ϑ, ϕ)mit beliebigen Integrationskonstanten a lm und b lm . Speziell ergibt sich wegen Y 00 (ϑ, ϕ) = 1 √4πalskugelsymmetrische Lösung das Coulomb-Potenzialφ hom (r) = a + b r .