Logik des Signifikanztests, Statistische Tests für Mittelwerte einer ...

hypothese ist, der Populationsmittelwert sei m 1 . Die Fläche, die links vom kritischen Wert68.61 aus der Stichprobenkennwerteverteilung um m 1 herum ausgeschnitten wird, stellt dieb-Fehler-Wahrscheinlichkeit dar. Bei Gültigkeit von H 1 können in diesem Fall deutlich mehrStichprobenmittelwerte links vom Kriterium erwartet werden (10.3 %) als rechts vomkritischen Wert bei Gültigkeit der H 0 . Das heißt, es gibt in diesem Beispiel eine größereChance, bei Gültigkeit H 1 fälschlicherweise die Nullhypothese beizubehalten, als beiGültigkeit der H 0 die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen. Würde der kritische Wertnach rechts zum hypothetischen Populationsmittelwert m 1 verschoben, sänke die Wahrscheinlichkeit,bei einer Entscheidung zu Gunsten der H 1 einen a-Fehler zu begehen,gleichzeitig würde die Wahrscheinlichkeit des b-Fehlers steigen: Entscheidungen zugunstender H 0 werden mit kleiner werdendem a zunehmend unsicherer. Umgekehrt bei größer werdendema: Hier sinkt die Wahrscheinlichkeit eines b-Fehlers während die Wahrscheinlichkeiteiner fälschlichen Annahme der H 1 steigt. a- und b-Fehler verändern sich somitgegenläufig.Power of z-Test of the Mean of a Single Populationn = 100, µ0 = 68, µ1 = 69, sigma = 3.1density0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2α/2AkzeptanzregionH 0βAkzeptanzregionH 1α/2µ0 68.61µ167.0 67.5 68.0 68.5 69.0 69.5 70.0alpha = 0.05 (two-sided), beta = 0.103, power = 0.897Abbildung 3: a-Fehler-Wahrscheinlichkeit und b-Fehler-WahrscheinlichkeitDie vier möglichen Ergebnisse eines Signifikanztests, von denen zwei Entscheidungenrichtig und zwei falsch sein können, sind (in Abhängigkeit von der tatsächlichen Gültigkeitder H 0 ) in Tabelle 2 dargestellt: Während α die Wahrscheinlichkeit darstellt, bei einemSignifikanztests die Nullhypothese abzulehnen obwohl sie richtig ist, stellt (1–α) (vgl. dieAkzeptanzregion zwischen den blau schraffierten Flächen über m in Abbildung 3) die0Wahrscheinlichkeit dar, die Nullhypothese beizubehalten wenn sie richtig ist. Während b dieWahrscheinlichkeit darstellt, bei einem Signifikanztest die Nullhypothese nicht abzulehnen,obwohl sie falsch ist, stellt (1–b) (vgl. die Akzeptanzregion rechts der rot schraffiertenFläche über m in Abbildung 3) die Wahrscheinlichkeit dar, mittels eines Signifikanztests1Nullhypothese zurückzuweisen, wenn die Alternativhypothese richtig ist. Die Größe (1–b)wird auch als Power oder Teststärke bezeichnet.14