Theoretische Optik - Institut für Theoretische Physik

Wegen f(−ω) = f ∗ (ω) erhält manRe { f(ω) } = − 1 ∫ ∞πi P ω ′[ f(ω ′ ) − f ∗ (ω ′ ) ]0 ω ′2 − ω 2 dω ′ = − 2 ∫ ∞π P ω ′ Im { f(ω ′ ) }0 ω ′2 − ω 2 dω ′Im { f(ω) } = ω ∫ ∞π P f(ω ′ ) + f ∗ (ω ′ )ω ′2 − ω 2 dω ′ = 2ω ∫ ∞π P Re { f(ω ′ ) }ω ′2 − ω 2 dω ′0und mit Re { f(ω) } = n 2 − κ 2 − 1 und Im { f(ω) } = −2nκ ergeben sich die Kramers-Kronig-Relationenn 2 (ω) − κ 2 (ω) = 1 + 2 π P ∫ ∞2n(ω)κ(ω) = − 2ω π P ∫ ∞0002n(ω ′ )κ(ω ′ )ω ′ω ′2 − ω 2 dω ′n 2 (ω ′ ) − κ 2 (ω ′ ) − 1ω ′2 − ω 2 dω ′ ,wonach sich der Realteil der Dielektrizitätskonstanten berechnen lässt, wenn der Imaginärteil für alleFrequenzen bekannt ist, und umgekehrt.Kramers-Kronig-Relationenn 2 (ω) − κ 2 (ω) = 1 + 2 π2n(ω)κ(ω) = − 2ω πDie zur numerischen Integration praktischere Form der∫ ∞0∫ ∞02n(ω ′ )κ(ω ′ )ω ′ − 2n(ω)κ(ω)ωω ′2 − ω 2 dω ′n 2 (ω ′ ) − κ 2 (ω ′ ) − n 2 (ω) + κ 2 (ω)ω ′2 − ω 2 dω ′enthält keine Polstellen mehr, und wird mit Hilfe der Beziehung bewiesen:P∫ ∞0dω ′ω ′2 − ω 2 = 0.