Theoretische Optik - Institut für Theoretische Physik

Während die zweite Differenzialgleichung zur Bestimmung der Amplitude E 0 dient, lässt sich dieerste in die Strahlendifferenzialgleichung umformen. Sei t der Kurvenparameter der Kurve r(t) desLichtstrahles bei ortsabhängigem Brechungsindex n(r), so gilt für die Bogenlänge s(t)s(t) =∫ tt 0∣ ∣ dr(t ′ ) ∣ ∣ =∫ tt 0∣ ∣∣∣ dr(t ′ )dt ′ ∣ ∣∣∣dt ′ mitds(t)dtWird als Kurvenparameter die Bogenlänge s verwendet r = r(s), so gilt|t| = 1 mit dem Tangentenvektor t an die Strahlkurve.=∣∣dr(t)dtdr(s)ds∣ .∣= 1 mitdrds = t undBetrachtet man die Fläche eines konstanten Eikonals S(r) = konstant, die die Fläche gleicherPhase des Lichtstrahles ist, so ist ∇S(r) ↑↑ t und |∇S(r)| = n(r) nach der Eikonalgleichung. Also gilt∇S(r) = n(r)t = n(r) drds .tr(s)Differenziert man diese Gleichung nach der Bogenlänge s als Kurvenparameterd dr∇S =ds ds · ∇∇S = 11∇S · ∇∇S =n(r) 2n(r) ∇(∇S)2 = 12n(r) ∇n2 (r) = ∇n(r),so folgt die Strahlendifferenzialgleichungdds(n(r) dr )ds= ∇n(r).xzS(r) = konst.y