Dynamik ultrakalter Neutronen im Gravitationsfeld der Erde

2.2 Ultrakalte Neutronen und Galileis Fallgesetz 19Lösung der stationären Schrödingergleichung Um die Gestalt der Schrödingergleichungzu vereinfachen, führt man zunächst einen Skalierungsfaktor der Länge√R := 2 3 2m 2 = 5.88µm (2.35)gein. R stimmt bis auf einen Faktor 1/ 3√ 2 mit ∆z min aus Gleichung (2.33) überein. Wieder Bohrsche Radius a 0 = 0.053nm im Wasserstoffatom ist auch R eng mit der kleinstmöglichenOrtsunschärfe des gebundenen Teilchens verbunden.Durch Definition der Größenζ := z R , ǫ := EmgR(2.36)erhält die stationäre Schrödingergleichung eine dimensionslose Gestalt))(− ∂2∂ζ 2 + ζ ψ(ζ) = ǫψ(ζ) bzw.(− ∂2∂ζ 2 + (ζ − ǫ) ψ(ζ) = 0 . (2.37)Die beiden linear unabhängigen Lösungen der Eigenfunktionen ψ(ζ) sind bekannt; essind die Airy-Funktionen Ai(ζ − ǫ) und Bi(ζ − ǫ). Die vollständige Lösung ist also eineLinearkombinationψ(ζ) = a · Ai(ζ − ǫ) + b · Bi(ζ − ǫ) (2.38)mit noch zu bestimmenden Koeffizienten a und b.Wie in Abbildung 2.2 zu sehen ist, zeigen die Airy-Funktionen folgendes Verhalten:• Für ζ → ∞ divergiert Bi(ζ), während Ai(ζ) gegen 0 konvergiert.• Für ζ → −∞ zeigen Bi(ζ) und Ai(ζ) ein oszillierendes Verhalten.Durch Randbedingungen können die Koeffizienten a und b festgelegt werden. Für dieWahrscheinlichkeit, das Teilchen im gesamten Integrationsbereich zu finden, gilt∫ψ ∗ ψdζ = 1 ⇒ b = 0 . (2.39)DAußerdem ist durch den experimentellen Aufbau die Aufenthaltswahrscheinlichkeit desNeutrons nach unten durch eine Potentialbarriere beschränkt. Dies wird durch einenNeutronenspiegel aus BK7-Glas realisiert, der im Vergleich zur Energie der ultrakaltenNeutronen in z-Richtung (≈ peV ) ein hohes Fermipotential U Fermi ≈ 100neV besitzt. Alshinreichend gute Näherung kann das Potential an der Spiegeloberfläche auf U Fermi = ∞gesetzt werden.Die Neutronen sind in z-Richtung gewissermaßen zwischen dem linearen Gravitationspotentialund dem Neutronenspiegel eingeschlossen.Durch die damit vorgegebenen PotentialbereicheV (ζ) ={ mgζR : ζ > 0∞ : ζ ≤ 0(2.40)