4.2 Quantisierung freier elektromagnetischer Felder

4.2 Quantisierung freier elektromagnetischer FelderZur Quantisierung des elektromagnetischen Strahlungsfeldes werden für die kanonisch konjugiertenFelder A k (r, t) und π k (r, t) Feldoperatoren Âk bzw. ˆπ k mit den Vertauschungsrelationen angesetzt:[ˆπk (r, t), Âl(r ′ , t) ] = ¯h i δ klδ(r − r ′ )1 und [ˆπ k (r, t), ˆπ l (r ′ , t) ] = 0 = [ Â k (r, t), Âl(r ′ , t) ] .Wir schreiben die Lösungen der homogenen Wellengleichungebenen WellenA(r, t) = √ 1 2∑ ∑2j=1qA = 0 als Linearkombination von[u j (q) √ 1]exp {iq · r} exp {−i2πν j (q)t} + k.k. .VDie Basisvektoren des Gitters a 1 , a 2 , a 3 spannen die Elementarzelle bzw.das PeriodizitätsgebietΩ = (a 1 , a 2 , a 3 ) auf und die Vektoren La 1 , La 2 , La 3 das Grundgebiet V = L 3 Ω mit 1 ≪ L.periodischen Randbedingungen für die ebenen Wellen exp { iq · (r + La j ) } = exp {iq · r} erfordern dieBedingung exp {iq · a j L} = 1, woraus sich die diskreten Ausbreitungsvektorenq = m 1L b 1 + m 2L b 2 + m 3L b 3 mit ganzen Zahlen m 1 , m 2 , m 3ergeben. Dabei erfüllen die reziproken Gittervektoren b j = 2π Ω a k × a l mit zyklischen (j, k, l) dieBedingungen a j · b k = 2πδ jk .Die

Ferner bezeichnen u j (q) den Polarisationsvektor für zwei verchiedene Polarisationsrichtungen,ν j (q) = v|q|/2π die Frequenz der Welle mit dem Dispersionsgesetz, und ”k.k.” den konjugiert komplexenTerm. Wegen ∇ · A = 0 erfüllen die reellen Polarisationsvektoren die Bedingung q · u j (q) = 0,so dass es nur zwei transversale, linear unabhängige Polarisationsrichtungen j = 1, 2 gibt.BeimÜbergang zu den Feldoperatoren A(r, t) −→ Â(r, t) ist die Reihenentwicklung von der Formwie in Abschn. 2.3 ˆψ(x) = ∑ ν ψ ν(x)a ν mit dem Vernichtungsoperator a ν für ein Teilchen bzw. hierÂ(r, t) = ∑ ∑j q ψ j(q, r)c j (q, t) mit den Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren c j (q, t) und c + j (q, t)√Â(r, t) = √ 1 2∑ ∑ ¯h2 2πεν j (q)j=1q[u j (q) 1 √Vexp {iq · r} c j (q, t) + u j (q) 1 √Vexp {−iq · r} c + j (q, t) ].Die zeitabhängigen Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren für die Photonen√2πενj (q)c j (q, t) =exp { − i2πν j (q)t } √bzw. c + j¯h(q, t) = 2πενj (q)exp { i2πν j (q)t }¯herfüllen die Schwingungsgleichung∂c j (q, t)∂t= −i2πν j (q)c j (q, t) oder∂ 2 c j (q, t)∂t 2 + ( 2πν j (q) ) 2cj (q, t) = 0.Das zu A(r, t) = (A 1 , A 2 , A 3 ) gehörige Impulsfeld ˆ⃗π(r, t) = (π 1 , π 2 , π 3 ) ist dann√ˆ⃗π(r, t) = ε ∂Â∂t = √ 1 2∑ ∑[¯h− iε2πν j (q)u j (q) √ 1 exp {iq · r} c 2 2πεν j (q)j (q, t)Vj=1q+ iε2πν j (q)u j (q) 1 √Vexp {−iq · r} c + j (q, t) ].

Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren  und ˆ⃗π führen dann zu den Vertauschungsrelationenfür die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren c j (q, t) und c + j (q, t) für ein Photon der Polarisationj, der Wellenzahl |q| und der Energie hν j (q) = v¯h|q|[cj (q, t), c + j(q ′ , t) ] [= δ ′ jj ′δ qq ′1 ; cj (q, t), c j ′(q ′ , t) ] = 0 = [ c + j (q, t), c+ j(q ′ , t) ] .′Zum Beweis sei darauf hingewiesen, dass die Operatoren c j (q, t) und c + j (q, t) jeweils einem Photonder beiden unabhängigen Polarisationsrichtungen j = 1, 2 zugeordnet sind, sodass u 2 j (q) = 1 undu j ·u j′ = δ jj′ zu setzen ist. Ferner gilt die Vollständigkeitsbeziehung 1 ∑exp { iq·(r−r ′ ) } = δ(r−r ′ ).VqBeim Einsetzen der FeldoperatorenÂ(r, t) und ˆπ(r, t) in den Energie-OperatorĤ = 1 2∫ [ε( ∂ Â∂t) 2+1µ (∇ × Â)2] d 3 r = 1 2∫ [1ε ˆ⃗π 2 (r, t) + 1 µ(∇ × Â(r, t) ) 2 ] d 3 rergibt sich bei Verwendung der Vertauschungsrelationen für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatorenc + j (q, t) und c j (q, t) die Form einer Summe ungekoppelter harmonischer Oszillatoren, die durchdie beiden Indizes j und q abgezählt werden,Ĥ =2∑ ∑j=1q(hν j (q) c + j (q, t)c j(q, t) + 1 ).2

Jeder einzelne Oszillator hat die äquidistanten Energieeigenwerte hν j (q) ( n j (q) + 2) 1 mit den Besetzungszahlenn j (q) = 0, 1, 2, . . . die angeben, wieviele Photonen der Energie hν j (q) = v¯h|q| und mitdem Impuls ¯hq im Grundgebiet V vorhanden sind.Der Energie-Operator ist mit dem Feldoperator Â(r, t) und damit auch mit denen der elektrischenFeldstärke und der magnetischen Induktion nicht vertauschbar. Die elektromagnetischen Felder unddie Anzahl der Photonen, die sich aus dem PhotonenzahloperatorˆN =2∑ ∑c + j (q, t)c j(q, t)j=1 qergeben, sind somit nicht gleichzeitig scharf meßbar.Der Beweis für den Feldoperator Ĥ, wie er sich aus der Form der Operatoren Ȧ und ∇×A ergibt,wird einfach, wenn man die folgenden Zusammenhänge berücksichtigt.⊲ Die beiden Integrale sind gleich∫ 1ε ˆ⃗π 2 d 3 r =∫ 1µ (∇ × Â)2 d 3 r.⊲ Für die ebenen Wellen ϕ q (r) = 1 √Vexp {iq · r}gelten die Orthonormalitäts- und Vollständigkeitsbeziehungen〈ϕ q |ϕ q ′〉 = 1 V∫exp { i(q ′ − q) · r } d 3 r = δ qq ′und∑ϕ q (r)ϕ ∗ q(r ′ ) = δ(r − r ′ ).Vq⊲ Es gilt die Dispersionsbeziehung 2πν j (q) = v|q| bzw.q 2εµ = v2 q 2 = 4π 2 ν 2 j (q).

⊲ Zu berücksichtigen sind nur Terme mit der gleichen Anzahl von Erzeugungsoperatoren c + j (q, t)und Vernichtungsoperatoren c j (q, t).⊲ Wegen ∇ · A = 0 handelt es sich um Transversalwellen mit q · u j (q) = 0 und u j · u j′ = δ jj′ mitder Folge ( q × u j (q) ) · (q× u j ′(q) ) = q 2 u j (q) · u j ′(q) − q · u j (q) q · u j ′(q) = δ jj ′q 2 .4.3 Elektron-Photon-WechselwirkungBei der Wechselwirkung der quantisierten elektromagnetischen Wellen, also der Photonen, mit freienoder gebundenen Atomen geht man von der Lorentz-Kraft aus, die die elektromagnetischen Felder Eund B auf die als geladene Massenpunkte idealisierten Elektronen und Atomkerne ausüben.Im Rahmen der klassischen Mechanik bewegt sich eine Punktladung der Masse m und der Ladunge auf einer Bahnkurve r(t), die bei gegebenen E und B durch die Lorentz-Kraftm¨r = e(E + ṙ × B)bestimmt ist. Die Ladungen und Ströme, die die Felder E und B erzeugen, seien vom Ort der untersuchtenMaterie weit entfernt, sodass hier nur die Ladungen und Ströme der betrachteten Punktladungeneine Rolle spielen. Wir verwenden die elektrodynamischen Potenziale A und φ mit B = ∇ × Aund E = −Ȧ − ∇φ in Strahlungseichung mit φ = 0 und ∇ · A = 0, vergl. Abschn. 4.1, alsoB = ∇ × A und E = −Ȧ.

Im nichtrelativistischen Fall ergibt sich dann die Bahnkurve r(t) aus der Lagrange-FunktionL(r, ṙ) = m 2 ṙ2 + eṙ · Aund den Euler-Lagrange-Gleichungend ∂Ldt ∂ṙ − ∂L∂r = 0.Der zu r kanonisch konjugierte Impuls ist p = ∂L = mṙ + eA und die Hamilton-Funktion ist∂ṙH(r, p) = ṙ · p − L(r, ṙ) = mṙ 2 + eṙ · A − m 2 ṙ2 − eṙ · A = m 2 ṙ2 = 1 ( ) 2. p − eA2mGeht man davon aus, dass sich die Elektronen bzw. die Atomkerne in einem effektiven Einteilchenpotenzialv(r) bewegen, das von der umgebenden Materie verursacht wird, so lautet die Einelektronen-Hamilton-Funktion mit der Elektronenmasse m eH = 12m e(p − eA) 2+ v(r).Beim Übergang zur Quantenmechanik ist der Impulsoperator p = ¯h ∇ einzusetzen und die Energie derifreien elektromagnetischen Felder nach Abschn. 4.1 hinzuzufügen. Der Energie-Operator beschreibtdann das Elektron, die elektromagnetische Strahlung und die Wechselwirkung zwischen beidenH = 1 (¯h) 2∫2m e i ∇ − eA 1 (+ v(r) + ε 0 E 2 + 1 B 2) d 3 r2µ 0= 1 (¯h) 2∫2m e i ∇ − eA 1 [+ v(r) + ε 0 Ȧ 2 + 1 (∇ × A) 2] d 3 r.2µ 0

Vernachlässigt man den kleinen Term mit A 2 , so erhält man wegen ∇ · A = 0 für den gemischten Term1(− ¯h )2m e i e (∇ · A + A · ∇) = 1 (− ¯h )2m e i e (A · ∇ + ∇· A ↓+A · ∇) = − e¯h A · ∇,im ewobei der Pfeil auf dem Term ∇ · A anzeigt, dass der Operator ∇ nur das A differenziert, und es folgtH = − ¯h2e¯h∆ + v(r) − A · ∇ + 1 ∫ [ε 0 Ȧ 2 + 1 (∇ × A) 2] d 3 r2m} e im{{ } } e 2µ{{ } } {{ 0}Kristallelektron Elektron-Licht-WWfreies Strahlungsfeldein Einelektronen-Energieoperator aus drei Teilen, mit einem Teil H KE des Kristallelektrons, einemTeil H EL der Elektron-Licht-Wechselwirkung und einem Teil H L des freien Strahlungsfeldes.DerÜbergang zu dem Vielelektronensystem und einem quantisierten Strahlungsfeld ist nun mitdem Teilchenzahlformalismus denkbar einfach. Wir schreiben den Operator im Fock-Raum der Elektronenund PhotonenĤ = ĤKE + ĤEL + ĤLmit dem Operator der Kristallelektronen und dem Teilchenzahloperator a nk der Bloch-ZuständeĤ KE = ∑ n∑BZkE n (k)a + nk a nk mit ψ n (k, r) = 1 √N3 exp {ik · r} u n(k, r),dem Operator des freien Strahlungsfeldes mit dem Teilchenzahloperator der Photonen c j (q)Ĥ L =2∑ ∑j=1q(hν j (q) c + j (q, t)c j (q, t) + 1 )2

und dem Operator der Elektron-Photon-Wechselwirkung mit dem Operator  des VektorpotenzialsH EL = − e¯h 1im e 2√2∑ ∑ ¯h2πε 0 ν j (q)j=1q[ 1√Vexp {iq · r} u j (q) · ∇c j (q, t)+ 1 √Vexp {−iq · r} u j (q) · ∇c + j (q, t) ].Dieser Operator ist zunächst nur für die Photonen ein Teilchenzahloperator, in Bezug auf die Elektronenaber ein Einelektronenoperator. Er lässt sich jedoch nach Abschn. 2.1 direkt in einen Fock-Operatormit den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Bloch-Zustände a + nk , a nk umschreibenĤ Elekt = ∑ ∑〈nk|H Elekt |n ′ k ′ 〉a + nk a n ′ k ′,n,k n ′ ,k ′und man erhältĤ EL = ∑ n,k∑ ∑][M(n, k; n ′ , k ′ ; j, q)a + nk a n ′ k ′c j (q, t) + M(n, k; n′ , k ′ ; j, −q)a + nk a n ′ k ′c+ j (q, t)n ′ ,k ′ j,qmit dem Übergangsmatrixelement zwischen den Bloch-Zuständen |nk〉 = ψ n(k, r)√M(n, k; n ′ , k ′ ; j, q) = − e¯h 1im e 2¯h2πε 0 ν j (q)〈nk∣ ∣1√Vexp {iq · r} u j (q) · ∇ ∣ ∣ n ′ k ′〉 .

Hier bezeichnen also a + nk und a nk die Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren für ein Elektron imBloch-Zustand ψ n (k, r) mit der Energie E n (k) und c + j (q, t) bzw. c j (q, t) die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatorenfür ein Photon der Energie hν j (q) mit dem Impuls ¯hq und der Dispersionsbeziehung2πν j (q) = v|q|, wobei v die Lichtgeschwindigleit im Medium bezeichnet. Die Vektoren u j (q) mitq · u j (q) = 0 geben die Amplituden und die Polarisation senkrecht zum Wellenvektor q an.Zur Veranschaulichung betrachten wir einen Laserstrahl, der von einem Resonator erzeugt wird,und der aus einzelnen diskreten Linien, den sogenannten Moden besteht. Seien n 1 , n 2 , . . . die Besetzungszahlender Bloch-Zustände und l 1 , l 2 . . . die der Photonenzustände, so sind die Teilchenzahlzuständefür den OperatorĤ = ĤKE + ĤEL + ĤL durch |nl〉 = |n 1 n 2 . . . l 1 l 2 . . .〉gegeben. Der Erwartungswert der elektrischen Feldstärke berechnet sich wegen Ê = − ˙Â = − 1 ε ˆ⃗π zu〈Ê〉 = 〈nl|Ê|nl〉 = 〈nl∣ ∣ −1ε ˆ⃗π ∣ ∣ nl〉 = 0,weil der Operator ˆ⃗π nur einzelne Photonenzahloperatoren mit 〈nl|c j (q, t)|nl〉 = 0 = 〈nl|c + jenthält. Jedoch ergibt sich für die Streuung bei der Messung der elektrischen Feldstärke(q, t)|nl〉〈(∆ Ê) 2〉 = 〈 nl ∣ ∣ ( Ê − 〈Ê〉1 )2∣ ∣ nl〉=〈nl∣ ∣〈 Ê 2 〉 − 〈Ê〉2∣ ∣ nl〉=〈nl∣ ∣〈 Ê 2 〉 ∣ ∣ nl〉.Der Ausdruck ist für jede einzelne Mode proportional zu 2l ν + 1 mit l ν = 0, 1, 2, . . ., also von Nullverschieden.

Anwendungsbeispiel: Elektronische InterbandübergängeBei der Interpretation der Energiebänder E n (k) der Kristalle als Einelektronenenergieniveaus mussman verschiedene Anregungsprozesse unterscheiden.⊲ Bei elektrischen Feldern E, die zur Beschleunigung von Elektronen führen, ändert sich der Bloch-Zustand quasistetig von ψ n (k, r) nach ψ n (k ′ , r).⊲ Bei der Absorption eines Photons hinreichender Energie, wird aber ein Elektron im Zustandψ V (k, r) aus dem Valenzband entfernt und in einen Zustand ψ L (k, r) im Leitungsband angeregt,wobei ein Loch im Valenzband zurückbleibt.⊲ Bei der Photoemission wird andererseits ein Elektron aus einem Zustand ψ V (k, r) im Valenzbandentfernt und befindet sich anschließend außerhalb des Kristalles.Die drei Vorgänge haben unterschiedliche Endzustände und entsprechende Experimente sind bezüglichder Energiebänder nicht unmittelbar vergleichbar.So gibt es z.B. bei der elektrischen Leitfähigkeit auch Streuprozesse der Leitungselektronen untereinander,und bei der Absorption eines Photons entsteht ein Elektron-Loch-Paar, wobei zwischenElektron und Loch eine anziehende Wechselwirkung existiert, die zu den Exzitonen führt. Beideshängt mit dem Koopmans-Theorem, vergl. Abschn. 3.2, zusammen, wonach die Energiebänder zwardie Photoemission genähert beschreiben, für die inneren Anregungen im Festkörper aber Korrekturenerforderlich sind.

Wir setzen voraus, dass der Operator der Wechselwirkung zwischen Elektronen und dem Licht ĤEL nureine kleine Störung des durch den Operator Ĥ0 = ĤKE +ĤL beschriebenen ungestörten Systems verursacht.Die elektromagnetische Welle kann dann mit der zeitabhängigen Störungsthoerie berücksichtigtwerden, und dieÜbergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit für einen Übergang vom Anfangszustand|a〉 in einen Endzustand |e〉 von Ĥ0 lässt sich mit der Goldenen Regel der Quantenmechanik berechnenW ae = 2π¯h∣ 〈 . . . N nk . . . ; . . . M jq . . . ∣ ∣ ĤEL∣ ∣ . . . N′nk . . . ; . . . M ′ jq . . . 〉∣ ∣ ∣2δ(|Ea − E b | ) ,wobei E a den Anfangszustand |a〉 = | . . . N nk . . . ; . . . M jq . . .〉 und |e〉 = | . . . N nk ′ . . . ; . . . M jq ′ . . .〉 denEndzustand von Ĥ0 bezeichnen, mit den Besetzungszahlen N nk für die Bloch-Zustände und M jq fürdie Photonen. Wir gehen davon aus, dass reichlich Licht eingestrahlt wird, so dass sich das Photonenreservoirdurch einen Absorptions- oder Emissionsprozess praktisch nicht verändert.Beim Einsetzen des Elektron-Licht Wechselwirkungsoperators ĤEL betrachten wir nur den einenSummanden mit a + n ′ k ′ a nk c j (q), der die Absorption eines Photons der Energie hν j (q) beschreibt, und erhaltenfür die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit für ein Elektron vom Bloch-Zustand ψ n(k, r)in einen Zustand ψ n ′(k ′ , r) mit dem ÜbergangsmatrixelementW nk,n ′ k ′ = 2π¯h∑j,qe 2¯h 2m 2 e¯h∣ 〈 n ′ k ′∣ ∣1√ exp {iq · r} u j (q) · ∇ ∣ 〉 ∣ 2nk ∣2πε 0 ν j (q) V× δ ( |E n ′(k ′ ) − E n (k)| − hν j (q) ) .

Nun sind die Ausbreitungsvektoren der Elektronen am Rande der Brillouin-Zone etwa |k| = 2π/a,mit der Gitterkonstanten a in der Größenordnung einiger Å, z.B. a = 5, 43 Å bei Silicium. Photonenhaben bei Energien von weniger als 10 eV viel größere Wellenlängen λ > 1 µm = 10 4 Å ≫ a undWellenvektoren |q| = 2π/λ ≪ |k| außer in einer kleinen Umgebung des Γ-Punktex bei k = 0. Deshalbfinden optische Übergänge zwischen verschiedenen Bändern in erster Näherung der Störungstheorienur bei k ′ = k statt, was auch als k-Auswahlregel bezeichnet wird. Intrabandübergänge innerhalbeines Energiebandes sind in dieser Näherung verboten. Betrachtet man den zweiten Term von ĤEL, sofindet man die gleiche Auswahlregel auch für Emissionsvorgänge.Die Elementarprozesse der Absorption bzw. Emission eines Photons sind alsohν j (q)E V (k)E L (k ′ Energiesatz E V (k) + hν j (q) = E L (k ′ ))e − e − Impulssatz ¯hk + ¯hq = ¯hk ′ ≈ ¯hkE L (k)hν j (q)Energiesatz E L (k) = E V (k ′ ) + hν j (q)e − Impulssatz ¯hk = ¯hk ′ + ¯hq ≈ ¯hk ′ ,e − E V (k ′ )und es gelten die Erhaltungssätze von Energie und Impuls.

4.4 Phonon-Photon-WechselwirkungIn einem einfachen Modell des Festkörpers geht man davon aus, dass die thermischen Gitterschwingungendie Atome aus ihren Ruhelagen auslenken. Die dadurch entstehenden Abweichungen im periodischenElektronenpotenzial führen zu der in Festkörpern wirksamen Elektron-Phonon-Kopplung, die dieUrsache ist für die Umwandlung elektrischer Energie in Wärme nach dem Ohmschen Gesetz. Andererseitsbilden sich durch die Auslenkungen auch atomare elektrische Dipole, sodass eine Dipoldichte oderPolarisation entsteht. Diese Dipolmomente sind bei gegeneinander schwingenden Nachbaratomen, alsobei optischen Phononen, und bei polaren Halbleitern besonders groß und in einfacher Näherung proportionalzu Auslenkung des Atoms aus seiner Ruhelage. Im elektrischen Feld der elektromagnetischenStrahlung E = −Ȧ ist dann als Polarisationsarbeit die Energie∫E = − P(r, t) · E(r, t) d 3 raufzuwenden, die dem Energieoperator des Lichtes hinzuzufügen ist, und die Phonon-Photon-Wechselwirkungbeschreibt. Dazu wird die Polaristion P durch dieErzeugungs- und Vernichtungsoperatoren b + l (p) bzw. b l (p) der Phononen,mit der Energie ¯hω l (p) und dem Impuls ¯hp, ausgedrückt, und die elektrische Feldstärke E durch dieErzeugungs- und Vernichtungsoperatoren c + j (q) bzw. c j(q) der Photonen.

In dem Ausdruck der Phonon-Photon-Wechselwirkung treten dann Terme der Art c + j (q)b l(p) undb + l (p)c j (q) mit hν j (q) = ¯hω l (p) (Energiesatz) und ¯hq = ¯hp (Impulssatz)auf, die die Emission eines Photons bzw. die Absorption eines Photons beschreiben. Hierbei wird dieEnergie des Photons unmittelbar in die Energie eines Phonons umgewandelt, und der Impulssatz kannnur mit einem optischen Phonon mit p am Γ-Punkt, also bei ¯hp ≈ 0 erfüllt werden.Außerdem gibt es Terme, die Zweiphononenprozesse mit akustischen Phononen darstellenhν j (q) = ¯hω l1 (p 1 ) + ¯hω l2 (p 2 ) mit ¯hq = ¯hp 1 + ¯hp 2 ≈ 0,bei denen die Impulse der beiden Phononen entgegengesetzt gleich sein müssen.Die Absorption bzw. Emission eines Photons beschreiben dann die Diagramme:hν j (q) ¯hω l1 (p 1 )¯hω l1 (p 1 )hν j (q)¯hω l2 (p 2 )¯hω l2 (p 2 )Die optischen Eigenschaften von Halbleitern und Metallen werden hauptsächlich durch die Elektron-Photon-Phonon-Kopplung bestimmt.