Experimentelle und theoretische Untersuchungen zur Bestimmung ...

2. Stand der Forschung 29
Eine weitere Reduzierung der Anzahl der zu lösenden Erhaltungsgleichungen bietet die
Lösung der Populationsbilanz auf der Basis der statistischen Momente. Formal wird dazu die
Populationsbilanz gemäß der Momentendefinition der ADV, Gleichung (2.17), integriert,
wie von Kocamustafaogullari und Ishii [62] gezeigt. Wird nur Koaleszenz und Zerfall
berücksichtigt, ergibt sich:
∞ ∞ ∞
k D() f v
k k
v d v= v ( BK − DK)d v+ v ( BZ−DZ)dv Dt 0 0 0
∫ ∫ ∫
1442443 1442443
2
Ykm0
Ωkm0
(2.41)
Aus den Birth- und Death-Termen wird die Gesamtanzahldichte bzw. das nullte Moment ausgeklammert
und man erhält dadurch den Koaleszenzkernel und den Zerfallskernel.
Mit Hilfe der Momentendefinition kann die Populationsbilanz in Transportgleichungen für
jedes Momente umgewandelt werden. Es ergeben sich beispielsweise die Transportgleichung
für den Gasgehalt (gemäß der Euler-Euler-Modellierung), für die Grenzflächenkonzentration
oder die Blasenanzahldichte. Eine Erhaltungsgleichung für die Blasenanzahldichte, das
nullte Moment der ADV, wird von Milies und Mewes [90] eingesetzt. Sehr häufig eingesetzt
werden von verschiedenen Autoren [57,77,62,132] Erhaltungsgleichungen für die Grenzflächenkonzentration.
Es müssen um so mehr Momente berechnet werden, je komplexer die Form der Blasengrößenverteilung
ist. Bislang existieren aber keine systematischen Untersuchungen darüber, in
welchem Verhältnis der rechnerische Aufwand zur gewünschten Genauigkeit stehen muss.
Weiterhin besteht ein Schließungsproblem, da die Quellterme immer höhere Momente enthalten,
die nicht durch die Erhaltungsgleichungen berechnet werden [97]. Es muss deshalb
eine bestimmte Form der Blasengrößenverteilung angenommen werden, um jedes beliebige
Moment berechnen zu können. Möglichkeiten hierfür sind monodisperse Verteilungen, einund
zweiparametrige Verteilungsfunktionen oder die Annahme selbstähnlicher Verteilungen.
Zur Lösung des Schließungsproblems schlagen Marchisio et al. [85] eine Verwendung von
gewichteten Residuen vor. Hierfür sind aber bereits sechs Momentengleichungen zu lösen.
Die Erhaltungsgleichung für das erste Moment entspricht der Massenerhaltungsgleichung
(Kontinuitätsgleichung), die in Strömungsberechnungen ohnehin erfüllt sein muss. Die
Koaleszenz und Zerfallsterme verschwinden hierin, was auch als Kontrolle für die verwendeten
Koaleszenz- und Zerfallsansätze und die Diskretisierung eingesetzt werden kann. Der
wichtigste Punkt bei der Aufstellung der Momentengleichungen ist die Formulierung der
Quellterme.
Zur Lösung der Gleichungen ist weiterhin die Kenntnis der Blasengeschwindigkeit der
jeweiligen Blasenklasse mit dem Volumen v notwendig. Grundsätzlich müsste für jede Blasenklasse
also zusätzlich auch noch eine Impulsbilanzgleichung gelöst werden. Zur Vereinfachung
können beispielsweise gleiche Geschwindigkeiten für alle Blasen angenommen werden
[80].
Unsicherheit besteht auch bei der Wahl der Randbedingungen für die Berechnung der Populationsbilanzen.
Es muss eine Anzahldichteverteilung beispielsweise aus Messungen (siehe
Kapitel 2.7.2) bekannt sein, wobei diese stets mit einem Messfehler behaftet sind. Oder es