Logik des Signifikanztests, Statistische Tests für Mittelwerte einer ...

in der Population zu schließen. Im Folgenden soll am Beispiel eines t-Tests die Logik desSignifikanztests erläutert werden. Mit einem t-Test kann geprüft werden, mit welcherWahrscheinlichkeit ein Stichprobenmittelwert oder eine Mittelwertsdifferenz zweier Stichprobenoder einer wiederholt gemessenen Stichprobe beobachtet werden kann, wenn in derPopulation bestimmte, in der Nullhypothese spezifiziert Bedingungen gelten.1.3.1 Einstichproben t-Test zur Inferenz eines PopulationsmittelwertesDie Standardabweichung der Mittelwerte kann anhand dieser Formel berechnet werden,womit die Mittelwerte einer Verteilung folgen, die schmaler ist, als die der Werte derursprünglichen Werte der Variablen X, und zwar um so schmaler, je größer die Stichprobeist. Aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes sind der Mittelwert, die Standardabweichungund die Verteilungsform der Stichprobenkennwerte also theoretisch bekannt.Tabelle 1: Theoretische Stichprobenkennwerteverteilungen des Mittelwerts inAbhängigkeit von Populationsstandardabweichung und Stichprobengröße dreier nichtnormalverteilter RohwertverteilungenNach dem zentralen Grenzwertsatz sind die Mittelwerte x von (theoretisch unendlichvielen) Stichproben ab einem Umfang von n ³ 30 annähernd normalverteilt um den Populationsmittelwert(selbst wenn die Werte der Population nicht normal verteilt sind), vgl.Tabelle 1 und Abbildung 1. Die Standardabweichung der Stichprobenkennwerte (Mittelwerte)s (= Standardfehler des Mittelwerts) ist dabei von der Stichprobengröße n und derxStreuung s der Werte in der Population abhängig:xsxsx= (1)nStichprobengrößegleichverteilt( m = 5; s = 2. 887)Rohwerteverteilungrechtsschief( m = 5 ; s = 4. 000)bimodal( m = 5; s = 3. 162)n x s x s x sxxx2 5.0 2.041 5.0 2.828 5.0 2.2365 5.0 1.291 5.0 1.789 5.0 1.41430 5.0 0.527 5.0 0.730 5.0 0.577Wenn die Standardabweichung s der Werte in der Population (wie meistens der Fall)xnicht bekannt ist, kann zur Berechnung des Streuungsmaßes der Stichprobenmittelwerte sxals bester Schätzer das Streuungsmaß sˆ benutzt werden, wobei sˆ die aus der jeweiligenxxStichprobe bekannte Standardabweichung der einzelnen Stichprobenwerte darstellt:( x i- x)( -1)2å s ˆx= (2)nEntscheidend ist, dass es mit diesem Schätzer der Standardabweichung der Werte in derPopulation möglich ist, selbst anhand der Daten einer einzigen Stichprobe einen empirischenStandardfehler des Mittelwerts zu berechnen:sˆxsˆ x= (3)n2