Logik des Signifikanztests, Statistische Tests für Mittelwerte einer ...

erechnen. Die „klassische“ Methode geht davon aus, dass die Varianzen homogen sind undberechnet für beide Stichproben (Gruppen) zunächst einen einzigen Schätzer für diePopulationsvarianz, die sogenannte gepoolte Varianz. Bei gleich großen Stichproben ist diesder Mittelwert der Varianzen beider Stichproben. Bei unterschiedlich großen Stichprobenwird sie berechnet als:222 ( n -1)× sˆ+ ( n -1)× sˆ11 22s ˆ =(9)pooledn + n - 2Die gepoolte Varianz wird anstelle der beiden Varianzen in Formel 7 bzw. in Formel 8eingesetzt. Unter der Annahme der Nullhypothese folgt der damit berechnete t-Wert einer t-Verteilung mit n + n 2 Freiheitsgraden. Die alternative Methode geht von ungleichen-1 2Varianzen aus und berechnet den Standardfehler der Mittelwertsdifferenz mit den einzelnenVarianzen der beiden Stichproben (Gruppen) anhand von Formel 7 bzw. berechnet den t-Wert anhand von Formel 8. Mit dieser Methode (t-Test für heterogene Varianzen oder auchSatterthwaite-Test genannt) 3 ist der t-Wert allerdings nicht exakt t-verteilt sondern kanneiner t-Verteilung angenähert werden, deren Freiheitsgrade df anhand der Varianzen derbeiden Stichproben und der Stichprobengrößen berechnet werden:was im Allgemeinen keine ganze Zahl ergibt.112 2æsˆsˆö1 2ç +÷è n1n2df =øæ222 ö æ 2 öçsˆ÷ ç ˆ ÷1sç ÷ ç 2 ÷ç ÷ ç ÷çn÷ ç ÷è 1nø è 2 ø+n -1n -1Ist die empirische Differenz ( x - x ) so groß, dass der t-Wert bei der Annahme von1 2m - m 0 außerhalb desjenigen Intervalls liegt, in der sich 95 % der Fläche der1 2=1 2=entsprechenden t-Verteilung befindet (d.h. a < .05 bzw. p < .05), kann man sagen, dass derMittelwertunterschied auf dem 5 %-Niveau signifikant ist. In diesem Fall kann dieNullhypothese m - m 0 abgelehnt werden; die Irrtumswahrscheinlichkeit, die Nullhypothesefälschlicherweise beizubehalten, ist kleiner als 5 %. Präziser ist: Die Wahrscheinlichkeit,in zwei Stichproben die beobachtete Mittelwertsdifferenz zu erzielen, beträgt beiGültigkeit der Nullhypothese weniger als 5 %. Würde jedoch der t-Wert für die Differenzder Stichprobenmittelwerte im dem Intervall liegen, in der sich 95 % der Fläche derentsprechenden t-Verteilung befindet, müsste die Nullhypothese, dass die Populationen sichnicht unterscheiden bzw. die Mittelwerte aus der gleichen Population von Werten stammen,beibehalten werden. Die Irrtumswahrscheinlichkeit lässt sich verringern, indem man das a-Niveau verringert, typischerweise auf .01 oder .001. Des weiteren gilt, dass mit größerenStichproben auch geringere Mittelwertsunterschiede signifikant werden bzw. dass bei unverändertenStichprobengrößen größere Mittelwertsunterschiede eher signifikant werden alsgeringere.212(10)3Eine häufig benutzte Alternative für einen t-Test mit ungleichen Varianzen ist der Welch-Test, bei demdie Freiheitsgrade mit einer anderen Formel berechnet ein wenig größer ausfallen (Satterthwaite, 1946;Welch, 1947).8