Lernumgebungen in der Mathematik ... - PHZ Zug

März 2010 pfi
März 2010 pfi
Lernumgebungen in der Mathematik –
begabungsfördernd begleiten
Symposium Begabung / 20.03.2010
Priska Fischer Portmann
Dozentin Fachdidaktik Mathematik PHZ Zug
Studienleiterin CAS und MAS Integrative Begabungs- und Begabtenförderung PHZ
Lernumgebung Zahlenmauern
• Wähle vier Zahlen mit gleichem Abstand und setze sie in die
erste Reihe der Zahlenmauer. Berechne die Zahlenmauer.
(Beispiele für Basiszahlen 1,2,3,4 oder 1,3,5,7 oder andere)
• Setze nun die gleichen vier Zahlen in der ersten Reihe in einer
anderen Reihenfolge ein und rechne wiederum die
Zahlenmauer fertig.
• Versuche dies ein paar Mal. Was entdeckst du?
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Inhalte
►Beispiel: Forschen in Zahlenmauern mit gleichen Basissteinen
►Input zu:
• Lernumgebungen
• substanzielle Aufgabenformate
• offene Aufgabenstellungen
• Impulse für die Lernbegleitung
Wird aufgezeigt an den Beispielen
Umkehrzahlen / Zahlenketten
• Inhaltliche Lernziele – allgemeine Lernziele (Prozesskompetenzen)
• Mathekonferenzen
►Bearbeiten von weiteren Lernumgebungen > Impulse formulieren
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Impulse für die Lernbegleitung
• Wie viele Mauern mit verschiedenen Spitzenzahlen gibt es? (immer die
gleichen Basiszahlen verwenden)
• Wie bekommt man den grössten / kleinsten Spitzenstein? Beschreibe!
• Welche Spitzenzahlen sind möglich?
• Vergleiche die Abstände zwischen den Spitzenzahlen mit jenen der
Basiszahlen. Was stellst du fest? Wie ist es, wenn die Basiszahlen einen
Abstand von 2 oder 4… haben (z.B. 2,4,6,8).
• Untersuche die gefundenen Muster auch bei Mauern mit anderen
Basiszahlen. Was stellst du fest?
• Wie sieht es aus, wenn du Zahlenmauern mit 5 Basiszahlen wählst?
WELCHER IMPULS FÜR WELCHES KIND?
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Cordula, 3. Klasse
Schülerbeispiele der Folien 5 bis 10 aus: Hengartner et.al (2006) Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte.
Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht. Zug: Klett und Balmer (S. 139ff)
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4. Kl.
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Nife 3. Klasse zeigt wie sie systematisch vorgegangen ist.
5. Kl.
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Leistungsheterogenität – aktuelle Situation
5. Kl.
Jahresbericht der Fachstelle für Schulberatung, Bildungsdirektion Zürich, Juni 2009
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5. Kl. > nach Anregung der Lehrperson, die Basiszahlen
mit verschiedenen Zeichen auszudrücken.
Schülerbeispiele der Folien 5 bis 10 aus: Hengartner et.al (2006) Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte.
Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht. Zug: Klett und Balmer (S. 139ff)
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Offene Aufgabenformate – herausfordernd für alle
OFFENE
AUFGABENSTELLUNGEN
Schreibe Rechungen zu
deiner Lieblingszahl.
Ein Quadrat mit Umfang 16
cm ist flächenmässig immer
grösser als alle anderen
Rechtecke mit diesem
Umfang. Prüfe das an einem
Beispiel nach!
FORSCHERFRAGEN LERNUMGEBUNGEN
Ist es möglich, dass
Menschen 1 Million
Sekunden/Minuten/Stunden
alt werden?
Können in einem
Zahlendreieck alle
Ergebniszahlen aussen
gerade/ungerade sein?
Begründe!
(Substanzielle
Aufgabenformate)
Thema des Ateliers
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Charakteristische Merkmale offener Aufgaben sind u.a.:
• Die Aufgabenstellung enthält keine kleinschrittigen Fragen.
• Die Aufgabe dient nicht dem kurzatmigen Einüben eines gerade behandelten Stoffs.
• Die Aufgabe kann auf verschiedenen Wegen gelöst werden. Sie lässt sich nicht
eindeutig einem bestimmten trainierten Schema zuordnen.
•Die Aufgabe fordert die Schülerinnen und Schüler heraus, einen Lösungsweg selbst
zu überlegen.
•Es gibt nicht nur eine richtige Lösung; die Aufgabenstellung lässt unterschiedliche
Lösungen zu.
• Es ergibt sich die Notwendigkeit von Begründungen.
• Es ergibt sich die Notwendigkeit, die Bearbeitung der Aufgabe und die Lösung zu
dokumentieren und für andere verständlich zu präsentieren.
� Nicht alle der hier aufgeführten Kriterien müssen bei einer Aufgabe erfüllt
sein, damit sie als "offene Aufgabe" anerkannt werden kann.
Quelle: SINUS-TRANSFER (2006):
Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts. Offene Aufgaben für die Hauptschule, Heft 2
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Aufgabenstellung
Wähle zweistellige Zahlen z.B. 27
Spiegle Sie 72
Berechne den Unterschied 72 – 27 = 45
IMPULSE
Beispiel einer subst. Aufgabenstellung: Umkehrzahlen
►Vergleiche die Lösungen! Was fällt dir auf?
►Welche Ausgangszahlen geben den gleichen Unterschied?
►Vergleiche deren Ziffern!
►Färbe jene Zahlen mit gleicher Differenz im Hunderterfeld mit der gleichen
Farbe! Welches Muster entsteht?
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Substanzielle Aufgabenstellungen
Das sind Aufgaben…
• welche leistungsstarken und leistungsschwachen Kindern einen
Zugang ermöglichen (man spricht darum von natürlicher
Differenzierung)
• welche aktiv-entdeckendes Mathematik-Treiben ermöglichen
• welche die Möglichkeit eröffnen, Muster/Strukturen zu entdecken und zu
begründen (für leistungsstärkere Sch.)
• welche das Kind herausfordern, Lösungswege zu dokumentieren und
zu präsentieren
� Substanzielle Aufgabenstellungen berücksichtigen
inhaltliche und allgemeine Ziele (Prozesskompetenzen).
Umkehrzahlen (substanzielle Aufgabenstellung)
Ergebnis 9 Ergebnis 18 Ergebnis 27 Ergebnis 36
10 – 01 = 20 – 02 = 30 – 03 = 40 – 04 =
21 – 12 = 31 – 13 = 41 – 14 = 51 – 15 =
32 – 23 = 42 – 24 = 52 – 25 = 62 – 26 =
43 – 34 = 53 – 35 = 63 – 36 = 73 – 37 =
54 – 45 = 64 – 46 = 74 – 47 = 84 – 48 =
65 – 56 = 75 – 57 = 85 – 58 = 95 – 59 =
76 – 67 = 86 – 68 = 96 – 69 =
87 – 78 = 97 – 79 =
98 – 89 =
Ergebnis 45 Ergebnis 54 Ergebnis 63 Ergebnis 72
50 – 05 = 60 – 06 = 70 – 07 = 80 – 08 =
61 – 16 = 71 – 17 = 81 – 18 = 91 – 19 =
72 – 27 =
83 – 38 =
82 – 28 =
93 – 39 =
92 – 29 =
Ergebnis 81
94 – 49 =
09 – 09 =
Lernziele?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
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Umkehrzahlen (substanzielle Aufgabenstellung)
Ergebnis 9 Ergebnis 18 Ergebnis 27 Ergebnis 36
10 – 01 = 20 – 02 = 30 – 03 = 40 – 04 =
21 – 12 = 31 – 13 = 41 – 14 = 51 – 15 =
32 – 23 = 42 – 24 = 52 – 25 = 62 – 26 =
43 – 34 = 53 – 35 = 63 – 36 = 73 – 37 =
54 – 45 = 64 – 46 = 74 – 47 = 84 – 48 =
65 – 56 = 75 – 57 = 85 – 58 = 95 – 59 =
76 – 67 = 86 – 68 = 96 – 69 =
87 – 78 = 97 – 79 =
98 – 89 =
Ergebnis 45 Ergebnis 54 Ergebnis 63 Ergebnis 72
50 – 05 = 60 – 06 = 70 – 07 = 80 – 08 =
61 – 16 = 71 – 17 = 81 – 18 = 91 – 19 =
72 – 27 =
83 – 38 =
82 – 28 =
93 – 39 =
92 – 29 =
Ergebnis 81
94 – 49 =
09 – 09 =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Inhaltsbezogene Kompetenzen: Addieren und subtrahieren im 1.
Hunderter
Prozessbezogene Kompetenzen: darstellen, argumentieren
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Beispiel einer substanziellen Aufgabenstellung: Umkehrzahlen
Sammlung der Impulse:
►Vergleiche die Lösungen/Differenzen: Was fällt dir auf?
►Finde noch mehr Ausgangszahlen zu einer bestimmten Differenz.
►*Finde alle Ausgangszahlen zu einer bestimmten Differenz. Bist du
sicher, dass du alle hast? Wie könntest du dies prüfen?
►Vergleiche den Unterschied zwischen den Ziffern der
Ausgangszahlen mit der Differenz. Wie viele 9er?
►*Finde alle möglichen Differenzen und entsprechende
Ausgangszahlen. Wie bist du vorgegangen?
►*Versuche zu erklären, warum die Differenz ein Vielfaches von 9 ist.
Trage hierzu alle Pärchen der Ausgangszahlen in ein Hunderterfeld
ein (gleiche Differenz mit gleicher Farbe).
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Mathematischer Hintergrund zu "Umkehrzahlen"
42 - 24 = 18
(10a + b) - (10b + a) =
10a + b - 10b - a =
9a - 9b = 9 (a - b)
* für mathematisch interessierte Kinder 19
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Quelle: Die länderübergreifenden Mathematikstandards. Grundschule 4/2008, S. 11.
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Inhaltsbezogene Kompetenzen - Prozesskompetenzen (allgemeine Kompetenzen)
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März 2010 pfi
Bunter Seehund ("traditionelle" Aufgabenstellung)
Lernziele ?
Wie würden Sie auf jede der drei Schüleräusserungen reagieren?
Welche Kompetenzen benötigen Sie, um sich in der Situation
angemessen und lernförderlich zu verhalten?
Quelle:
Selter, Christoph (2009). Jedes Kind kann mathematisch forschen. In: Leuders, Hefendehl, Weigand
(Hrsg.)(2009). Mathemagische Momente. Berlin: Cornelsen Verlag.
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Bunter Seehund ("traditionelle" Aufgabenstellung)
Inhaltsbezogene Kompetenzen: Addieren und subtrahieren im 1.
Hunderter
Prozessbezogene Kompetenzen: ----
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(mathematische) Lernumgebungen
"Eine Lernumgebung für den Mathematikunterricht ist im gewissen
Sinne eine natürliche Erweiterung dessen, was man im
Mathematikunterricht eine "gute bzw. eine substanzielle Aufgabe"
nennt.
Eine Lernumgebung besteht in der Regel aus mehreren
Teilaufgaben und Arbeitsanweisungen, die durch bestimmte
Leitgedanken – immer basierend auf einer innermathematischen
oder sachbezogenen Struktur- zusammengebunden sind."
Hirt, U., Wälti, B. (2008): Lernumgebungen im Mathematikunterricht. Natürliche Differenzierung für
Rechenschwache bis Hochbegabte. Seelze-Velber: Klett/Kallmeyer (S.13).
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ZAHLENMAUERN – IMMER EIN SUBSTANZIELLES AUFGABENFORMAT?
Vergleichen Sie
die beiden
Arbeitsblätter!
Was können die
Kinder jeweils
lernen?
Quelle:
Selter, Ch. (2004).
Mehr als Kenntnisse
und Fertigkeiten.
Basismodul 2, Sinus
Transfer (www.sinusgrundschulehamburg.de
(Zugriff: 19.11.08)
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Gleiche
Aufgabenstellung
aber
unterschiedliche
Impulse und
Teilaufträge für
unterschiedlich
begabte Kinder!
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Lernumgebung: Zahlenketten
• Suche weitere Startzahlen, die zur Zielzahl 20 führen.
• Wie bist du vorgegangen? Erkläre!
• Finde alle Startzahlen zur Zielzahl 20. (Impuls für mathematisch interessierte Kinder)
Grundpositionen des Lehrens und Lernens
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passivistische Position
gründet auf Empirismus und Behaviorismus
(Thorndike: Experimente mit Ratten)
Lernen:
Lernen ist "Zuwachs im Verhaltensrepertoire, der das
Ergebnis ist von Übung und dabei erfolgter
Bestärkung bzw. Verhaltenskorrektur".
Lehrerverhalten:
Darbieten, entwickeln
(Kleinschrittiges Vorgehen)
Schülerverhalten:
passiv, abwartend
Verantwortung für das Lernen der LP überlassen
Lernen durch Belehrung
Lernstoff in kleine "Lernatome" zerlegt
Lernen von Mechanismen , Gesetz-
mässigkeiten anhand vorgegebener Auf-
gaben/Strukturen
aktivistische Position
Hintergrund des aktiv-entdeckenden Lernens
Gründet auf der Kognitionspsychologie
Und den Erkenntnissen von Piaget
Lernen:
Entstehung des Wissens ist aktive Konstruktion, d.h.
Resultat einer Wechselwirkung zwischen innen und
aussen.
Das neu erworbene Wissen ist mitbestimmt und
persönlich gefärbt durch das schon vorhandene
Wissen.
Lehrerverhalten:
Organisation, Anregung zu
eigener Entwicklung
Schülerverhalten:
Fertigkeiten, Wissenselemente, Lösungsstrategien
selber erarbeitend
Lernen durch gelenkte Entdeckung
echte Motivation, herausfordend
Sachzusammenhänge, Gesetzmässigkeiten in
Aufgabenstellung
Eigenverantwortung für das Lernen beim Sch.
Wichtig: über die Art der Aneignung des neuen
Wissens sprechen, Arbeitsprozess evaluieren!
(vgl. Wittmann, E., Müller, G. (1994): Handbuch produktiver Rechenübungen. Klett Verlag)
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Substanzielle Aufgabenformate: Eine Überforderung für lernschwache Schüler?
Anzahl richtig gelöster Aufgaben
im Gruppenmittel, max. 32
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20
15
10
5
0
Aktiv-entdeckender Mathematikunterricht verglichen mit
traditionellem Mathematikunterricht bei Förderschülern
Rechenfertigkeit RF
ES 0.58
Vortest:
Nachtest:
Operationsverständnis OV
ES 0.98
Quelle: Zeitschrift für Heilpädagogik 4/2001, Experiment von Jürgen Walter, Kristina Suhr und Brigit Werner, N=30
Einsatz von Lernumgebungen im Unterricht
Die Zuordnung der bisherigen Lernumgebungen sowie der Lernumgebungen von Band 2
zur gesamten neuen Version des Schweizer Zahlenbuches 1-4 kann als PDF Dokument
im Download Bereich heruntergeladen werden:
http://www.mathe-projekt.ch > Zuordnung Zahlenbuch
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Quellen für substanzielle Aufgabenformate (eine Auswahl)
Wittmann, E.Ch., Müller, G., N. (1994)
Handbuch produktiver Rechenübungen.
Band 1: Vom Einspluseins zum Einmaleins.
Band 2: Vom halbschriftlichen zum schriftlichen Rechnen
Hengartner, E., Hirt, U., Wälti, B. (2006)
Lernumgebungen für Rechenschwache bis Hochbegabte.
Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht.
Zug: Klett und Balmer.
Hirt, U., Wälti, B. (2008)
Lernumgebungen im Mathematikunterricht.
Natürliche Differenzierung für Rechenschwache bis
Hochbegabte. Seelze-Velber: Klett/Kallmeyer
Schweingruber , Thomas (2004)
Auf zum MATHerhorn. Spannende Mathematik für Kinder.
Oberentfelden: Sauerländer.
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