4.2 Quantisierung freier elektromagnetischer Felder

Jeder einzelne Oszillator hat die äquidistanten Energieeigenwerte hν j (q) ( n j (q) + 2) 1 mit den Besetzungszahlenn j (q) = 0, 1, 2, . . . die angeben, wieviele Photonen der Energie hν j (q) = v¯h|q| und mitdem Impuls ¯hq im Grundgebiet V vorhanden sind.Der Energie-Operator ist mit dem Feldoperator Â(r, t) und damit auch mit denen der elektrischenFeldstärke und der magnetischen Induktion nicht vertauschbar. Die elektromagnetischen Felder unddie Anzahl der Photonen, die sich aus dem PhotonenzahloperatorˆN =2∑ ∑c + j (q, t)c j(q, t)j=1 qergeben, sind somit nicht gleichzeitig scharf meßbar.Der Beweis für den Feldoperator Ĥ, wie er sich aus der Form der Operatoren Ȧ und ∇×A ergibt,wird einfach, wenn man die folgenden Zusammenhänge berücksichtigt.⊲ Die beiden Integrale sind gleich∫ 1ε ˆ⃗π 2 d 3 r =∫ 1µ (∇ × Â)2 d 3 r.⊲ Für die ebenen Wellen ϕ q (r) = 1 √Vexp {iq · r}gelten die Orthonormalitäts- und Vollständigkeitsbeziehungen〈ϕ q |ϕ q ′〉 = 1 V∫exp { i(q ′ − q) · r } d 3 r = δ qq ′und∑ϕ q (r)ϕ ∗ q(r ′ ) = δ(r − r ′ ).Vq⊲ Es gilt die Dispersionsbeziehung 2πν j (q) = v|q| bzw.q 2εµ = v2 q 2 = 4π 2 ν 2 j (q).