4.2 Quantisierung freier elektromagnetischer Felder

Im nichtrelativistischen Fall ergibt sich dann die Bahnkurve r(t) aus der Lagrange-FunktionL(r, ṙ) = m 2 ṙ2 + eṙ · Aund den Euler-Lagrange-Gleichungend ∂Ldt ∂ṙ − ∂L∂r = 0.Der zu r kanonisch konjugierte Impuls ist p = ∂L = mṙ + eA und die Hamilton-Funktion ist∂ṙH(r, p) = ṙ · p − L(r, ṙ) = mṙ 2 + eṙ · A − m 2 ṙ2 − eṙ · A = m 2 ṙ2 = 1 ( ) 2. p − eA2mGeht man davon aus, dass sich die Elektronen bzw. die Atomkerne in einem effektiven Einteilchenpotenzialv(r) bewegen, das von der umgebenden Materie verursacht wird, so lautet die Einelektronen-Hamilton-Funktion mit der Elektronenmasse m eH = 12m e(p − eA) 2+ v(r).Beim Übergang zur Quantenmechanik ist der Impulsoperator p = ¯h ∇ einzusetzen und die Energie derifreien elektromagnetischen Felder nach Abschn. 4.1 hinzuzufügen. Der Energie-Operator beschreibtdann das Elektron, die elektromagnetische Strahlung und die Wechselwirkung zwischen beidenH = 1 (¯h) 2∫2m e i ∇ − eA 1 (+ v(r) + ε 0 E 2 + 1 B 2) d 3 r2µ 0= 1 (¯h) 2∫2m e i ∇ − eA 1 [+ v(r) + ε 0 Ȧ 2 + 1 (∇ × A) 2] d 3 r.2µ 0