Logik des Signifikanztests, Statistische Tests für Mittelwerte einer ...

z 1.95996 der z-Wert der Standardnormalverteilung ist, bis zu dem 97.5 % der( 1-a/ 2)=Fläche liegt). Allerdings folgt die mit dem empirischen Standardfehler berechnete Verteilungder Mittelwerte nicht mehr der theoretisch bekannten Normalverteilung sondern einertheoretisch bekannten t-Verteilung mit (n–1) Freiheitsgraden. „Theoretisch bekannt“ bedeutet,dass die Formen der (Wahrscheinlichkeits)Verteilungen der Stichprobenkennwertebekannt sind, so dass für einen beliebigen einzelnen Mittelwert bestimmt werden kann, wieviel Prozent der Verteilung links oder rechts davon liegt. Mit wachsender Stichprobengrößenähert sich die t-Verteilung der Standardnormalverteilung an (vgl. Abbildung 2). Formalberechnet man( x - m0)t = (4)ˆsund stellt fest, ob dieser Wert in die Akzeptanzregion fällt, außerhalb derer t mit einerWahrscheinlichkeit liegen sollte, die gleich dem spezifizierten Signifikanzniveau α ist. AlsSignifikanzniveau wird oft als 5 % gewählt. In diesem Fall stellt die Akzeptanzregionungefähr das Intervall zwischen –2 und 2 dar. Hierbei liegt zwischen –2 und 2 einFlächenanteil von (1-α) der Verteilung, also ungefähr 95 %, während links und rechts von–2 bzw. 2 jeweils ein Flächenanteil von α/2 der Verteilung liegt, also ungefähr jeweils 2.5 %(zweiseitiger Signifikanztest).Standard Normal and t Distributionsxdensity0.0 0.1 0.2 0.3 0.4standard normalt(df=29)t(df=4)t(df=1)-3 -2 -1 0 1 2 3Abbildung 2: Flächen unter der Standardnormalverteilung und unter drei t-VerteilungenAbbildung 2 zeigt, dass die Flächenanteile an den Rändern der Verteilungen für die Standardnormalverteilungkleiner sind als für t-Verteilungen, wobei sich t-Verteilungen mitwachsenden Freiheitsgraden der Standardnormalverteilung annähern. So wird (von linksbzw. – ∞ kommend) ein Flächenanteil von 2.5 % der Verteilung bei der Standardnormalverteilungerst bei einem z-Wert von –1.96 erreicht, während dies bei einer t-Verteilung mit29 Freiheitsgraden bei einem t-Wert von –2.05, bei einer t-Verteilung mit 4 Freiheitsgradenx4