Experimentelle und theoretische Untersuchungen zur Bestimmung ...

2. Stand der Forschung 13
Volumen der Blasen, woraus sich der volumenäquivalente Durchmesser berechnen läßt,
ergibt sich als Quotient aus Gasgehalt und Gesamtanzahldichte.
v
ε m
n m
= G
ges
=
(2.19)
Der Sauter-Durchmesser, der häufig bei der Behandlung von Stoffübergangsproblemen eingesetzt
wird, kann wie folgt aus den Momenten bestimmt werden:
d
s
εG
m
= 6 = 6
a Ψm
i
(2.20)
2.2.3 Verteilungsgesetze
Zur Approximation gemessener Verteilungsdichten werden verschiedene mathematische
Funktionen eingesetzt [44]. Diese Vorgehensweise hat den Vorteil, dass nur wenige Parameter
(häufig zwei) ausreichen, die gesamte Verteilungsdichtefunktion wiederzugeben. Dabei
muss beachtet werden, dass für die Approximation eine geeignete Verteilung ausgewählt
wird. Die Normalverteilung wird meist genutzt für (nahezu) symmetrische Häufigkeitsverteilungen.
Blasengrößenverteilungen, die sich aufgrund stochastischer Prozesse ergeben, sind
unsymmetrisch. Zur Approximation werden in dieser Arbeit eine logarithmische Normalverteilung
oder eine Gamma-Verteilungen herangezogen. Diese Verteilungen sind rechtsschief,
d.h. das Maximum der Verteilungsdichtefunktion ist zu kleineren Durchmessern hin verschoben.
Beide Verteilungen besitzen zwei kennzeichnende Parameter.
Die Logarithmische Normalverteilung für den Blasenradius hat nach Friedlander [33] folgende
Form mit den charakteristischen Parametern Rp und σ’:
(2.21)
Die Momente dieser Radienverteilung sind analytisch bestimmbar (siehe Kapitel 5.1.3). Der
Mittelwert und die Varianz der Radienverteilung sind darüber leicht bestimmbar als R = m1,R
2 2
und σ .
R = m2, R −m1,
R
Die Gamma-Verteilung hat mit den charakteristischen Parametern q und λ folgende Form:
(2.22)
Die Gammafunktion Γ(q) kann durch die Fakultät von (q-1) bestimmt werden. Für gebrochene
Zahlenwerte von q kann die Stirlingsche Näherungsformel verwendet werden, die
nach dem quadratischen Glied abgebrochen wird [17].
1
0
1
2 /3
2
⎧ ⎫
⎡ ⎤
⎪ ⎪ p
1 1 ln( R/ R
pR ( ) = exp −
2πRlnσ 2 lnσ′
⎣ ⎦
′ ⎪
⎩ ⎭
⎪
⎬
⎢ ⎥
⎨
λ
pR R λR
Γ(
q)
q
( ) =
q−1
exp( − )
q−1
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
q −1
Γ ( q) = ( q− 1)! =
e
1 1
2 π ( q−
1) 1 + + + ... 2
12( q−1) 288( q−1)
(2.23)