Dynamik ultrakalter Neutronen im Gravitationsfeld der Erde

2.2 Ultrakalte Neutronen und Galileis Fallgesetz 2010.8Ai(ζ)Bi(ζ)0.60.40.20−0.2−0.4−10 −8 −6 −4 −2 0 2ζAbbildung 2.2: Die Airy-Funktionenmussψ(ζ) | ζ=0 = 0 (2.41)gelten. Das durch (2.40) definierte Potential führt zur Quantisierung der Energieeigenwerteǫ → ǫ n . Diese können durch Lösung von Gleichung (2.41) berechnet werden.Zum Zwecke der Anschaulichkeit soll von nun an wieder in physikalischen Einheitengerechnet werden.Energieeigenwerte der Schrödingergleichung Um das System vollständig zu charakterisieren,muss nun noch das Eigenwertspektrum der Energien unter Benutzung vonGleichung (2.41) bestimmt werden. Dies kann auf numerischem Wege oder mithilfe derWKB-Methode durchgeführt werden. Eine genauere Herleitung findet sich in [Wes01]. Inphysikalischen Einheiten lautet das Ergebnis der WKB-Methode( 3πE n = mgRǫ n = mgR2(n − 1 4)) 2/3, (2.42)die Energieeigenwerte steigen also proportional zu n 2/3 an.Tabelle 2.3 zeigt die exakten und die nach der WKB-Methode berechneten Energieeigenwerte.Dazu ist die entsprechende klassische Fallhöhe z n = Eexakt nmgdes quantenmechanischenTeilchens angegeben.Wir können nun unter Berücksichtigung der Randbedingungen die spezielle Lösung der