Theoretische Optik - Institut für Theoretische Physik
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<strong>Institut</strong> <strong>für</strong> <strong>Theoretische</strong> <strong>Physik</strong><br />
Technische Universität Berlin<br />
<strong>Theoretische</strong> <strong>Optik</strong><br />
Udo Scherz<br />
Wintersemester 2010/11
1 Elektromagnetische Felder<br />
Die <strong>Optik</strong> befasst sich im Wesentlichen mit der Wechselwirkung elektromagnetischer Felder mit Materie<br />
in einem bestimmten Energiebereich. Wir untersuchen hier neben dem sichtbaren Licht mit Energien<br />
von 2 – 4 eV auch den infraroten und ultravioletten Spektralbereich und betrachten Materie in Form von<br />
freien oder gebundenen Atomen, also Festkörper, Flüssigkeiten und Gase. Bei einer Energieänderung<br />
∆E sind Kreisfrequenzen um ω = ∆E<br />
2π h<br />
und Schwingungsdauern T = = betroffen. Wir<br />
¯h ω ∆E<br />
interessieren uns nur <strong>für</strong> Prozesse mit Beobachtungsdauern t ≫ T, d.h. ohne Berücksichtigung von<br />
Einschwingvorgängen. Dann kann die quantenmechanische Goldene Regel <strong>für</strong> optische Übergänge angewandt<br />
werden. Außerdem muss die Wellenlänge λ = cT = hc<br />
groß sein gegenüber der Ausdehnung<br />
∆E<br />
eines Atoms, um eine einfache Kopplung zwischen Atomen und der elektromagnetischen Strahlung<br />
anzusetzen.<br />
Zudem werden die geometrische <strong>Optik</strong>, die Beugung und die Interferenz vom Verhältnis der<br />
Wellenlänge zu den begrenzenden Gerätedimensionen bestimmt.<br />
Aufgabe der Vorlesung ist es, aus der mikroskopischen Beschreibung der Materie die makroskopi-<br />
schen Beobachtungen zu berechnen.
1.1 Punktmechanik und elektromagnetische Felder<br />
Klassische Mechanik eines Massenpunktes<br />
ohne elektromagnetische Felder<br />
m ¨ R(t) = F(R, t)<br />
invariant gegen Galilei-Transformationen<br />
nicht relativistisch<br />
Elektromagnetische Felder verursachen<br />
die Bahnkurve R(t) des Massenpunktes<br />
der elektrischen Ladung e<br />
m ¨ R(t) = FL(R, t)<br />
mit der Lorentz-Kraft<br />
� � � �<br />
R(t), R(t) ˙ = e E + R(t) ˙ × B .<br />
FL<br />
Elektromagnetische Feldenergie wird in<br />
mechanische Energie verwandelt.<br />
Klassische Feldtheorie der Felder E, B<br />
im Vakuum ρ = 0, j = 0<br />
∇ × E = − ˙ B, ∇ × B = µ0ε0 ˙ E<br />
∇ · B = 0, ∇ · E = 0<br />
invariant gegen Lorentz-Transformationen<br />
relativistisch<br />
Eine Punktladung auf einer Bahnkurve<br />
ρ(r, t) = eδ � r − R(t) �<br />
j(r, t) = e ˙ R(t)δ � r − R(t) �<br />
ist Ursache elektromagnetischer Felder<br />
∇ · E = ρ/ε0, ∇ × B = µ0ε0 ˙ E + µ0j<br />
mit ˙ρ + ∇ · j = 0.<br />
Mechanische Energie wird in elektro-<br />
magnetische Feldenergie verwandelt.
1.2 Feldgleichungen makroskopischer Felder<br />
Bei makroskopischer Beobachtung kann die räumliche Ausdehnung von Atomen und Molekülen sowie<br />
deren Abstände in Festkörpern und Flüssigkeiten nicht mehr aufgelöst werden. Ebenso lässt sich<br />
die dynamische Bewegung innerhalb der quantenmechanischen Systeme nicht mehr zeitlich verfolgen.<br />
Daher werden experimentell die räumlichen und zeitlichen Mittelwerte der Observablen beobachtet.<br />
Die Feldgleichungen solcher makroskopischer Felder sind dann<br />
∇ × E = − ˙ B ; ∇ · B = 0 ; ε0µ0 = 1<br />
c 2<br />
∇ × H = ˙ D + j ; ∇ · D = ρ ; D = ε0E + P ; H = 1<br />
mit den makroskopischen Observablen der Materie<br />
ρ(r, t) : elektrische Ladungsdichte<br />
j(r, t) : elektrische Stromdichte<br />
P(r, t) : elektrische Dipoldichte oder Polarisation<br />
M(r, t) : magnetische Dipoldichte oder Magnetisierung.<br />
µ0<br />
B − M,<br />
Im Vakuum gilt ρ = 0, j = 0, P = 0, M = 0 und wegen D = ε0E und µ0H = B erhält man<br />
∇ × E = − ˙ B ; ∇ · E = 0<br />
∇ × B = 1<br />
c 2 ˙ E ; ∇ · B = 0<br />
mit den Wellengleichungen<br />
∆E − 1<br />
c 2Ë = 0<br />
∆B − 1<br />
c 2 ¨ B = 0.
Berechnung der makroskopischen Felder<br />
Es existiert noch keine geschlossene Theorie der Wechselwirkung elektromagnetischer Felder mit der<br />
Materie. Dies würde die Verknüpfung der relativistischen Quantenmechanik mit der quantisierten<br />
Elektrodynamik erfordern. In vielen Fällen genügt es aber, auf spezielle experimentelle Fragestellungen<br />
spezielle Lösungen <strong>für</strong> die Materialeigenschaften zu berechnen. Zum Beispiel kann man im stationären<br />
Fall die makroskopische Ladungsdichte ρ(r) eines Systems gebundener Atome aus einer mikroskopischen<br />
Elektronendichte n Elektr (r) und Ionendichte n Ion (r) durch eine räumliche Mittelung mit geeigneten<br />
kleinen Volumenelementen ∆Vk erhalten<br />
ρ(r) =<br />
� �e0n Ion (r) − e0n Elektr (r) ��<br />
=<br />
� �<br />
k<br />
1<br />
∆Vk(r)<br />
�<br />
∆Vk(r)<br />
� e0n Ion (r − r ′ ) − e0n Elektr (r − r ′ ) � d 3 r ′�<br />
,<br />
wobei auf der rechten Seite noch eine Glättung der Stufenfunktion erfolgt. Dabei lässt sich die<br />
mikroskopische Elektronendichte etwa mit Hilfe der quantenmechanischen Dichtefunktionaltheorie<br />
berechnen.<br />
Entsprechend findet man eine makroskopische Polarisation aus den atomaren elektrischen Dipol-<br />
momenten und die makroskopische Magnetisierung aus den atomaren magnetischen Dipolmomenten.
1.3 Energie elektromagnetischer Felder<br />
Aus dem Induktionsgesetz ∇ × E = − ˙ B und dem Durchflutungsgesetz ∇ × H = ˙ D + j folgt mit dem<br />
Poynting-Vektor s = E × H, der die Dimension einer Energiestromdichte (Jm −2 s −1 ) hat,<br />
−∇ · s = −∇ · (E × H) = E · (∇ × H) − H · (∇ × E) = E · ˙ D + H · ˙ B + j · E.<br />
Dann � gilt <strong>für</strong> ein endliches Volumen V mit der Oberfläche ∂V und mit dem Integralsatz von Gauß<br />
∇ · sd 3 �<br />
r = s · d 2 f<br />
V<br />
Dann ist<br />
∂V<br />
die infinitesimale<br />
�<br />
� �<br />
E · D ˙ + H · B˙ 3<br />
d r<br />
V<br />
� �� �<br />
Änderung der in V enthaltenen<br />
Feldenergie pro Sekunde<br />
inhomogene Kontinuitätsgleichung<br />
+<br />
�<br />
s · d 2 f<br />
∂V<br />
� �� �<br />
durch die Oberfläche<br />
pro Sekunde nach außen<br />
strömende Feldenergie<br />
du = E · dD + H · dB<br />
�<br />
= −<br />
j · Ed 3 r<br />
V<br />
� �� �<br />
Umwandlung von Feldenergie<br />
pro Sekunde innerhalb V<br />
in andere Energie<br />
Änderung der Feldenergie pro Volumeneinheit und lokal gilt die<br />
∂u<br />
∂t<br />
+ ∇ · s = −j · E Energiebilanzgleichung.
Einsetzen der Materialgleichungen D = ε0E + P und B = µ0H + µ0M ergibt <strong>für</strong> die Feldenergie<br />
du = ε0E · dE + E · dP + µ0H · dH + µ0H · dM<br />
= ε0 d � 1<br />
2 E2�<br />
� �� �<br />
Energie des<br />
elektrischen Feldes<br />
+ E · dP<br />
� �� �<br />
Polarisationsenergie<br />
+ µ0 d � 1<br />
2H2� � �� �<br />
+ µ0H · dM.<br />
� �� �<br />
Energie des<br />
magnetischen Feldes<br />
Magnetisierungsenergie<br />
Das elektrische Feld E leistet im Medium die Polarisationsarbeit EP pro Volumeneinheit<br />
und das Magnetfeld H die Magnetisierungsarbeit EM, die im Medium in Wärme umgewandelt wird<br />
Gilt speziell<br />
� E<br />
� H<br />
EP = − E · dP und EM = −µ0 H · dM.<br />
P = (εr − 1)ε0E<br />
M = χH<br />
0<br />
mit der Folge<br />
0<br />
D = εrε0E<br />
B = µrµ0H, µr = 1 + χ<br />
mit den konstanten Skalaren der relativen Dielektrizitätskonstanten εr, der relativen Permeabilität µr<br />
und der magnetischen Suszeptibilität χ, so erhält man <strong>für</strong> die elektromagnetische Feldenergie<br />
du = E · dD + H · dB = d � 1<br />
2 εrε0E 2� + d � 1<br />
2 µrµ0H2� bzw. u = 1<br />
2<br />
1 E · D + 2H · B.<br />
Damit ergibt sich <strong>für</strong> die an die Materie abgegebene elektromagnetische Feldenergie pro Volumeneinheit<br />
EP = − 1<br />
2 (εr − 1)ε0E 2 und EM = − 1<br />
2 µ0χH 2 .
1.4 Elektrodynamische Potenziale<br />
Die magnetische Induktion B(r, t) ist quellenfrei ∇ · B = 0, und lässt sich daher durch ein Vektor-<br />
potenzial A(r, t) ausdrücken: B = ∇ × A, wobei noch über die Quellen ∇ · A von A verfügt werden<br />
kann. Das Induktionsgesetz lautet dann ∇ × E + ˙ B = ∇ × (E + ˙ A) = 0, sodass ein skalares Potenzial<br />
φ(r, t) existiert mit der Eigenschaft E + ˙ A = −∇φ. Daher gilt<br />
B = ∇ × A und E = − ˙ A − ∇φ.<br />
Dann sind die beiden homogenen Feldgleichungen ∇ · B = 0 und ∇ × E = − ˙ B erfüllt, und die bei<br />
gegebenen ρ(r, t) und j(r, t) inhomogenen Feldgleichungen ergeben sich <strong>für</strong> das Vakuum P = 0, M = 0,<br />
B = µ0H, D = ε0E mit der Lorentz-Konvention<br />
∇ · A + 1<br />
c 2 ˙ φ = 0 mit ε0µ0 = 1<br />
c 2<br />
∂2 − ∆<br />
∂t2 zu Lorentz-invarianten inhomogenen Wellengleichungen mit dem Wellenoperator = 1<br />
c2 �<br />
1<br />
c2 ∂2 �<br />
�<br />
1<br />
− ∆ A = A = µ0j und<br />
∂t2 c2 ∂2 �<br />
− ∆ φ = φ =<br />
∂t2 1<br />
ρ Potenzialgleichungen.<br />
ε0<br />
Damit ist die Kontinuitätsgleichung ˙ρ + ∇ · j = 0 erfüllt, denn es gilt mit der Lorentz-Konvention <strong>für</strong><br />
die elektrische Ladung und Stromdichte ˙ρ = ε0<br />
˙φ und ∇ · j = 1<br />
∇ · A mit der Folge<br />
˙ρ + ∇ · j = 1<br />
µ0<br />
µ0<br />
� ε0µ0 ˙ φ + ∇ · A � = 0.
Die vier Felder A(r, t), φ(r, t) sind dadurch nur bis auf eine Eichtransformation mit f(r, t) bestimmt<br />
A ′ = A + ∇f und φ ′ = φ − ∂f<br />
∂t<br />
wobei A ′ und φ ′ mit A und φ die Lorentz-Konvention erfüllen.<br />
Zum Beweise berechnet man<br />
E ′ = − ˙ A ′ − ∇φ ′ ⇒ − ∂<br />
mit der Bedingung f = 0,<br />
�<br />
(A + ∇f) − ∇ φ −<br />
∂t ∂f<br />
�<br />
= −<br />
∂t<br />
˙ B<br />
A − ∇φ = E<br />
′ = ∇ × A ′<br />
∇ · A +<br />
⇒ ∇ × (A + ∇f) = ∇ × A = B<br />
1<br />
c2 ˙ φ = 0 ⇒ ∇ · (A + ∇f) + 1<br />
c2 ∂<br />
�<br />
φ −<br />
∂t<br />
∂f<br />
�<br />
= ∇ · A +<br />
∂t<br />
1<br />
c2 ˙ φ − f = 0.<br />
Die Lösungen der inhomogenen Wellengleichungen A = µ0j und φ = 1<br />
ρ setzen sich aus<br />
ε0<br />
den Lösungen A hom bzw. φ hom der homogenen Wellengleichungen A = 0 und φ = 0 und den<br />
partikulären integralen A pI bzw. φ pI zusammen.<br />
Letztere lassen sich mit Hilfe der retardierten (oder avancierten) Greenschen Funktion<br />
G(r, t;r ′ , t ′ ) = 1 δ<br />
4π<br />
� t − t ′ − |r − r ′ |/c �<br />
|r − r ′ |<br />
mit<br />
�<br />
1<br />
c2 ∂2 �<br />
− ∆<br />
∂t2 berechnen<br />
φ pI (r, t) =<br />
A pI (r, t) =<br />
�<br />
�<br />
G(r, t;r ′ , t ′ ) = δ(r − r ′ )δ(t − t ′ )<br />
G(r, t;r ′ , t ′ ) 1<br />
ρ(r<br />
ε0<br />
′ , t ′ ) d 3 r ′ dt ′ = 1<br />
� � �<br />
′ ′ ρ r , t − |r − r |/c<br />
4πε0 |r − r ′ d<br />
|<br />
3 r ′<br />
G(r, t;r ′ , t ′ )µ0j(r ′ , t ′ ) d 3 r ′ dt ′ = µ0<br />
� � �<br />
′ ′ j r , t − |r − r |/c<br />
4π |r − r ′ d<br />
|<br />
3 r ′ .
Anwendungsbeispiel Elektrostatik<br />
Im stationären Fall erhält man entsprechend die allgemeine Lösung φ = φ pI + φ hom der Poisson-<br />
Gleichung ∆φ = − 1<br />
ε0<br />
ρ in der Elektrostatik.<br />
Die Greensche Funktion ist bestimmt durch die Differenzialgleichung<br />
∆G(r,r ′ ) = δ(r − r ′ ) mit der Lösung G(r,r ′ ) = − 1<br />
4π<br />
Damit erhält man das partikuläre Integral der Poisson-Gleichung<br />
φ pI �<br />
(r) = G(r,r ′ ) ρ(r′ )<br />
d<br />
−ε0<br />
3 r ′ = 1<br />
�<br />
4πε0<br />
ρ(r ′ )<br />
|r − r ′ | d3 r ′ ,<br />
1<br />
|r − r ′ | .<br />
denn es ist<br />
∆φ pI �<br />
(r) = ∆G(r,r ′ ) ρ(r′ )<br />
d<br />
−ε0<br />
3 r ′ �<br />
= δ(r − r ′ ) ρ(r′ )<br />
d<br />
−ε0<br />
3 r ′ = − ρ(r)<br />
.<br />
ε0<br />
Die zugehörige Lösung der homogenen Differenzialgleichung ∆φ = 0 lautet in Kugelkoordinaten<br />
r : r, ϑ, ϕ und entwickelt nach Kugelfunktionen Ylm(ϑ, ϕ)<br />
φ hom (r) =<br />
∞�<br />
l�<br />
l=0 m=−l<br />
�<br />
almr l + blm<br />
rl+1 �<br />
Ylm(ϑ, ϕ)<br />
mit beliebigen Integrationskonstanten alm und blm. Speziell ergibt sich wegen Y00(ϑ, ϕ) = 1<br />
√ 4π als<br />
kugelsymmetrische Lösung das Coulomb-Potenzial<br />
φ hom (r) = a + b<br />
r .
1.5 Liénhard-Wiechert-Potenziale<br />
Bei vorgegebener elektrischer Ladungsdichte ρ(r, t) hat die Potenzialgleichung<br />
�<br />
1<br />
c2 ∂2 �<br />
− ∆ φ(r, t) =<br />
∂t2 1<br />
ρ(r, t)<br />
als partikuläres Integral die retardierte Lösung<br />
φ(r, t) = 1<br />
4πε0<br />
ε0<br />
� ′ ′ ρ(r , t )<br />
|r − r ′ | δ<br />
�<br />
t ′ − t + 1<br />
c |r − r′ �<br />
| d 3 r ′ dt ′ .<br />
Für einen Massenpunkt der Ladung q auf einer vorgegebenen Bahnkurve x(t) ist die Ladungdichte<br />
ρ(r ′ , t ′ ) = qδ � r ′ − x(t ′ ) � . Zur Abkürzung sei R(t ′ ) = r − x(t ′ ) mit R(t ′ ) = � � R(t ′ ) � �, dann ist<br />
φ(r, t) = q<br />
4πε0<br />
= q<br />
4πε0<br />
= q<br />
4πε0<br />
�<br />
�<br />
1<br />
R(t ′ ) δ�t ′ − t + 1<br />
c R(t′ ) � dt ′<br />
δ(u) du<br />
R(t ′ ) − 1<br />
cR(t′ ) · ˙x(t ′ )<br />
1<br />
� R(t ′ ) − 1<br />
c R(t′ ) · ˙x(t ′ ) �<br />
t ′ + 1<br />
c R(t′ )=t<br />
.<br />
mit<br />
u = t ′ − t + 1<br />
c R(t′ )<br />
du 1<br />
= 1 +<br />
dt ′ c ˙ R(t ′ ) = 1 − R(t′ ) · ˙x(t ′ )<br />
cR(t ′ )<br />
dt ′<br />
R(t ′ ) =<br />
du<br />
R(t ′ ) − 1<br />
c R(t′ ) · ˙x(t ′ )<br />
Entsprechend ist die retardierte Lösung des Vektorpotenzials A(r, t) mit der elektrischen Stromdichte<br />
j(r ′ , t ′ ) = q ˙x(t ′ )δ � r ′ − x(t ′ ) � der Punktladung q auf der Bahnkurve x(t ′ )<br />
A(r, t) = µ0<br />
4π q<br />
�<br />
˙x(t ′ )<br />
R(t ′ ) − 1<br />
c R(t′ ) · ˙x(t ′ )<br />
�<br />
t ′ + 1<br />
c R(t′ )=t<br />
.
2 Elektromagnetische Wellen<br />
2.1 Materialgleichungen<br />
Die makroskopischen Feldgleichungen enthalten die Polarisation oder elektrische Dipoldichte P(r, t)<br />
D = ε0E + P mit [ε0] = C<br />
Vm ;<br />
� � V<br />
E =<br />
m und � P � = C Cm elektr. Dipolmoment<br />
= =<br />
m2 m3 Volumen<br />
und die Magnetisierung oder magnetische Dipoldichte M(r, t) mit � H � = A m<br />
M = 1<br />
µ0<br />
B − H mit [µ0] = Vs<br />
Am ;<br />
die den Einfluss der Materie auf die Felder beschreiben.<br />
� � Vs<br />
B = T =<br />
m2 und � M � = Am2 magn. Dipolmoment<br />
= ,<br />
m3 Volumen<br />
Wird an einen Festkörper ein elektrisches Feld E(r, t) angelegt, so ist bei Vernachlässigung von<br />
B die induzierte Polarisation allgemein ein Funktional der elektrischen Feldstärke P = P � E � (r, t). In<br />
den hier interessierenden Fällen sind die äußeren Felder nur klein im Vergleich zu den inneren Feldern<br />
der Atome, und in der linearen <strong>Optik</strong> hat P = (P1, P2, P3) mit E = (E1, E2, E3) die Form<br />
3�<br />
�<br />
Pj(r, t) = ε0<br />
k=1<br />
χ e jk(r,r ′ , t, t ′ )Ek(r ′ , t ′ ) d 3 r ′ dt ′ mit Gedächtniseffekt und Fernwirkung.<br />
Ist der Festkörper speziell homogen und isotrop, hängt die elektrische Suszeptibilität χe e<br />
jk = δjkχ<br />
nur von |r − r ′ | ab, und im stationären Fall nur von t − t ′ .
Im einfachsten Fall ohne Fernwirkung und Gedächtniseffekt gilt bei dielektrischen und parelektrischen<br />
Stoffen P = ε0χ e E mit skalarem und konstantem χ e . Mit der relativen Dielektrizitätskonstanten εr ist<br />
D = ε0E + P = ε0εrE mit εr = 1 + χ e und 1 ≤ εr ≤ 10 2 .<br />
In der nichtlinearen <strong>Optik</strong> kann man <strong>für</strong> die Polarisation P = (P1, P2, P3) genähert setzen<br />
Pν(r, t) = ε0<br />
3�<br />
µ=1<br />
χ e νµ Eµ(r, t) + ε0<br />
1,2,3 �<br />
µ,ρ<br />
χ (2)<br />
νµρ Eµ(r, t)Eρ(r, t) + ε0<br />
Entsprechend erhält man im einfachsten Fall bei dia- und paramagnetischen Stoffen<br />
1,2,3 �<br />
µ,ρ,τ<br />
M = χH und B = µ0H + µ0M = µ0µrH mit µr = 1 + χ,<br />
χ (3)<br />
νµρτ Eµ(r, t)Eρ(r, t)Eτ(r, t).<br />
und man beobachtet χ < 0 mit |χ| = 10 −5 − 10 −6 bei diamagnetischen Stoffen<br />
χ > 0 mit χ = 10 −4 − 10 −5 bei paramagnetischen Stoffen.<br />
Bei ferromagnetischen Stoffen � �wird<br />
M = M(H) vom Wege abhängig und nichtlinear (Hysteresis-<br />
∂M<br />
schleife). Man setzt χ = mit χ = 10 − 10<br />
∂H H=0<br />
3 .<br />
Bei der elektrischen Stromdichte gilt nur im einfachsten Fall das Ohmsche Gesetz j = σE mit<br />
einer skalaren elektrischen Leitfähigkeit σ. Allgemeiner hat man bei Kristallen mit j = (j1, j2, j3)<br />
jk =<br />
3�<br />
σklEl +<br />
l=1<br />
1,2,3 �<br />
l,m<br />
σklmElBm + . . . .
2.2 Ebene Wellen<br />
Wir betrachten zunächst stationäre, homogene, isotrope, dielektrische oder parelektrische<br />
und dia- oder paramagnetische Stoffe: D = ε0εrE = εE und B = µ0µrH = µH mit<br />
εµ = ε0µ0εrµr = εrµr<br />
c<br />
2 = n2<br />
1<br />
=<br />
c2 v2 und n = c<br />
v = √ εrµr<br />
ohne Ladungsdichte ρ = 0 und Stromdichte j = 0. Aus den elektromagnetischen Feldgleichungen<br />
∇ × E = − ˙ B ; ∇ · D = 0 ; ∇ × H = ˙ D ; ∇ · B = 0<br />
findet man ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∇ × ˙ B = −µ∇ × ˙ H = −εµ Ë die Wellengleichungen<br />
� 1<br />
v 2<br />
∂2 �<br />
− ∆ E = 0 und<br />
∂t2 � 1<br />
v 2<br />
1) Linear polarisierte ebene Wellen:<br />
∂2 �<br />
− ∆ B = 0.<br />
∂t2 Der Lösungsansatz einer ebenen Welle: E(r, t) = E0 cos{k · r − ωt}<br />
ergibt die Dispersionsbeziehung − ω2<br />
v 2 + k2 = 0 bzw. ω(k) = v|k| > 0<br />
mit dem Ausbreitungsvektor k, der Kreisfrequenz ω und der Phasengeschwindigkeit v = 1<br />
√ εµ .
Aus ∇ × E = −k ×E0 sin{k · r − ωt} = − ˙ k × E0<br />
B folgt B(r, t) = cos{k ·r−ωt} +B1(r). Setzt man<br />
ω<br />
eine konstante magnetische Induktion zu Null B1(r) = 0, erhält man B(r, t) = B0 cos{k · r − ωt} und<br />
es ergeben sich Transversalwellen<br />
∇ · E = 0 ⇒ k · E0 = 0 ; E0 ⊥ k<br />
∇ · B = 0 ⇒ k · B0 = 0 ; B0 ⊥ k<br />
k × E0<br />
B0 = ⇒ E0 · B0 = 0 ; E0 ⊥ B0<br />
ω<br />
Die Energiestromdichte ergibt sich aus dem Poynting-Vektor s = E × H<br />
s = E0 × (k × E0)<br />
µω<br />
und die Energiedichte ist u = 1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
H · B =<br />
2 2µ B2 =<br />
E0<br />
B0<br />
cos 2 {k · r − ωt} = k E2 0<br />
µω cos2 {k · r − ωt} mit s ↑↑ k<br />
E · D + 1<br />
2<br />
E · D = ε<br />
2 E2 = ε<br />
2 E2 0 cos2 {k · r − ωt}<br />
(k × E0) 2<br />
k2<br />
H · B = E · D, denn es ist wegen = ε<br />
µω2 2µω 2 cos 2 {k · r − ωt} = k2 E 2 0<br />
2µω2 cos2 {k · r − ωt} = 1<br />
E · D.<br />
2<br />
Der zeitliche und räumliche Mittelwert der Energiestromdichte ist wegen � cos 2 {k · r − ωt} � = 1<br />
2<br />
�<br />
k |k|<br />
〈s〉 =<br />
|k| µω E20 cos2 �<br />
{k · r − ωt} = k |k|<br />
|k| 2µω E2 ε<br />
0 und 〈u〉 = 〈E · D〉 =<br />
2 E20 .<br />
k
Für die Energiestromdichte erhält man daraus wegen 1<br />
εµ = v2 und der Dispersionsbeziehung<br />
ω 2 = k2<br />
εµ<br />
oder ω = |k||k|<br />
εµω<br />
und<br />
|k|<br />
εµω<br />
= ω<br />
|k|<br />
= v und es folgt s = k<br />
|k|<br />
|k| k<br />
u =<br />
εµω |k| vu.<br />
Bei der Messung der Intensität des Lichtes (z.B. mit einem Bolometer) wird die auf die Flächeneinheit<br />
der Eintrittsöffnung pro s auftreffende Energie gemessen, [I] = J<br />
m2 . Dabei ist die charakteris-<br />
s<br />
tische Länge der Öffnung groß gegen die Wellenlänge und die Beobachtungsdauer lang gegenüber<br />
der Schwingungsdauer des Lichtes.<br />
s<br />
dA<br />
Bei senkrechtem Einfall auf die Fläche dA des Volumens dV = dAv dt tritt die Energie u dV in der<br />
Zeit dt durch die Fläche dA. Also ist die Intensität<br />
I =<br />
u dV<br />
dA dt<br />
v dt<br />
= uv dA dt<br />
dA dt<br />
= vu,<br />
und durch die Mittelung erhält man I = v〈u〉 = � |s| � = vε � E 2� = 1<br />
2 vεE2 0.
2) Zirkular oder elliptisch polarisierte ebene Welle<br />
Wir betrachten eine ebene Welle in z-Richtung mit k = (0, 0, k), E = (Ex, Ey, 0) und erhalten<br />
Ex = E1 cos{kz − ωt}<br />
Ey = E2 cos{kz − ωt + ϕ}<br />
Ey<br />
E2<br />
= Ex<br />
E1<br />
E 2 x<br />
E 2 1<br />
cosϕ −<br />
+ E2 y<br />
E 2 2<br />
�<br />
1 − E2 x<br />
E 2 1<br />
− 2 ExEy<br />
E1E2<br />
sinϕ ⇒<br />
cosϕ = sin 2 ϕ.<br />
Speziell <strong>für</strong> den Phasenwinkel ϕ = ± π<br />
2<br />
wegen cos{α + β} = cosαcosβ − sinαsin β<br />
folgt cos{kz − ωt + ϕ} = cos{kz − ωt} cosϕ − sin{kz − ωt} sinϕ<br />
� Ex<br />
E1<br />
gilt die Ellipsengleichung E2 x<br />
E2 +<br />
1<br />
E2 y<br />
E2 = 1,<br />
2<br />
und die Welle ist <strong>für</strong> E1 = E2 zirkular polarisiert.<br />
Mit ψ = kz − ωt findet man Ey<br />
Ex<br />
E1<br />
E2<br />
cosϕ − Ey<br />
E2<br />
= cosϕ − tanψ sinϕ.<br />
� 2<br />
=<br />
�<br />
1 − E2 x<br />
E2 �<br />
sin<br />
1<br />
2 ϕ<br />
y<br />
E2<br />
ψ<br />
E<br />
E1 x<br />
Für ϕ = π Ey E1<br />
gilt = − tanψ und die elliptische Welle ist links polarisiert.<br />
2 Ex E2<br />
Entsprechend <strong>für</strong> ϕ = − π<br />
rechts polarisiert. Der Zeiger E dreht sich<br />
2<br />
links polarisiert: bezüglich t im mathematisch positiven Sinn und bezüglich z im Uhrzeigersinn,<br />
rechts polarisiert: bezüglich t im Uhrzeigersinn und bezüglich z im mathematisch positiven Sinn.
3) Allgemeine Lösungen der Wellengleichung<br />
Sei w(r, t) eine Komponente� der Vektoren E(r, t) oder B(r, t), dann ist die allgemeine Lösung der<br />
Wellengleichung<br />
� 1<br />
v 2<br />
∂ 2<br />
∂t 2 − ∆<br />
w = 0 : w(r, t) = f(k · r − ωt) + g(k · r + ωt) mit ω 2 (k) = v 2 k 2 ,<br />
denn es gilt <strong>für</strong> beliebige, zweimal differenzierbare f und g: ∂2 f<br />
∂t 2 = ω 2 f ′′ und ∆f = k 2 f ′′ . Hier<br />
beschreibt f den auslaufenden Teil in Richtung k und g den einlaufenden in Richtung −k. Ist etwa<br />
w(r, 0) zur Zeit t = 0 gegeben, so erfüllt w(r ∓nvt, 0) die Wellengleichung und die Anfangsbedingung,<br />
wobei n = k<br />
mit k = |k| die Ausbreitungsrichtung angibt.<br />
k<br />
Die beiden Lösungen der linearen und homogenen Wellengleichung mit Ausbreitung in Richtung k<br />
cos{k · r − ωt} und sin{k · r − ωt} sind linear unabhängig und in exp � i(k · r − ωt) �<br />
enthalten. Wegen ω(k) = vk = ω(k) setzt man ω(−k) = ω(k) und mit k = (k, 0, 0) stellen dann<br />
w(x, t) = a(k) exp � i(kx − ωt) � und w(x, t) = a(−k) exp � i(−kx − ωt) �<br />
zwei linear unabhängige Lösungen mit beliebigen Amplituden a(k) und a(−k) dar. Die allgemeine<br />
Lösung kann also mit der Realitätsbedingung A(k) = A∗ (−k) in der Form<br />
� ∞<br />
w(x, t) = A(k) exp � i(kx − ω(k)t) � � ∞<br />
dk = A(k) exp � ik(x − vt) � dk = w(x − vt, 0)<br />
−∞<br />
geschrieben werden, wobei w(x, t) und A(k) unterschiedliche Dimensionen haben � A(k) � = m � w(x, t) � .<br />
Das Integral kann als Fourier-Transformation des Anfangswertproblems aufgefasst werden<br />
� ∞<br />
w(x, 0) = A(k) exp{ikx} dk und A(k) = 1<br />
� ∞<br />
w(x, 0) exp{−ikx} dx.<br />
2π<br />
−∞<br />
−∞<br />
−∞
2.3 Telegrafengleichung<br />
Ein elektrisch leitendes Dielektrikum ohne Ladungen sei durch die Materialgleichungen<br />
j = σE ; ρ = 0 ; D = εE ; B = µH mit ε = εrε0 und µ = µrµ0<br />
mit den skalaren Konstanten ε, µ und σ beschrieben. Aus den Feldgleichungen<br />
∇ × E = − ˙ B ; ∇ × H = ˙ D + j ; ∇ · B = 0 ; ∇ · D = ρ = 0<br />
erhält man<br />
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∆E = −∇ × ˙ B = −εµ Ë − µσ ˙ E<br />
die Telegrafengleichung<br />
∆E − µσ ˙ E − 1<br />
v2Ë = 0 mit<br />
1<br />
v2 = εµ = ε0µ0εrµr = εrµr<br />
.<br />
c2 Wir betrachten zur Vereinfachung spezielle Lösungen in Form von ebenen Wellen in x-Richtung<br />
E = E(x, t). Aus ∇ · E = 0 folgt dann ∂Ex<br />
∂x = 0 und wir setzen Ex = 0: E = (0, Ey, Ez).<br />
Der Lösungsansatz <strong>für</strong> Eν(x, t) mit ν = y, z sei<br />
Eν(x, t) = fν(x) exp {iωt} =⇒ f ′′<br />
� � 2 ω<br />
ν (x) + − iµσω fν(x) = 0<br />
v2 mit der Lösung<br />
fν(x) = fν(0) exp<br />
� �<br />
ω2 ±ix v2 �<br />
− iµσω .
Das elektrische Feld mit Ausbreitung in Richtung der positiven x-Achse lautet dann<br />
Eν(x, t) = E0ν exp<br />
�<br />
iωt − ix ω<br />
c<br />
� c 2<br />
− iµσc2<br />
v2 ω<br />
In Analogie zum Brechungsindex bei Isolatoren c<br />
v = √ εrµr führt man den komplexen Brechungsindex<br />
n ∗ ein mit<br />
n ∗ = n − iκ und n ∗2 = c2<br />
− iµσc2<br />
v2 ω<br />
und dazu eine komplexe Dielektrizitätskonstante ε ∗<br />
n ∗2 = ε ∗ = ε ′ − iε ′′ mit<br />
Dann hat die spezielle Lösung der Telegrafengleichung<br />
E(x, t) = E0 exp<br />
�<br />
iωt − ix ω<br />
c n∗�<br />
= E0 exp<br />
�<br />
c2<br />
= − iµrσ<br />
v2 ε0ω ,<br />
ε ′ = n 2 − κ 2 = c2<br />
= εrµr<br />
v2 ε ′′ = 2nκ = µrσ<br />
ε0ω .<br />
�<br />
− ω<br />
c κx<br />
� �<br />
exp iω � t − n<br />
c x��<br />
die Form einer gedämpften ebenen Welle in x-Richtung, wobei <strong>für</strong> E der Realteil zu nehmen ist.<br />
.
2.4 Optische Konstanten<br />
Die in den Feldgleichungen verwendeten Materialkonstanten ε = εrε0, µ = µrµ0 und σ sind zunächst<br />
mit den statischen Feldern oder im elektrischen Bereich bestimmt. In optischen Frequenzbereichen<br />
wird stattdessen der Brechungsindex und der Absorptionskoeffizient gemessen. Den Zusammenhang<br />
erhält man über die Messung der gemittelten Intensität des Lichtes, siehe Abschn. 2.2,<br />
I = � |s| � = v〈u〉 = vε〈E 2 〉 = 1<br />
2 vεE2 �<br />
0 exp −2 ω<br />
c κx<br />
�<br />
Ist I0 die Intensität der Welle beim Eintritt und I nach dem Hindurchtritt durch das Medium der<br />
Dicke x, so wird eine Intensitätsabnahme nach dem Lambertschen Absorptionsgesetz I = I0 exp{−αx}<br />
mit dem Absorptionskoeffizienten α = 2 ω<br />
κ beobachtet. Dadurch sind die im optischen Bereich be-<br />
c<br />
stimmten Materialkonstanten Brechungsindex n und Absorptionskoeffizient α mit den Materialpara-<br />
metern ε = ε0εr, µ = µ0µr und der elektrischen Leitfähigkeit σ verknüpft,<br />
n ∗ = n − i αc<br />
2ω =<br />
und es gilt εµ = n2<br />
c<br />
�<br />
c2 − iµrσ<br />
v2 ε0ω und n∗2 = ε ∗ = ε ′ − iε ′′ mit<br />
α2 2nε0ω<br />
− sowie σ = 2 4ω2 µr<br />
n 2 = εrµr<br />
� � �<br />
�<br />
σ<br />
�2 1 + 1 +<br />
2<br />
εω<br />
αc<br />
2ω<br />
= nε0µ0<br />
µ αc = nα<br />
und α 2 = 2εµω 2<br />
µc und µr ≈ 1<br />
� �<br />
−1 +<br />
ε ′ = n 2 − κ 2 = c2<br />
= εrµr<br />
v2 ε ′′ = 2nκ = µrσ<br />
ε0ω ,<br />
1 +<br />
�<br />
�<br />
σ<br />
�2 .<br />
εω
3 Dispersion<br />
Die Wechselwirkung von Licht mit Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen wird von den gebunde-<br />
nen Atomen bestimmt. Die makroskopischen Beobachtungen entstehen dabei durch komplizierte<br />
mikroskopische Prozesse, sodass man vielfach bei konkreten Messungen zu einfachen Beschreibungs-<br />
modellen übergeht. Wir behandeln hier die in der Spektroskopie an Materie beobachteten frequenz-<br />
abhängigen dielektrischen Eigenschaften und vernachlässigen den Einfluss magnetische Felder, indem<br />
wir M = 0 setzen, was bei dia- und paramagnetischen Stoffen mit M = χH wegen µr = 1 + χ und<br />
|χ| = 10 −4 − 10 −6 gerechtfertigt ist.<br />
3.1 Dielektrische Eigenschaften<br />
Die Frequenzabhängigkeit der makroskopisch beobachteten optischen Konstanten wird dann durch die<br />
Polarisation P = P[E](r, t) bestimmt, die allgemein ein Funktional der elektrischen Feldstärke E(r, t)<br />
ist. Bei hinreichend schwachen elektrischen Feldern des Lichtes, das auf die Materie trifft, im Vergleich<br />
zu den inneren Feldern der Atome, hängt die Polarisation P = (P1, P2, P3) linear von E = (E1, E2, E3)<br />
ab, und man setzt bei Festkörpern mit dem Tensor der elektrischen Suszeptibilität pro Volumen- und<br />
Zeiteinheit χ e = (χjk), vergl. Abschn. 2.1,<br />
D(r, t) = ε0E(r, t) + P(r, t) mit Pj(r, t) = ε0<br />
3�<br />
�<br />
k=1<br />
χjk(r,r ′ , t, t ′ )Ek(r ′ , t ′ ) d 3 r ′ dt ′ .
Bei einem Festkörper im stationären Zustand, d.h. ohne zeitabhängige äußere Störungen, hängt der<br />
Tensor χ e nur von t − t ′ ab. Wir betrachten ferner nur Wellenlängen λ = 2π/|q|, die groß sind<br />
im Vergleich zur Gitterkonstanten a des Kristalles λ ≫ a, dann herrscht näherungsweise räumliche<br />
Homogenität, was einer räumlichen Mittelung über eine Elementarzelle entspricht. Dadurch hängt der<br />
Tensor χ e nur von r − r ′ ab: χjk = χjk(r − r ′ , t − t ′ ).<br />
Für die dielektrische Verschiebung D = (D1, D2, D3) erhält man dann<br />
Dj(r, t) = ε0Ej(r, t) + ε0<br />
3�<br />
�<br />
k=1<br />
χjk(r − r ′ , t − t ′ )Ek(r ′ , t ′ ) d 3 r ′ dt ′ .<br />
Der Einfachheit halber beschränken wir uns hier auf isotrope Festkörper und auf kubische Kristalle,<br />
bei denen der Tensor der elektrischen Suszeptibilität ein Vielfaches der Einheitsmarix ist χjk = χδjk.<br />
Dies gilt z.B. nicht bei hexagonalen Kristallen wie ZnO, CdS, GaN und anderen, bei denen es eine<br />
ausgezeichnete optische Achse, die sogenannte c-Achse gibt, und es zur Doppelbrechung kommt. Bei<br />
isotropen Festkörpern schreibt sich die dielektrische Verschiebung mit der Ortsintegration über das<br />
Grundgebiet V<br />
D(r, t) = ε0E(r, t) + ε0<br />
�<br />
V<br />
χ(r − r ′ , t − t ′ )E(r ′ , t ′ ) d 3 r ′ dt ′ .
Wir nehmen <strong>für</strong> den Festkörper und die Felder räumliche Periodizität mit dem Grundgebiet V an, und<br />
führen <strong>für</strong> D(r, t), E(r, t) und χ(r, t) die Fourier-Transformierten D(q, t), E(q, t) und χ(q, t) ein<br />
E(r, t) = �<br />
E(q, t) exp {iq · r} mit E(q, t) = 1<br />
�<br />
V<br />
E(r, t) exp {−iq · r} d 3 r,<br />
q<br />
wobei über alle Ausbreitungsvektoren q zu summieren ist<br />
q = m1<br />
N b1 + m2<br />
N b2 + m3<br />
N b3 mit ganzen Zahlen m1, m2, m3,<br />
den Basisvektoren des reziproken Gitters b1, b2, b3 und der Zahl N 3 der Anzahl der Elementarzellen<br />
im Grundgebiet V . Dann erhält man mit dem Faltungssatz der Fourier-Transformation<br />
F � f ∗ g)(x) � �<br />
= F<br />
� ∞<br />
�<br />
f(ξ)g(x − ξ) dξ<br />
−∞<br />
die einfache Form <strong>für</strong> die dielektrische Verschiebung<br />
� ∞<br />
D(q, t) = ε0E(q, t) + ε0<br />
V<br />
= F(f)F(g)<br />
χ(q, t − t<br />
−∞<br />
′ )E(q, t ′ ) dt ′ .<br />
Die dielektrischen Eigenschaften werden untersucht, indem eine elektrische ebene Welle mit der Kreis-<br />
frequenz ω in den Kristall gestrahlt wird, die im Innern auch durch Absorption gedämpft sein kann<br />
E(r, t) = E(r, ω) exp {iωt} bzw. E(q, t) = E(q, ω) exp {iωt} .
Damit erhält man<br />
� ∞<br />
D(q, t) = ε0E(q, t) + ε0E(q, ω) exp {iωt}<br />
oder D(q, ω) = ε0˜ε(q, ω)E(q, ω),<br />
χ(q, t − t<br />
−∞<br />
′ ) exp � − iω(t − t ′ ) � dt ′<br />
mit der komplexen Dielektrizitätskonstanten mit der Realitätsbedingung ˜ε(−q, −ω) = ˜ε ∗ (q, ω)<br />
� ∞<br />
˜ε(q, ω) = 1 + χ(q, t − t ′ ) exp � − iω(t − t ′ ) � dt ′ .<br />
−∞<br />
Kann außerdem die räumliche Dispersion d.h. die Fernwirkung der Polarisation vernachlässigt werden,<br />
sodass die elektrische Suszeptibilität vom Ort unabhängig ist χ(r−r ′ , t−t ′ ) = χ(t−t ′ )δ(r−r ′ ), so wird<br />
die dielektrische Verschiebung von der elektrischen Suszeptibiltät pro Zeiteinheit χ(t − t ′ ) bestimmt<br />
� t<br />
D(r, t) = ε0E(r, t) + ε0 χ(t − t ′ )E(r, t ′ ) dt ′ ,<br />
wobei wegen der Kausalität die Integration nur bis t ausgeführt ist. Dann erhält man<br />
� t<br />
D(r, t) = ε0E(r, ω) exp {iωt} + ε0E(r, ω) exp {iωt}<br />
−∞<br />
oder mit D(r, t) = D(r, ω) exp {iωt}<br />
� ∞<br />
D(r, ω) = ε0E(r, ω) + ε0E(r, ω)<br />
0<br />
χ(t − t<br />
−∞<br />
′ ) exp {−iω(t − t ′ )} dt ′<br />
χ(t ′′ ) exp {−iωt ′′ } dt ′′ .
Dies schreibt man in der einfachen Form<br />
D(r, ω) = ε0˜ε(ω)E(r, ω)<br />
mit der komplexen Dielektrizitätskonstanten ˜ε(−ω) = ˜ε ∗ (ω)<br />
� ∞<br />
˜ε(ω) = 1 +<br />
0<br />
χ(t ′′ ) exp {−iωt ′′ } dt ′′ .<br />
Wird also in einem Dielektrikum eine elektromagnetische Welle der Frequenz ω eingestrahlt, so wird<br />
die Wirkung durch die Polarisation P bzw. durch die dielektrische Verschiebung D festgestellt, die<br />
sich mit Hilfe einer frequenzabhängigen Dielektrizitätskonstante schreiben lässt. Das die Polarisation<br />
bestimmende Integral berücksichtigt nicht nur das elektrische Feld zur Zeit t, sondern auch zu früheren<br />
Zeiten, sodass Gedächtniseffekte im Medium eine Rolle spielen. Bei hohen Frequenzen verzögert sich die<br />
Reaktion der Atome auf das E-Feld des Lichtes, wodurch die Dielektrizitätskonstante frequenzabhängig<br />
wird. Die Elektronen des Mediums können dem sich zu schnell ändernden E-Feld des Lichtes nicht<br />
mehr folgen, sodass es zu Verzögerungseffekten kommt.<br />
Im Folgenden werden einzelne mikroskopische Modelle besprochen, die die Frequenzabhängigkeit<br />
der Dielektrizitätskonstanten in verschiedenen Spektralbereichen erklären.
3.2 Dispersion im optischen Bereich<br />
In einem einfachen klassischen Modell entsteht die durch das elektrische Feld der elektromagnetischen<br />
Welle hervorgerufene Polarisation durch die Ausrichtung permanenter Dipole der Moleküle und durch<br />
die induzierten elektrischen Dipole der Atome, sowie durch das Elektronengas der Halbleiter und<br />
Metalle. Entsprechend setzt sich die elektrische Suszeptibilität<br />
genähert aus den Anteilen<br />
zusammen.<br />
χ e = χ perm + χ Atom + χ Gas<br />
χ perm durch permanente elektrische Dipole<br />
χ Atom durch induzierte elektrische Dipole<br />
χ Gas durch ein Elektronengas<br />
1) Dispersion durch permanente Dipole<br />
Befinden sich im Dielektrikum viele kleine elektrische Dipole, die ohne ein äußeres elektrisches Feld<br />
ungeordnet alle möglichen Richtungen einnehmen, so dass die Polarisation oder Dipoldichte insgesamt<br />
Null ist, so werden diese Dipole durch ein elektrisches Feld ausgerichtet.
In dem Modell von Debye folgen diese Dipole dem elektrischen Feld nur mit einer gewissen Verzögerung,<br />
und <strong>für</strong> diesen Anteil der elektrischen Suszeptibilität χ perm wird, bei nicht zu hohen Frequenzen un-<br />
terhalb des optischen Bereiches, angenommen, dass eine Polarisation P nach Abschalten des äußeren<br />
elektrischen Feldes E exponentiell mit einer Relaxationszeit τ abklingt, wobei ein gewisser Teil der<br />
Polarisation dem elektrischen Feld ohne Verzögerung verlustfrei folgen kann. Mit P. Debye wird <strong>für</strong><br />
E(r, t) = E0(r, ω) exp {iωt} mit reellen ε ′ 0 = ˜ε(0) und ε ′ ∞ = ˜ε(∞) gesetzt<br />
D(r, t) = ε0˜ε(ω)E(r, t)<br />
= ε0ε ′ � t<br />
∞E(r, t) + ε0 E(r, t<br />
−∞<br />
′ �<br />
t −<br />
�<br />
t′<br />
)a exp − dt<br />
τ<br />
′<br />
= ε0ε ′ � t �<br />
t −<br />
�<br />
t′<br />
∞E(r, t) + ε0E(r, t) a exp −<br />
−∞ τ<br />
�<br />
= ε0E(r, t)<br />
− t′′<br />
�<br />
τ<br />
�<br />
ε ′ � ∞<br />
∞ + a exp<br />
0<br />
Das Integral liefert mit aτ = ε ′ 0 − ε ′ ∞ wegen<br />
�<br />
D(r, t) = ε0E(r, t)<br />
� ∞<br />
0<br />
ε ′ ∞ + a<br />
exp {−iωt ′′ } dt ′′<br />
exp � − iω(t − t ′ ) � dt ′<br />
�<br />
.<br />
. . . dt ′′ = exp {−t′′ /τ}exp {−iωt ′′ }<br />
−(1/τ)(1 + iωτ)<br />
τ<br />
1 + ω2 − iaωτ<br />
τ2 τ<br />
1 + ω 2 τ 2<br />
�<br />
= ε0E(r, t) ε ′ ∞ + ε′ 0 − ε′ ∞<br />
1 + ω2τ 2 − iωτ ε′ 0 − ε′ ∞<br />
1 + ω2τ 2<br />
�<br />
.<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∞<br />
0<br />
=<br />
τ<br />
1 + iωτ
Setzt man die komplexe Dielektrizitätskonstante<br />
ein, so erhält man<br />
˜ε(ω) = ε ′ (ω) − iε ′′ (ω)<br />
ε ′ (ω) = ε ′ ∞ + ε′ 0 − ε ′ ∞<br />
1 + ω2τ 2 und ε ′′ (ω) = ωτ ε′ 0 − ε ′ ∞<br />
1 + ω2τ Bei sehr niedrigen Frequenzen werden alle Dipole ausgerichtet sein, so dass ε ′ (0) den größten Wert hat.<br />
Bei sehr hohen Frequenzen können die Dipole nicht mehr folgen, so dass ε ′ (∞) den kleinsten Wert<br />
hat, und ε ′ (ω) mit der Frequenz monoton abnimmt. Für den Imaginärteil ε ′′ (ω) ist ε ′′ (0) = 0 und<br />
ε ′′ (∞) = 0 mit einem Maximum bei ω = 1/τ, das meist im Mikrowellenbereich liegt.<br />
ε ′ 0<br />
ε ′ ∞<br />
+<br />
+<br />
+<br />
ε ′ (ω)<br />
+ + + + + +<br />
1/τ 5/τ ω<br />
ε ′ 0<br />
ε ′ ∞<br />
+<br />
+<br />
+<br />
ε ′′ (ω)<br />
2 .<br />
+ + + + + +<br />
1/τ 5/τ ω
2) Dispersion durch induzierte atomare Dipole<br />
Im optischen Bereich wird allgemein die normale Dispersion beobachtet, wonach der Brechungsindex<br />
mit der Frequenz zunimmt. Es gibt aber auch bestimmte Frequenzbereiche mit anomaler Dispersion, in<br />
denen der Brechungsindex, und damit bei geringer Dämpfung der Realteil der Dielektrititätskonstanten<br />
mit der Frequenz abnimmt. Im klassischen Modell <strong>für</strong> die Suszeptibilität χ Atom geht man von der<br />
Vorstellung aus, dass es im Kristall elastisch gebundene Elektronen gibt, die durch das elektrische Feld<br />
zu gedämpften Schwingungen angeregt werden. Befindet sich der Oszillator mit der Federkonstanten<br />
mω 2 0<br />
und dem Reibungskoeffizienten mγ am Ort R, so lautet die Bewegungsgleichung <strong>für</strong> ein Elektron<br />
der Ladung e, der Masse m und am Ort r im elektrischen Feld E(r, t) = E0 exp � − i(q · r − ωt) �<br />
¨r + γ˙r + ω 2 0(r − R) ≈ e<br />
m E0 exp {−iq · R} exp {iωt} ,<br />
wobei angenommen wurde, dass die Auslenkung der Elektronen klein ist im Vergleich zur Wellenlänge<br />
|r − R| ≪ λ = 2π/|q| der elektrischen Welle. Der Lösungsansatz <strong>für</strong> die erzwungene Schwingung<br />
r − R = A e<br />
m E0 exp {−iq · R}exp {iωt} ergibt A =<br />
1<br />
ω 2 0 − ω2 + iωγ<br />
mit der komplexen Amplitude A. Die Summe der Dipolmomente e(r−R) der schwingenden Elektronen<br />
pro Volumeneinheit ergeben die komplexe Dipoldichte oder Polarisation<br />
P = Ne(r − R) = NA e2 � � Ne<br />
E(r, t) = ε0 ˜ε(ω) − 1 E(r, t) mit ˜ε(ω) = 1 +<br />
m 2<br />
ε0m A,<br />
wobei N die Dichte des Oszillatoren bezeichnet.
Man setzt unterschiedliche Oszillatoren mit Frequenzen ωj, Dämpfungen γj und Konzentrationen Nfj<br />
mit �<br />
j fj = 1 an, und erhält <strong>für</strong> die komplexe Dielektrizitätskonstante<br />
˜ε(ω) = 1 + Ne2<br />
ε0m<br />
�<br />
j<br />
fj<br />
ω 2 j − ω2 + iωγj<br />
= ε ′ (ω) − iε ′′ (ω),<br />
und bezeichnet fj als Oszillatorenstärke. Die Zerlegung in den Real- und Imaginärteil liefert<br />
ε ′ (ω) = 1 + Ne2<br />
ε0m<br />
ε ′′ (ω) = Ne2<br />
ε0m<br />
�<br />
j<br />
�<br />
j<br />
ω<br />
fj<br />
2 j − ω2<br />
(ω2 j − ω2 ) 2 + ω2γ2 j<br />
ωγj<br />
fj<br />
(ω2 j − ω2 ) 2 + ω2γ2 j<br />
= εr = n 2 − κ 2<br />
= 2nκ = nc<br />
2ω<br />
α wegen α =<br />
ω c κ.<br />
Daraus ergibt sich eine Zunahme des Brechungsindex mit der Frequenz, also normale Dispersion im op-<br />
tischen Bereich, <strong>für</strong> alle Frequenzen bis auf Bereiche in einer Umgebung der Resonanzstellen ωj. Unter<br />
der Annahme schwacher Dämpfung findet man aus dem Imaginärteil der Dielektrizitätskonstanten<br />
ε ′′ (ω) den Absorptionskoeffizienten α = (ω/nc)ε ′′ (ω) mit Absorptionsmaxima an den Stellen ωj. In<br />
einer Umgebung dieser Stellen, die ungefähr der Halbwertsbreite der Absorptionslinien entspricht,<br />
nimmt der Brechungsindex mit der Frequenz ab, sodass hier anomale Dispersion beobachtet wird.
Die Abbildung zeigt den berechneten Brechungsindex<br />
n und den Absorptionskoeffizienten α als Funktion<br />
der Kreisfrequenz ω in der Umgebung dreier Reso-<br />
nanzfrequenzen ωj und Dämpfungskonstanten γj in<br />
beliebigen Einheiten sowie die Oszillatorenstärken fj<br />
ωj γj fj<br />
30 3 0.01<br />
50 10 0.4<br />
80 2 0.15
3) Dispersion durch ein Elektronengas<br />
Im Drude-Modell des Elektronengases werden die Elektronen eines Metalles oder Halbleiters im elekt-<br />
rischen Feld E(r, t) = E(r) exp {iωt} beschleunigt, und ihre Geschwindigkeit v klingt beim Abschalten<br />
von E mit der Relaxationszeit τ ab. Dann gilt im Rahmen der klassischen Mechanik<br />
∂v e0<br />
1<br />
= −1 v − E mit der Lösung v = −e0τ<br />
∂t τ m m 1 + iωτ E.<br />
Hier ist v weder die mikroskopische Geschwindigkeit der Elektronen, noch die Driftgeschwindigkeit,<br />
die bei der elektrischen Leitung auftritt, sondern die Geschwindigkeit der oszillierenden Dipole. Bei<br />
einer Elektronendichte n ergibt sich die elektrische Stromdichte mit der Plasmafrequenz ωp<br />
j = −e0nv = e2 0 nτ<br />
m<br />
1<br />
1 + iωτ E = ω2 pε0τ 1 + iωτ E mit ω2 p = e20 n<br />
ε0m .<br />
Diese elektrische Stromdichte j sei die Ursache der Polarisation oder Dipoldichte P. Der Verschie-<br />
bungsvektor eines Elektrons r(t) erzeugt lokal ein Dipolmoment p = −e0r mit ˙p = −e0v. Daraus<br />
ergibt sich <strong>für</strong> die Dipoldichte ˙ P = n ˙p = −e0nv = j mit der Elektronendichte n. Damit schreibt sich<br />
die dielektrische Verschiebung D mit der komplexen Dielektrizitätskonstanten ˜ε(ω) in der Form<br />
und es folgt<br />
D = ε0E + P mit ˙ D = ε0˜ε(ω) ˙ E = ε0 ˙ E + j =<br />
˜ε(ω) = 1 − i ω2 pτ<br />
ω<br />
1<br />
1 + iωτ = 1 − ω2 pτ 2<br />
1 + ω2 − i<br />
τ2 �<br />
iωε0 + ω2 pε0τ<br />
1 + iωτ<br />
ω 2 pτ<br />
�<br />
E = iωε0˜ε(ω)E,<br />
ω(1 + ω 2 τ 2 ) = ε′ (ω) − iε ′′ (ω).
Bei Metallen gilt ωτ ≫ 1 <strong>für</strong> ω in der Größenordnung der Plasmafrequenz bei ¯hωp = 10eV, sodass gilt<br />
ε ′ (ω) ≈ 1 − ω2 p<br />
ω 2 und ε ′′ (ω) ≪ 1.<br />
Bei Halbleitern ist ω 2 p ≪ ω 2 mit ω im optischen Bereich, sodass der Anteil des Elektronengases zur<br />
Dispersion vernachlässigbar ist.<br />
folgt<br />
Aus dem Durchflutungsgesetz ∇ × H = ˙ D = ε0 ˙ E + j und dem Induktionsgesetz ∇ × E = −µ0 ˙ H<br />
−µ0∇ × ˙ H = −µ0<br />
∂ �<br />
ε0<br />
∂t<br />
˙ E + j � = ∇ × (∇ × E) = ∇∇ · E − ∆E,<br />
mit ∇ · E = 0, woraus sich wegen ˙ D = ε0 ˙ E + j und D = ε0˜ε(ω)E die Telegrafengleichung ergibt<br />
∆E = µ0<br />
∂<br />
∂t (ε0 ˙ ∂<br />
E + j) = µ0<br />
∂t ˙ D = µ0 ¨ D = µ0ε0˜ε(ω) Ë.<br />
• Für ω < ωp gilt ε ′ (ω) < 0, und wegen ε ′′ (ω) > 0 gibt es nach der Telegrafengleichung nur<br />
abklingende Lösungen <strong>für</strong> die elektrische Feldstärke E.<br />
• Für ω > ωp verschwindet die Dämpfung praktisch, und die Metalle werden bei hinreichend hohen<br />
Frequenzen durchsichtig.
3.3 Dispersionsrelationen<br />
Es wird vorausgesetzt, dass die elektrische Suszeptibilität<br />
f(ω) = ˜ε(ω) − 1 = (n − iκ) 2 − 1 = n 2 − κ 2 − 1 − i2nκ = ε ′ (ω) − 1 − iε ′′ (ω)<br />
in der unteren komplexen ω-Halbbene einschließlich der reellen Achse holomorph ist. Ferner sei<br />
|ωf(ω)| → 0 <strong>für</strong> |ω| → ∞. Dies ist bei der komplexen Dielektrizitätskonstanten ˜ε(ω) nach Abschn. 3.2<br />
der Fall, die die normale und die anomale Dispersion qualitativ richtig wiedergeben. Dann lässt sich<br />
die Cauchy-Formel <strong>für</strong> jeden Punkt ω auf der reellen Achse anwenden<br />
f(ω) = 1<br />
�<br />
f(z) dz 1<br />
= −<br />
2πi z − ω πi P<br />
� ∞<br />
Γ<br />
−∞<br />
f(ω ′ ) dω ′<br />
ω ′ − ω ,<br />
mit einem Integrationsweg Γ, der auf der reellen Achse aber oberhalb der Polstelle bei ω und auf einem<br />
Halbkreis unten herum im mathematisch positiven Sinn verläuft, wobei Letzterer verschwindet. Wegen<br />
� ∞<br />
˜ε(ω) = 1 + χ(t ′ ) exp {−iωt ′ } dt ′<br />
folgt ˜ε(−ω) = ˜ε ∗ (ω),<br />
und es gilt wegen f(−ω) = ˜ε(−ω) − 1 = f ∗ (ω)<br />
Re � f(ω) � = 1�<br />
� 1<br />
f(ω) + f(−ω) = −<br />
2<br />
2πi P<br />
� ∞<br />
−∞<br />
Im � f(ω) � = 1 � � ω<br />
f(ω) − f(−ω) =<br />
2i<br />
2π P<br />
� ∞<br />
0<br />
−∞<br />
2ω ′ f(ω ′ ) dω ′<br />
ω ′2 − ω 2<br />
2f(ω ′ ) dω ′<br />
ω ′2 − ω 2<br />
mit<br />
1<br />
ω ′ 1<br />
+<br />
− ω ω ′ 2ω′<br />
=<br />
+ ω<br />
1<br />
ω ′ − ω −<br />
1<br />
ω ′ + ω =<br />
ω ′2 − ω2 2ω<br />
ω ′2 .<br />
− ω2
Wegen f(−ω) = f ∗ (ω) erhält man<br />
Re � f(ω) � = − 1<br />
πi P<br />
� ∞ ω<br />
0<br />
′�f(ω ′ ) − f ∗ (ω ′ ) �<br />
ω ′2 − ω2 dω ′ = − 2<br />
π P<br />
� ∞<br />
0<br />
Im � f(ω) � = ω<br />
π P<br />
� ∞<br />
f(ω ′ ) + f ∗ (ω ′ )<br />
ω ′2 − ω2 dω ′ = 2ω<br />
π P<br />
� ∞ Re � f(ω ′ ) �<br />
0<br />
0<br />
ω ′ Im � f(ω ′ ) �<br />
ω ′2 dω′<br />
− ω2 ω ′2 − ω 2 dω ′<br />
und mit Re � f(ω) � = n 2 −κ 2 −1 und Im � f(ω) � = −2nκ ergeben sich die Kramers-Kronig-Relationen<br />
π P<br />
� ∞<br />
0<br />
2n(ω)κ(ω) = − 2ω<br />
π P<br />
� ∞<br />
n 2 (ω) − κ 2 (ω) = 1 + 2<br />
0<br />
2n(ω ′ )κ(ω ′ )ω ′<br />
ω ′2 − ω 2 dω ′<br />
n 2 (ω ′ ) − κ 2 (ω ′ ) − 1<br />
ω ′2 − ω 2<br />
wonach sich der Realteil der Dielektrizitätskonstanten berechnen lässt, wenn der Imaginärteil <strong>für</strong> alle<br />
Frequenzen bekannt ist, und umgekehrt. Die zur numerischen Integration praktischere Form der<br />
Kramers-Kronig-Relationen<br />
n 2 (ω) − κ 2 (ω) = 1 + 2<br />
� ∞<br />
π 0<br />
2n(ω)κ(ω) = − 2ω<br />
� ∞<br />
π<br />
0<br />
dω ′ ,<br />
2n(ω ′ )κ(ω ′ )ω ′ − 2n(ω)κ(ω)ω<br />
ω ′2 − ω 2<br />
dω ′<br />
n 2 (ω ′ ) − κ 2 (ω ′ ) − n 2 (ω) + κ 2 (ω)<br />
ω ′2 − ω 2<br />
enthält keine Polstellen mehr, und wird mit Hilfe der Beziehung bewiesen:<br />
� ∞<br />
P<br />
0<br />
dω ′<br />
ω ′2 = 0.<br />
− ω2 dω ′
4 Nichtlineare <strong>Optik</strong><br />
Experimentell kann man statische elektrische Felder E bis zu 10 6 V/m an Nichtleiter anlegen, und in<br />
diesem Bereich hängt die Polarisation P linear von E ab. Innerhalb der Atome herrschen Feldstärken<br />
|E| > 10 11 V/m. Gitterschwingungen in Festkörpern führen zu Energien bis zu 1 eV bei atomaren<br />
Verschiebungen von 1 ˚A = 10 −10 m, wobei elektrische Felder von 10 10 V/m auftreten. Hierbei hängt die<br />
Polarisation nichtlinear von E ab. In diesen Bereich gelangt man auch mit Laserlicht hoher Intensität,<br />
sodass nichtlineare optische Effekte beobachtet werden.<br />
4.1 Nichtlineare elektrische Suszeptibilität<br />
Unter den Voraussetzungen ρ = 0, j = 0, M = 0, B = µ0H ergeben die elektromagnetischen<br />
Feldgleichungen ∇ × E = − ˙ B und ∇ × B = µ0 ˙ D<br />
oder mit der Polarisation P<br />
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∇ × ˙ B = −µ0 ¨ D,<br />
∆E − ∇∇ · E = µ0 ¨ D und ∇ · D = 0 mit D = ε0E + P.
Ohne räumliche Dispersion wird <strong>für</strong> nichtferroelektrische Stoffe <strong>für</strong> die Polarisation P = (P1, P2, P3)<br />
die Reihenentwicklung nach der elektrischen Feldstärke E = (E1, E2, E3) ohne Fernwirkung und mit<br />
einem Gedächtniseffekt im linearen Term der elektrischen Suszeptibilität χ angesetzt<br />
Pν(r, t) = ε0<br />
� ∞<br />
0<br />
3�<br />
µ=1<br />
χνµ(t ′ )Eµ(r, t − t ′ ) dt ′ + ε0<br />
+ ε0<br />
1,2,3 �<br />
µ,ρ<br />
1,2,3 �<br />
µ,ρ,σ<br />
χ (2)<br />
νµρEµ(r, t)Eρ(r, t)<br />
χ (3)<br />
νµρσEµ(r, t)Eρ(r, t)Eσ(r, t) + . . ..<br />
Wir trennen die Polarisation P in den linearen und nichtlinearen Teil mit ε(t ′ ) = 1δ(t − t ′ ) + χ(t ′ )<br />
D = ε0<br />
� ∞<br />
0<br />
ε(t ′ ) · E(r, t − t ′ ) dt ′ + P NL (r, t) mit P NL (r, t) = ε0χ (2) : EE + ε0χ (3) ˙:EEE,<br />
und die zweite Differenzialgleichung erhält die Form<br />
∇ · D = 0 bzw.<br />
� ∞<br />
0<br />
∇ · ε(t ′ ) · E(r, t − t ′ ) dt ′ = − 1<br />
ε0<br />
∇ · P NL (r, t).<br />
1) Bei isotropen Medien ist ε(t ′ ) = ε(t ′ )1. Dann transformieren E, D und P wie der Ortsvektor bei<br />
einer Inversion r → −r, sodass χ (2) = 0 folgt, und P NL von dritter Ordnung in E, und somit sehr<br />
klein ist.
2) Bei nichtisotropen Stoffen mit ε(t ′ )·E(r, t−t ′ ) = ε·E(r, t−t ′ )δ(t−t ′ ) lauten die Grundgleichungen<br />
der nichtlinearen <strong>Optik</strong> mit dem Tensor der Dielektrizitätskonstanten ε wegen D = ε0ε ·E+P NL<br />
∆E − ∇∇ · E − 1<br />
c 2ε · Ë = µ0 ¨ P NL und ∇ · ε · E = − 1<br />
ε0<br />
∇ · P NL mit µ0ε0 = 1<br />
c 2.<br />
Berücksichtigt man nur Terme bis zweiter Ordnung in E, so erhält man <strong>für</strong> nichtisotrope Stoffe<br />
∆E − ∇∇ · E − 1 1<br />
ε · Ë =<br />
c2 c2 χ(2) : ∂2<br />
∂t2EE und ∇ · ε · E = −∇ · χ(2) : EE.<br />
4.2 Erzeugung und Vernichtung von Photonen<br />
Wir untersuchen Drei-Photonen-Prozesse, wie sie durch die Quantenoptik begründet werden<br />
¯hω1, ¯hk1<br />
¯hω2, ¯hk2<br />
¯hω1, ¯hk1<br />
¯hω3, ¯hk3<br />
¯hω2, ¯hk2<br />
¯hω3, ¯hk3<br />
Energiesatz ¯hω1 + ¯hω2 = ¯hω3<br />
Impulssatz ¯hk1 + ¯hk2 = ¯hk3<br />
Energiesatz ¯hω1 = ¯hω2 + ¯hω3<br />
Impulssatz ¯hk1 = ¯hk2 + ¯hk3
Dazu werden reelle Lösungen <strong>für</strong> die elektrische Feldstärke E mit drei verschiedenen Frequenzen gesucht<br />
E = 1�<br />
E1 + E<br />
2<br />
∗ 1 + E2 + E ∗ 2 + E3 + E ∗� 3 mit<br />
Setzt man E in die Differenzialgleichung ein, erhält man<br />
�<br />
∆ − ∇∇ · − 1 ∂2<br />
c2ε ·<br />
∂t2 �<br />
E1(r, t) = E1(r, ω1) exp {−iω1t}<br />
E2(r, t) = E2(r, ω2) exp {−iω2t}<br />
E3(r, t) = E3(r, ω3) exp {−iω3t}.<br />
(E1 + E ∗ 1 + E2 + E∗2 + E3 + E∗ 1<br />
3 ) =<br />
2c2χ(2) : ∂2<br />
∂t2(E1 + . . .E∗3 )(E1 + . . .E∗3 ).<br />
Weil die elektrischen Felder <strong>für</strong> verschiedene Frequenzen linear unabhängig sind, gilt diese Gleichung<br />
<strong>für</strong> jede Frequenz einzeln und es folgt <strong>für</strong> den Prozess der Erzeugung eines Photons mit ω3 = ω1 + ω2:<br />
∆E1 − ∇∇ · E1 + ω2 1<br />
c 2 ε · E1 = − ω2 1<br />
c 2 χ(2) : E3E ∗ 2 und ∇ · ε · E1 = −∇ · χ (2) : E3E ∗ 2<br />
∆E2 − ∇∇ · E2 + ω2 2<br />
c 2 ε · E2 = − ω2 2<br />
c 2 χ(2) : E3E ∗ 1 und ∇ · ε · E2 = −∇ · χ (2) : E3E ∗ 1<br />
∆E3 − ∇∇ · E3 + ω2 3<br />
c 2 ε · E3 = − ω2 3<br />
c 2 χ(2) : E1E2 und ∇ · ε · E3 = −∇ · χ (2) : E1E2.<br />
In den Gleichungen <strong>für</strong> E1(r, t) bzw. E2(r, t), E3(r, t) läßt sich jeweils der Faktor exp {−iω1t} bzw.<br />
exp {−iω2t}, exp {−iω3t} kürzen, sodaß die Gleichungen auch <strong>für</strong> E1(r, ω1) bzw. E2(r, ω2), E3(r, ω3)<br />
gelten.
Exkurs über lineare Abhängigkeit<br />
Def.: Die N Funktionen f1(x), f2(x), . . .fN(x) sind linear unabhängig,<br />
N�<br />
wenn aus anfn(x) ≡ 0 folgt a1 = 0, a2 = 0, . . .an = 0, sonst linear abhängig.<br />
f (N−1)<br />
1<br />
n=1<br />
Dies lässt sich mit der Wronski-Determinante entscheiden, denn es gilt<br />
�<br />
� f1 f2 · · · fN �<br />
� f<br />
W = �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
′ 1 f ′ 2 · · · f ′ �<br />
�<br />
��<br />
N �<br />
. . .<br />
. . ..<br />
. � = 0, falls f1 . . .fN linear abhängig sind,<br />
�<br />
. � �= 0, falls f1, . . .fN linear unabhängig sind.<br />
�<br />
f (N−1)<br />
2 · · · f (N−1)<br />
N<br />
Bei der Anwendung auf f1(t) = exp {iω1t} und f3(t) = exp {iω3t} ergibt die Wronski-Determinante<br />
W =<br />
und f1 und f3 sind <strong>für</strong> ω1 �= ω3 linear unabhängig.<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� f1<br />
�<br />
f3 �<br />
�<br />
iω1f1 iω3f3<br />
� = i(ω3 − ω1)f1f3 �= 0 <strong>für</strong> ω1 �= ω3,
4.3 Bestimmung der zweiten Harmonischen<br />
Bei Einstrahlung von zwei ebenen Transversalwellen E1 und E2 in z-Richtung e � = (0, 0, 1), die auch<br />
die optische Achse sein soll, nimmt man <strong>für</strong> die zweite Harmonische |E3| ≪ |E1|, |E2| an<br />
E1(z, t) = n1E10 exp � i(k1z − ω1t) � mit n1 · e � = 0<br />
E2(z, t) = n2E20 exp � i(k2z − ω2t) � mit n2 · e � = 0<br />
und ε =<br />
⎛<br />
⎝ ε⊥ 0 0<br />
0 ε⊥ 0<br />
0 0 ε �<br />
Die elektrische Feldstärke der zweiten Harmonischen wird in einen longitudinalen Anteil in z-Richtung<br />
und einen transversalen Anteil senkrecht dazu aufgespalten mit |n1| = |n2| = |e �| = |e⊥| = 1 und<br />
e⊥ = (e1, e2, 0), und der Folge e⊥ · e � = 0 sowie e⊥ · ε · e � = 0<br />
E3(z, ω3) = E �(z, ω3)e � + E⊥(z, ω3)e⊥ mit ε · E3 = ε �E �(z, ω3)e � + ε⊥E⊥(z, ω3)e⊥.<br />
Zur Lösung der Differenzialgleichung <strong>für</strong> E3(z, ω3)<br />
∆E3 − ∇∇ · E3 + ω2 3<br />
c 2 ε · E3 = − ω2 3<br />
c 2 χ(2) : E1E2 und ∇ · ε · E3 = −∇ · χ (2) : E1E2<br />
multiplizieren wir <strong>für</strong> die Transversalkomponente mit e⊥ und erhalten zunächst<br />
e⊥ · ∆E3 = ∂2<br />
∂z 2 E⊥(z, ω3) und e⊥ · ∇∇ · E3 = 0 sowie e⊥ · ε · E3 = ε⊥E⊥(z, ω3).<br />
⎞<br />
⎠ .
Daraus findet man mit den Abkürzungen k 2 = ω2 3ε⊥<br />
c 2 und χ (2)<br />
⊥ = e⊥ · χ (2) : n1n2<br />
� ∂ 2<br />
+ k2<br />
∂z2 �<br />
E⊥(z, ω3) = − ω2 3<br />
χ(2)<br />
c2 ⊥ E10E20 exp � i(k1 + k2)z � .<br />
Entsprechend ergibt sich aus der Differenzialgleichung <strong>für</strong> E3<br />
∆E3 − ∇∇ · E3 + ω2 3<br />
c 2 ε · E3 = − ω2 3<br />
c 2 χ(2) : E1E2 und ∇ · ε · E3 = −∇ · χ (2) : E1E2<br />
nach Multiplikation mit e� der longitudinale Anteil wegen<br />
e � · ∆E3 = ∂2<br />
∂z 2E �(z, ω3) und e � · ∇∇ · E3 = ∂2<br />
∂z 2 E �(z, ω3) und e � · ε · E3 = ε �E � zu<br />
E�(z, ω3) = − 1<br />
χ<br />
ε� (2)<br />
� E10E20 exp � i(k1 + k2)z � mit χ (2)<br />
� = e� · χ (2) : n1n2.<br />
Die Poisson-Gleichung liefert das gleiche Ergebnis <strong>für</strong> die longitudinale Komponente<br />
ε �<br />
∂<br />
∂z E �(z, ω3) = − ∂<br />
∂z χ(2)<br />
� E10E20 exp � i(k1 + k2)z � .<br />
Es zeigt sich, dass die Transversalkomponente E⊥(z, ω3) mit der Eindringtiefe z zunimmt, und damit<br />
die größere Strahlungsintensität liefert.
Zur Lösung der Differenzialgleichung <strong>für</strong> E⊥(z, ω3) machen wir einen Ansatz einer ebenen Welle mit<br />
schwach veränderlicher Amplitude F(z, ω3) im Bereich einer Wellenlänge λ = 2π/k<br />
Einsetzen in<br />
E⊥(z, ω3) = F(z, ω3) exp {ikz} mit<br />
� ∂ 2<br />
∂z<br />
2 + k2<br />
liefert wegen ∂2<br />
∂z 2 E⊥ =<br />
oder<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂F<br />
∂z<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
F(z, ω3)<br />
≈ |∆F |<br />
|∆z| ≪<br />
�<br />
� F(z, ω3) � �<br />
λ<br />
exp {ikz} = exp<br />
�<br />
E⊥(z, ω3) = − ω2 3<br />
χ(2)<br />
c2 ⊥ E10E20 exp � i(k1 + k2)z �<br />
� 2 ∂ F<br />
∂z2 − k2F + 2ik ∂F<br />
�<br />
exp {ikz}<br />
∂z<br />
� 2 ∂<br />
+ k2�E⊥<br />
= exp {ikz}<br />
∂z2 ∂<br />
�<br />
∂F<br />
∂z ∂z<br />
2ik<br />
∂F(z, ω3)<br />
∂z<br />
�<br />
+ 2ikF<br />
≈ 2ik ∂F<br />
∂z<br />
= � � F(z, ω3) � � k<br />
2π .<br />
z<br />
�<br />
i2π z<br />
�<br />
λ<br />
exp {ikz}<br />
= − ω2 3<br />
χ(2)<br />
c2 ⊥ E10E20 exp {iKz} mit K = k1 + k2 − k.
Wir setzen z = 0 an der Oberfläche des Kristalles, an der die ebenen Wellen E1 und E2 in den Kristall<br />
eintreten, sodass dort E3(0, ω3) = 0 ist. Dann ergibt sich aus der Anfangsbedingung F(0, ω3) = 0 die<br />
Lösung der Differenzialgleichung<br />
F(z, ω3) = ω2 3 χ(2)<br />
⊥ E10E20<br />
c 2 2k<br />
= ω2 3 χ(2)<br />
⊥ E10E20<br />
c 2 2k<br />
�z<br />
exp {iKz} �<br />
�<br />
K �<br />
0<br />
2i sin � �<br />
Kz<br />
2 exp<br />
K<br />
= ω2 3 χ(2)<br />
⊥ E10E20<br />
c22k �<br />
i Kz<br />
�<br />
2<br />
exp {iKz} − 1<br />
K<br />
mit K = k1 + k2 − k.<br />
Damit ergibt sich die Intensität der Strahlung der Transversalkomponente der elektrischen Feldstärke<br />
der erzeugten zweiten Harmonischen E⊥(z, ω3) mit der Frequenz ω3 senkrecht zur Ausbreitungsrichtung<br />
bzw. der z-Achse aufgrund der zeitlichen und räumlichen Mittelung wegen ε = n 2 ε0 = c2<br />
v 2ε0 und<br />
vk = ω3<br />
I⊥ = vε � |E⊥| 2� = v c2 1<br />
ε0<br />
v2 2<br />
� 2 ω3 2kc2 �2 �<br />
χ (2)<br />
⊥ E10E20<br />
�2 z 2<br />
� � �<br />
Kz sin<br />
d.h. die Intensität der erzeugten Strahlung mit der Kreisfrequenz ω3 = ω1 + ω2<br />
nimmt <strong>für</strong> K = 0 wegen lim<br />
x→0<br />
I⊥ = ε0<br />
8c 2<br />
� sinx<br />
x<br />
� 2<br />
ω 3 3<br />
k<br />
�<br />
χ (2)<br />
⊥ E10E20<br />
�2 z 2<br />
� �<br />
Kz sin 2<br />
Kz<br />
2<br />
�<br />
� 2<br />
2<br />
Kz<br />
2<br />
= 1 mit der durchstrahlten Strecke z im Kristall zu.<br />
� 2<br />
,
Die Intensität der zweiten Harmonischen oszilliert mit der Eindringtiefe z in den Kristall, besitzt ein<br />
Maximum bei K = k1 + k2 − k = 0 oder k = k1 + k2 und hat Nullstellen bezüglich K, was den<br />
Impulssatz der Photonen wiederspiegelt.<br />
Ist d die Dicke des durchstrahlten Kristalles und ϑ der Einfallswinkel bei schrägem Einfall zur<br />
optischen oder z-Achse, so ist die durchstrahlte Strecke im Kristall z = d/ cosϑ und die Intensität I⊥<br />
hängt vom Einfallswinkel ab<br />
ϑ<br />
I⊥(ϑ) = ε0<br />
8c 2<br />
d<br />
ω 3 3<br />
k<br />
�<br />
χ (2)<br />
⊥ E10E20<br />
� � �<br />
2 4 Kd<br />
sin2 .<br />
K2 2 cosϑ<br />
opt. Achse<br />
z = d<br />
cos ϑ<br />
1<br />
−3π −2π −π 0<br />
� �<br />
sin x 2<br />
x<br />
π 2π<br />
x
5 Optische Fasern<br />
Moderne Hochgeschwindigkeitsleitungen der Telekommunikation arbeiten mit Trägerfrequenzen im op-<br />
tischen Bereich. Dazu betrachten wir unterschiedliche Glasfasertypen.<br />
5.1 Stufenprofilfasern<br />
Die Faser besteht aus einem inneren Kernbereich mit einem Brechungsindex n1 = 1.46, wobei<br />
der Quarz SiO2 mit GeO2 oder P2O5 (Phosphorpentoxid) dotiert ist, und einem äußeren Mantelbe-<br />
reich mit niedrigerem Brechungsindex n2 = 1.45, was durch eine Dotierung mit F erreicht wird. Für<br />
die Totalreflexion an der Grenzfläche muss der Öffnungswinkel γ klein sein γ < 90◦ − ϑT mit dem<br />
Grenzwinkel der Totalreflexion ϑT, der sich aus<br />
sinϑT = n2<br />
n1<br />
= 1.45<br />
1.46<br />
zu 90 ◦ − ϑT = 6.7 ◦<br />
ergibt. Für die verschiedenen Neigungswinkel eines eintretenden Strahles ergeben sich jedoch unter-<br />
schiedliche Laufzeiten über eine feste Strecke, was auch als Modenlaufzeitdispersion bezeichnet wird.<br />
n1<br />
n2
Die Durchmesser 2a des inneren Teils der Faser reichen von 3 µm bis 50 µm bei einem Außenradius<br />
von 80 µm, und die Wellenlängen des Lichtes an den Minima des Absorptionskoeffizienten betragen<br />
λ = 1.3 µm oder λ = 1.55 µm.<br />
Ist λ nicht mehr klein gegen a, müssen die optischen Randbedingungen der Lösungen der Wellen-<br />
gleichung berücksichtigt werden. Löst man die Wellengleichung <strong>für</strong> die elektrische Feldstärke E(r, t)<br />
mit einem orts- und frequenzabhängigen Brechungsindex n(r, ω)<br />
�<br />
∆ − n2 (r, ω)<br />
c2 ∂2 ∂t2 �<br />
E(r, t) = 0<br />
bzw. in Zylinderkoordinaten<br />
� 2 ∂ 1 ∂<br />
+<br />
∂r2 r ∂r<br />
+ 1<br />
r 2<br />
∂2 ∂2<br />
+<br />
∂ϕ2 ∂z2 �<br />
E − n2 (r, ω)<br />
c2 ∂2 ∂t2E = 0 mit r =<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎞<br />
x = r cosϕ<br />
y = r sinϕ ⎠<br />
z<br />
mit dem Ansatz ebener Wellen in z- oder Faserrichtung und der Wellenzahl k = 2π/λ<br />
�<br />
< ∞ <strong>für</strong> r = 0;<br />
E(r, t) = Rm(r) exp {imϕ} exp {ikz}exp {−iωt} mit Rm(r) =<br />
0 <strong>für</strong> r = ∞,<br />
mit der Randbedingung, so erhält man eine Eigenwertgleichung <strong>für</strong> die Radialfunktionen Rm(r) mit<br />
den von m abhängigen Eigenwerten k 2 (siehe Besselsche Differenzialgleichung und Zylinderfunktionen<br />
bzw. Bessel-Funktionen)<br />
� ∂ 2<br />
1<br />
+<br />
∂r2 r<br />
∂<br />
∂r<br />
− m2<br />
r 2 + n2 (r, ω)<br />
c 2 ω 2<br />
�<br />
Rm(r) = k 2 Rm(r).
Die diskreten Eigenwerte kνm mit ν = 0, 1, 2, . . . hängen von n 2 (r, ω) ab, hier also vom Radius a des<br />
Innenbereiches. Ist k kleiner als der tiefste Eigenwert k < k00 gibt es keine solchen ungedämpften<br />
Wellen.<br />
• Ist bei kleinem Durchmesser des Innenbereiches bei a = 2.5 µm und λ = 1.5 µm nur die tiefste<br />
Mode mit k00 möglich, spricht man von Einmodenfasern.<br />
• Bei größeren Durchmessern a = 25µm sind dagegen mehrere Moden kνm möglich, und man spricht<br />
von Vielmodenfasern.<br />
5.2 Gradientenfasern<br />
Bei Gradientenfasern nimmt der Brechungsindex im Kernbereich quadratisch mit dem Radius ab.<br />
In Zylinderkoordinaten mit z in Faserrichtung<br />
⎛ ⎞<br />
x = r cosϕ<br />
r : ⎝ y = r sinϕ ⎠<br />
z<br />
n0<br />
n(r)<br />
hat der Brechungsindex n(r) <strong>für</strong> r ≤ a die Gestalt<br />
�<br />
n(r) = n0 1 − b r2<br />
a2 �<br />
mit b = n0 − n(a)<br />
.<br />
n0<br />
n(a)<br />
a R<br />
In der Praxis hat man z.B. mit einem Kernradius von a = 25 µm die Werte n0 = 1.475, n(a) = 1.457<br />
und b = 0.0122. Hängt der Brechungsindex auf diese Weise vom Radius ab, haben die gekrümmten<br />
Strahlen weiter außen eine höhere Geschwindigkeit und die Laufzeit hängt nicht mehr davon ab, wie<br />
groß der Eintrittswinkel des Strahles zur Faserachse ist.<br />
r
Die bei ortsabhängigem Brechungsindex n(r) gekrümmten Strahlen lassen sich in Abhängigkeit vom<br />
Eintrittswinkel γ mit Hilfe der Strahlendifferenzialgleichung berechnen<br />
d<br />
ds<br />
�<br />
n(r) dr<br />
�<br />
ds<br />
= ∇n(r),<br />
wobei r(s) die Strahlenkurve und s die Bogenlänge bezeichnen.<br />
Zur Berechnung betrachten � � wir achsennahe Strahlen mit kleinem Eintrittswinkel und ϕ = 0 in<br />
�<br />
der x-z-Ebene, sodass �<br />
dx�<br />
�<br />
�dz<br />
� = | tanγ| ≪ 1 und ds = � dx2 + dz2 ≈ dz gesetzt werden kann. Der<br />
Brechungsindex n(r) = n(r) ist unabhängig von z, und aus der Strahlendifferenzialgleichung folgt<br />
n(r) d2r dz2 = ∇n bzw. n(r)d2 x ∂n<br />
=<br />
dz2 ∂x<br />
= dn<br />
dr<br />
∂r<br />
∂x<br />
= −2n0b r<br />
a 2<br />
Setzt man auf der linken Seite n(r) ≈ n0 ein, erhält man die Differenzialgleichung<br />
d 2 x 2b<br />
+<br />
dz2 a2 x = 0 mit der Lösung x(z) = x0<br />
�√<br />
2b<br />
sin<br />
a z<br />
�<br />
x<br />
r<br />
= x0 sin<br />
= −2n0b x<br />
a 2.<br />
�<br />
2π z<br />
�<br />
,<br />
p<br />
wobei p = 2πa<br />
√ die Periode der Sinusfunktion bezeichnet. Sie beträgt p = 1 mm bei a = 25 µm und<br />
2b � �<br />
dx(z) 2π<br />
b = 0.0122. Verschiedene Eintrittswinkel γ ergeben dann wegen tanγ = = x0<br />
dz z=0 p die<br />
gleiche Periode <strong>für</strong> unterschiedliche Amplituden x0.
Zwei gekrümmte Bahnkurven mit verschiedenen Entrittswinkeln γ haben dann genähert die Form<br />
a<br />
Da alle Kurven mögliche Lichtstrahlen sind, benötigen sie nach dem Prinzip von Fermat die gleiche<br />
Laufzeit, sodass in dieser Näherung keine Laufzeitdispersion entsteht. Dies liegt daran, dass in den<br />
Außenbereichen die Lichtgeschwindigkeit größer ist als in den Nähe der Achse.<br />
Der maximale Eintrittswinkel γmax berechnet sich aus x0 = a und b = 1 − n(a)<br />
Zum Vergleich beträgt der<br />
tanγmax = 2π a<br />
p = √ 2b zu γmax = 8.9 ◦ .<br />
n0<br />
= 1 − 1.457<br />
1.475<br />
= 0.0122<br />
Öffnungswinkel ϑ eines Strahles vom Durchmesser d mit der Wellenlänge λ<br />
sin � 1<br />
2ϑ� = λ 3.8<br />
d 2π .<br />
Für λ = 1 µm und dem Durchmesser der Glasfaser d = 2a = 50 µm ergibt das ϑ = 1.4◦ .<br />
Zur Datenübertragung kann man die Phasenmodulation bzw. Frequenzmodulation verwenden, die mit<br />
Lithiumniobat Kristallen Li3NbO4 erreicht wird, bei denen eine Spannungsänderung von einigen Volt<br />
zur Änderung der Dispersion führt.
5.3 Strahlendifferenzialgleichung<br />
Für ein Dielektrikum ohne Ladungen ρ = 0 und Ströme j = 0, jedoch mit einer ortsabhängigen,<br />
skalaren Dielektrizitätskonstanten ε(r) mit D = ε(r)E und Permeabilität µ(r) mit B = µ(r)H ergibt<br />
sich ein ortsabhängiger und reeller Brechungsindex n(r)<br />
ε(r)µ(r) = n2 (r) 1<br />
=<br />
c2 v2 (r) ,<br />
der zu einer ortsabhängigen Lichtgeschwindigkeit v(r) im Medium führt. Die Feldgleichungen<br />
∇ × E = − ˙ B ; ∇ × H = ˙ D ; ∇ · B = 0 ; ∇ · D = 0<br />
ergeben wegen ∇ · D = ε∇ · E + E · ∇ε = 0 oder ∇ · E = −E · 1<br />
∇ε sowie<br />
ε<br />
und<br />
∇ × B = µ∇ × H − H × ∇µ = µε ˙ E − H × ∇µ = n2 (r)<br />
c 2<br />
�<br />
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∆E = −∇ E · 1<br />
ε ∇ε<br />
�<br />
eine modifizierte Wellengleichung<br />
˙E − H × ∇µ<br />
− ∆E = − n2 (r)<br />
c2 Ë + ˙ H × ∇µ<br />
∆E − n2 (r)<br />
c 2<br />
Ë = −∇(E · e) − ˙ H × ∇µ mit e = 1<br />
ε(r) ∇ε(r).
Wegen der Kleinheit von µ/µ0 wird ∇µ ≈ 0 gesetzt. Zur Abschätzung der rechten Seite der Wellen-<br />
gleichung betrachten wir eine ebene Welle der Form E = E0(t) exp {ik · r} der Wellenlänge λ = 2π/|k|,<br />
dann gilt ∇(E · e) = ikE · e + (∇e) · E und ∆E = −k 2 E mit k = |k|. Unter der Voraussetzung, dass<br />
sich der Brechungsindex n(r) im Bereich einer Wellenlänge λ nur wenig ändert<br />
denn es ist<br />
λ|∇n| ≪ n, gilt k|e| ≪ k 2 ,<br />
|e| = 1 1<br />
|∇ε| =<br />
ε n2 �<br />
� 2<br />
∇n � �<br />
2 2 n<br />
= |∇n| ≪<br />
n n λ<br />
= 2<br />
λ<br />
= k<br />
π .<br />
Daher kann der Term ∇(E·e) gegen ∆E in der Wellengleichung vernachlässigt werden, und man erhält<br />
wegen der Kleinheit von ∇e genähert die Wellengleichung mit ortsabhängigem Brechungsindex<br />
∆E − n2 (r)<br />
c2 Ë = 0.<br />
Der Lösungsansatz mit einer sich nur schwach ändernden Amplitude E0(r) ist mit k0 = ω<br />
c<br />
E(r, t) = E0(r) exp � − ik0S(r) � exp {iωt} mit dem reellen Eikonal S(r).<br />
= konst.<br />
Dabei beschreibt S(r) = konst. die Flächen gleicher Phase im Ortsraum, die im Falle n = konst. wegen<br />
S(r) = n k<br />
|k|<br />
· r, |k| = ω<br />
c<br />
c<br />
v = k0n und k · r = k0S(r) Ebenen senkrecht zum geradlinigen Strahl sind.
Zum Einsetzen des Ansatzes in die Wellengleichung berechnen wir zunächst die erste Ortsableitung<br />
einer beliebigen Komponente E = E0(r) exp � − ik0S(r) � exp {iωt} nach dem Ort r = (x, y, z)<br />
∂E<br />
∂x<br />
= −ik0<br />
und die zweite Ableitung ergibt<br />
∂2E = −ik0<br />
∂x2 ≈ −ik0<br />
∂S2 ∂<br />
E +<br />
∂x2 ∂x<br />
∂S 2<br />
∂x 2 E − k2 0<br />
∂S 1<br />
E +<br />
∂x E0<br />
� 1<br />
∂E0<br />
∂x<br />
E0<br />
�2 � ∂S<br />
∂x<br />
∂E0<br />
∂x<br />
E =<br />
�<br />
� �<br />
∂S<br />
E + −ik0<br />
∂x<br />
E − i2k0<br />
1<br />
E0<br />
∂E0<br />
∂x<br />
−ik0<br />
∂S<br />
∂x<br />
+ 1<br />
E0<br />
∂S<br />
∂x E,<br />
+ 1<br />
E0<br />
∂E0<br />
∂x<br />
��<br />
∂E0<br />
∂x<br />
−ik0<br />
�<br />
E,<br />
∂S<br />
∂x<br />
+ 1<br />
E0<br />
wobei zwei Terme vernachlässigt werden, die bei nur schwach veränderlicher Amplitude E0 klein sind.<br />
Damit erhält man aus der Wellengleichung mit reellem S(r)<br />
∆E − n2 (r)<br />
c 2<br />
Ë = ∆E + n2 (r)<br />
0 = −k 2 0<br />
� �∂S<br />
c2 ω2E = ∆E + k 2 0n2 (r)E = 0<br />
�2 �2 �2 ∂x<br />
+<br />
� ∂S<br />
∂y<br />
+<br />
� ∂S<br />
∂z<br />
− n 2 (r)<br />
�<br />
E − i2k0<br />
∂E0<br />
∂x<br />
�<br />
E<br />
� �<br />
1 1<br />
∆S + ∇E0 · ∇S E<br />
2 E0<br />
Da Real- und Imaginärteil getrennt verschwinden müssen, ergeben sich die Eikonalgleichungen<br />
(∇S) 2 = n 2 (r) und<br />
1<br />
E0<br />
∇E0 · ∇S = − 1<br />
2 ∆S.
Während die zweite Differenzialgleichung zur Bestimmung der Amplitude E0 dient, lässt sich die<br />
erste in die Strahlendifferenzialgleichung umformen. Sei t der Kurvenparameter der Kurve r(t) des<br />
Lichtstrahles bei ortsabhängigem Brechungsindex n(r), so gilt <strong>für</strong> die Bogenlänge s(t)<br />
s(t) =<br />
� t<br />
t0<br />
�<br />
� dr(t ′ ) � � =<br />
� t �<br />
�<br />
�<br />
�<br />
t0<br />
dr(t ′ )<br />
dt ′<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� dt′ mit<br />
ds(t)<br />
dt =<br />
Wird als Kurvenparameter die Bogenlänge s verwendet r = r(s), so gilt<br />
|t| = 1 mit dem Tangentenvektor t an die Strahlkurve.<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
dr(t)<br />
dt<br />
dr(s)<br />
ds<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� .<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
= 1 mit dr<br />
ds<br />
= t und<br />
Betrachtet man die Fläche eines konstanten Eikonals S(r) = konstant, die die Fläche gleicher<br />
Phase des Lichtstrahles ist, so ist ∇S(r) ↑↑ t und |∇S(r)| = n(r) nach der Eikonalgleichung. Also gilt<br />
∇S(r) = n(r)t = n(r) dr<br />
ds .<br />
Differenziert man diese Gleichung nach der Bogenlänge s als Kurvenparameter<br />
d dr<br />
∇S =<br />
ds ds<br />
1<br />
1<br />
· ∇∇S = ∇S · ∇∇S =<br />
n(r) 2n(r) ∇(∇S)2 = 1<br />
2n(r) ∇n2 (r) = ∇n(r),<br />
so folgt die Strahlendifferenzialgleichung<br />
d<br />
ds<br />
�<br />
n(r) dr<br />
�<br />
ds<br />
= ∇n(r).<br />
x<br />
z<br />
t<br />
r(s)<br />
S(r) = konst.<br />
y
5.4 Solitonen<br />
Stufenprofilfasern mit einem konstanten isotropen Brechungsindex im Innern können als Einmoden-<br />
fasern <strong>für</strong> einen engen Frequenzbereich ausgelegt werden, indem der innere Durchmesser z.B. a = 2.5µm<br />
und die Wellenlänge des Lichtstrahls z.B. λ = 1.5 µm betragen, sodass keine anderen Moden hin-<br />
durchtreten können. In solchen Fasern gibt es neben der besprochenen Wellenausbreitung mit einer<br />
Pulsverbreiterung durch Laufzeitdispersion bei hohen Lichtintensitäten noch eine andere Ausbreitungs-<br />
form durch Solitonen, wobei nichtlineare optische Effekte die dispersive Pulsverbreiterung kompen-<br />
sieren, was größere<br />
Übertragungsstrecken ermöglicht. Die Entstehung der Solitonen hängt mit dem<br />
elektro-optischen Kerr-Effekt zusammen, wonach elektrische Felder auch in isotropen dispersiven Me-<br />
dien eine Doppelbrechung verursachen können, was auf nichtlinearen optischen Effekten beruht.<br />
Ein Soliton ist ein stabiler, nichtlinearer optischer Puls, der nahezu unverändert die Faser durch-<br />
wandert, falls die Eingangsintensität des Lichtes über einer gewissen Mindestintensität liegt.<br />
Zur Herleitung in isotropen Medien ohne Ladungen ρ = 0 und Ströme j = 0 und ohne Mag-<br />
netisierung M = 0 und B = µ0H, geht man von der nichtlinearen dielektrischen Verschiebung<br />
D = ε0<br />
� ∞<br />
0<br />
ε1(t ′ )E(r, t − t ′ ) dt ′ + P NL (r, t) mit P NL (r, t) = ε0χ (3) ˙:EEE = ε0ε2|E| 2 E<br />
aus, vergl. Abschn. 4.1. Mit ∇ ·P NL ≈ 0 folgt aus ∇ ·D = 0 auch ∇ ·E = 0 und damit ergibt sich aus<br />
den Feldgleichungen ∇ × E = − ˙ B und ∇ × H = ˙ D<br />
∇ × (∇ × E) = −∆E = −µ0∇ × ˙ H = −µ0 ¨ D.
Die nichtlineare Wellengleichung ist die Ausgangsgleichung der nichtlinearen <strong>Optik</strong> in isotropen Medien<br />
∆E − 1<br />
c 2<br />
∂ 2<br />
∂t 2<br />
� ∞<br />
0<br />
ε1(t ′ )E(r, t − t ′ ) dt ′ = ε2<br />
c 2<br />
∂ 2<br />
∂t 2 |E|2 E.<br />
Wir verwenden einen Lösungsansatz in Zylinderkoordinaten r : ρ, ϕ, z mit |E0| = 1 unabhängig von ϕ<br />
E(ρ, z, t) = E0R(ρ)A(z, t) exp � i(kz − ωt) � mit r =<br />
⎛<br />
⎝<br />
⎞<br />
x = ρcosϕ<br />
y = ρsinϕ ⎠<br />
z<br />
mit nur schwacher zeitlicher und örtlicher Abhängigkeit der Solitonenamplitude A(z, t) innerhalb einer<br />
Schwingungsdauer T = 2π/ω bzw. Wellenlänge λ = 2π/k<br />
� 2π<br />
ω<br />
� 2 � ���<br />
∂ 2 A<br />
∂t 2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
≪ 2π<br />
ω<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂A<br />
∂t<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ≪ |A| und<br />
A(z, t)<br />
� 2π<br />
k<br />
� 2 � ���<br />
∂ 2 A<br />
∂z 2<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
exp � i(kz − ωt) �<br />
≪ 2π<br />
k<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂A<br />
∂z<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� ≪ |A|.<br />
z
Unter der Voraussetzung eines nur geringen Gedächtniseffektes der Dispersion wird die Solitonenamp-<br />
litude in eine Potenzreihe nach der Vergangenheit t ′ entwickelt, wobei t ′ = 0 kein Gedächtniseffekt<br />
bedeuten würde<br />
Wir verwenden die Abkürzungen<br />
A ˙ = ∂A<br />
∂t<br />
A(z, t − t ′ ) = A(z, t) − t ′ ˙ A(z, t) + 1<br />
2 t′2 Ä(z, t).<br />
; Ä = ∂2A ∂t2 ; A ′ = ∂A<br />
∂z<br />
; A ′′ = ∂2A ,<br />
∂z2 und erhalten <strong>für</strong> den Solitonenansatz E(ρ, z, t) = E0R(ρ)A(z, t) exp � i(kz − ωt) � wegen<br />
<strong>für</strong> die Ortsableitung<br />
∆ = ∂2 1<br />
+<br />
∂ρ2 ρ<br />
∂<br />
∂ρ<br />
+ 1<br />
ρ 2<br />
∂2 ∂2<br />
+<br />
∂ϕ2 ∂z2 ∆E = E0 exp � i(kz − ωt) �� A∆ρR + RA ′′ − k 2 RA + i2kRA ′� mit ∆ρ = ∂2 1<br />
+<br />
∂ρ2 ρ<br />
Für den nichtlinearen Term in der Wellengleichung findet man unter Vernachlässigung von ∂ � � 2<br />
|A| A<br />
∂t<br />
ε2<br />
c 2<br />
∂ 2<br />
∂t 2 |E|2 E = ε2<br />
c2E0 � �<br />
�R(ρ) �2 � �� � 2 2<br />
R(ρ) exp i(kz − ωt) − ω |A| A .<br />
∂<br />
∂ρ .
Zur Berechnung des linearen Integralterms benützen wir die Abkürzungen<br />
� ∞<br />
ε(ω) = ε1(t ′ ) exp {iωt ′ } dt ′<br />
;<br />
ε ′ (ω) = ∂ε(ω)<br />
� ∞<br />
= i<br />
∂ω 0<br />
� ∞<br />
0<br />
ε ′′ (ω) = ∂2ε(ω) = −<br />
∂ω2 und erhalten bei Vernachlässigung von Termen mit ∂3A ∂t3 und ∂4A ∂t4 � ∞<br />
∂ 2<br />
∂t 2<br />
0<br />
ε1(t ′ )E(r, t − t ′ ) dt ′ =<br />
= ∂2<br />
∂t2E0R(ρ) exp � i(kz − ωt) ��<br />
ε(ω)A + iε ′ (ω) ˙ A − 1<br />
2 ε′′ (ω) Ä)<br />
�<br />
= E0R(ρ) exp � i(kz − ωt) ��<br />
0<br />
t ′ ε1(t ′ ) exp {iωt ′ } dt ′<br />
t ′2 ε1(t ′ ) exp {iωt ′ } dt ′<br />
− ω 2 εA − iω 2 ε ′ A ˙<br />
ω<br />
+ 2<br />
2 ε′′ Ä − i2ωε ˙ A + 2ωε ′ Ä + εÄ Zusammen erhält man aus der nichtlinearen Wellengleichung mit dem Solitonenansatz<br />
A∆ρR + RA ′′ − k 2 RA + i2kRA ′ + ω2 ω<br />
εRA + i<br />
c2 c2 (2ε + ωε′ )R ˙ A − 1<br />
c2 �<br />
ε + 2ωε ′ + 1<br />
2 ω2ε ′′�<br />
RÄ = − ε2<br />
c2 ω2 |R| 2 R|A| 2 A,<br />
wobei sich die in A linearen Terme in der linearen Näherung zu Null addieren, vergl. Abschn. 5.1<br />
�<br />
A<br />
∆ρ − k 2 + ω2<br />
ε<br />
c2 �<br />
R = 0.<br />
�<br />
.
Also erhält man aus dem Ansatz die von der linearen Lösung unabhängige Solitonenlösung der nicht-<br />
linearen <strong>Optik</strong> der restlichen Terme<br />
RA ′′ + i2kRA ′ + i ω<br />
c2 (2ε + ωε′ )R ˙ A − 1<br />
c2 �<br />
ε + 2ωε ′ + 1<br />
2 ω2ε ′′�<br />
RÄ = −ε2<br />
c2 ω2 |R| 2 R|A| 2 A.<br />
Wir eliminieren die Radialfunktion R(ρ) durch Mittelung über den Faserquerschnitt und verwenden<br />
die Abkürzungen<br />
�<br />
4 |R(ρ)| �<br />
α =<br />
und erhalten<br />
ρ<br />
� |R(ρ)| 2 �<br />
ρ<br />
mit<br />
� |R(ρ)| 2 �<br />
ρ =<br />
� ρmax<br />
0<br />
|R(ρ)| 2 d 2 ρ =<br />
� ρmax<br />
|R(ρ)| 2 ρdρ<br />
A ′′ + i2kA ′ + i ω<br />
c2 (2ε + ωε′ ) ˙ A − 1<br />
c2 (ε + 2ωε′ + 1<br />
2 ω2ε ′′ ) Ä = −ε2<br />
c2 ω2α|A| 2 A.<br />
Im Falle der tiefsten Mode der linearen Lösung, d.h. der Besselschen Differenzialgleichung, erhält man<br />
die Dispersionsbeziehung mit der Gruppengeschwindigkeit v<br />
und man findet<br />
k 2 = ω2<br />
c 2 ε(ω) und k′ = dk<br />
dω<br />
dk 2<br />
dω = 2kk′ = ω<br />
c 2(2ε + ωε′ ) und<br />
= 1<br />
v<br />
0<br />
mit ε = c2<br />
v 2 und ω = vk,<br />
� 2π<br />
0<br />
dϕ<br />
d<br />
dω (kk′ ) = k ′2 + kk ′′ = 1<br />
c 2 (ε + 2ωε′ + 1<br />
2 ω2 ε ′′ ).
Die Differenzialgleichung lautet dann bei schwach veränderlicher Solitonenamplitude A(z, t)<br />
1<br />
�<br />
A<br />
2k<br />
′′ − 1<br />
v2Ä �<br />
= 1<br />
2 k′′ �<br />
Ä − i<br />
�<br />
A<br />
A ′ + 1<br />
v ˙<br />
− ε2<br />
c 2<br />
ω 2<br />
2k α|A|2 A ≈ 0,<br />
denn es ist aufgrund der eingeführten Näherungsannahmen<br />
1<br />
�<br />
�<br />
�<br />
k<br />
∂A′<br />
�<br />
�<br />
� ≪ |A<br />
∂z<br />
′ 1<br />
�<br />
�<br />
| und �<br />
vk<br />
∂ A˙<br />
�<br />
�<br />
� ≈<br />
∂t v<br />
1<br />
�<br />
�<br />
�<br />
ω<br />
∂ A˙<br />
� �<br />
� �<br />
� ≪ �<br />
∂t v<br />
˙ A<br />
�<br />
�<br />
�.<br />
v<br />
Bei Einführung dimensionsloser Variabler A(z, t) = |A0|B(ζ, τ), sowie<br />
τ = t<br />
t0<br />
− z<br />
vt0<br />
und ζ = z<br />
z0<br />
mit t 2 0 = −k ′′ z0 und<br />
1<br />
z0<br />
= ε2 2<br />
kα|A0|<br />
2ε<br />
erhält man <strong>für</strong> die rechte Seite eine Differenzialgleichung ähnlich der Schrödinger-Gleichung<br />
i ∂B<br />
∂ζ<br />
1 ∂<br />
+<br />
2<br />
2B ∂τ 2 + |B|2B = 0.<br />
Die Lösung lautet mit einer dimensionslosen Amplitude q0 und sechx = 1<br />
coshx =<br />
B(ζ, τ) = q0 sech � q0(τ − ϑ) � exp<br />
mit den dimensionslosen freien Parametern ϑ und δ.<br />
� �<br />
1<br />
i<br />
2 q2 �<br />
0ζ + δ<br />
�<br />
,<br />
2<br />
exp {x} + exp {−x}
Also erhält man die Solitonenlösung<br />
E(r, t) = E0R(ρ)|A0|q0 sech<br />
� q0<br />
t0<br />
�<br />
t − z<br />
v<br />
�<br />
− t0ϑ<br />
� � � 2 q<br />
�<br />
0<br />
exp i z + δ<br />
2z0<br />
�<br />
exp � i(kz − ωt) � .<br />
Die Solitonenlösung hat an den Stellen gleicher Phase q0τ = q0 � z �<br />
t − = φ einen festen Wert und<br />
t0 v<br />
� 2 q<br />
�<br />
0<br />
ist im Ortsraum periodisch cos z + δ , aber ungedämpft, und q0 bestimmt die Amplitude der<br />
2z0<br />
Solitonenlösung. Die Halbwertsbreite der Pulskurve sechx beträgt 2.63 und bestimmt die Pulsdauer<br />
tPD = 2.63 t0<br />
q0<br />
an einem festen Ort. Die Pulsdauer ist umso kleiner, je größer die Amplitude q0 ist, was<br />
die Selbstphasenmodulation der Solitonen bei hohen<br />
�<br />
Intensitäten<br />
�<br />
verursacht.<br />
q0<br />
sech t<br />
Das Soliton bewegt sich also ungedämpft mit der Gruppengeschwindigkeit v durch das nichtlineare<br />
isotrope Medium, ist im Ortsraum periodisch, und hat an einem festen Ort den zeitlichen Verlauf eines<br />
Pulses sech �q0<br />
t � exp {−iωt}, und entsteht erst bei einer Mindestintensität der in die Faser eintetenden<br />
t0<br />
Strahlung. Die Wellenlänge im Ortsraum wird durch q2 0 /z0 und die Phase durch δ bestimmt.<br />
Die Daten <strong>für</strong> Quarz SiO2 <strong>für</strong> die Solitonen sind λ = 2π<br />
k = 1.5 µm, z0 = 1 km, t0 = 3 ps und<br />
|A0|q0 = 2 · 106 Vm−1 .<br />
t0<br />
q0<br />
t0<br />
t
6 Teilchenzahlformalismus<br />
Quantenmechanische Systeme aus N identischen Massenpunkten, z.B. Elektronen, werden in einem<br />
N-Teilchen-Hilbert-Raum als Produktraum aus N Einteilchen-Hilbert-Räumen beschrieben<br />
H (N) = H1 ⊗ H2 ⊗ . . . ⊗ HN.<br />
Ist dann ψν1 (x 1 ) ∈ H1 eine Basis in H1 mit 〈ψν|ψµ〉 = δνµ und x 1 = (r1,s1) die Konfigurationskoor-<br />
dinate <strong>für</strong> ein Teilchen, so bilden die Produkte aus N Einteilchen-Basisfunktionen<br />
eine Basis in H (N) .<br />
Ψν1ν2...νN(x 1, x 2, . . .x N) = ψν1(x 1)ψν2(x 2) . . .ψνN(x N)<br />
Nach dem Pauli-Prinzip sind jedoch als Zustände nur solche Elemente von H (N) erlaubt, die bei<br />
Bosonen symmetrisch und bei Fermionen antisymmetrisch bezüglich der Vertauschung zweier Teilchen<br />
sind. Beschreibt man also die Zustände aus Produkten von Einteilchenfunktionen, sind aufwendige<br />
Symmetrisierungen bzw. Antisymmetrisierungen erforderlich, weil die nach dem Pauli-Prinzip unun-<br />
terscheidbaren Teilchen zunächst nummeriert werden, was anschließend korrigiert werden muss.<br />
Eine andere Darstellungsmöglichkeit, nämlich die der Teilchenzahlzustände, besteht darin, nur die<br />
Anzahl der Teilchen anzugeben, die sich in einem bestimmten Einteilchenzustand befinden.
6.1 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren<br />
Sei nν die Anzahl der Teilchen, die sich im gegebenen Einteilchenzustand ψν(x) befinden, so ist ein<br />
N-Teilchen-Zustand durch Angabe aller nν vollständig beschrieben |n1n2n3 . . .〉, und es gilt<br />
|n1n2 . . .〉 =<br />
�<br />
N!<br />
∞�<br />
�−1/2 �<br />
nρ!<br />
ρ=1<br />
P ∈S<br />
(±1) p TP<br />
� ψν1(1) . . .ψνN(N) � mit<br />
∞�<br />
nν = N.<br />
Hier bezeichnet TP den Permutationsoperator im Hilbert-Raum H (N) , der eine bestimmte Permuta-<br />
tion P der Teilchenummern erzeugt, und an Stelle von x ν wurde vereinfacht nur ν geschrieben. Die<br />
Summe läuft über alle N! Permutationen P der Permutationsgruppe S und p bezeichnet die Anzahl<br />
der Zweiervertauschungen, die P in das Einselement überführen.<br />
Bei Fermionen ist nach dem Pauli-Prinzip nν = 0 oder 1, und bei Bosonen eine natürliche Zahl<br />
oder Null.<br />
Mit dem Normierungsfaktor gilt die Orthonormalitätsrelation der Teilchenzahlzustände<br />
〈n 1 n 2 . . . |n ′ 1 n′ 2 . . .〉 = δn 1 n ′ 1 δn 2 n ′ 2<br />
die den irreduziblen Teilraum von H (N) aufspannen, der alle möglichen physikalischen Zustände enthält.<br />
. . .,<br />
ν=1
Um quantenmechanische Systeme mit Teilchenzahlzuständen berechnen zu können, ist es erforderlich,<br />
die Anwendung von Operatoren auf die Teilchenzahlzustände zu kennen. Die selbstadjungierten N-<br />
Teilchen-Operatoren, die physikalischen Observablen zugeordnet sind, lassen sich aus einer Summe von<br />
Einteilchen- und Zweiteilchen-Operatoren zusammensetzen:<br />
mit B(i, j) = B(j, i) und es gilt<br />
N�<br />
A(j)|n1n2 . . .〉 =<br />
j=1<br />
Dabei bezeichnen a +<br />
λ und a λ<br />
H(1, 2, . . .N) =<br />
1...∞ �<br />
λ,µ<br />
N�<br />
j=1<br />
A(j) + 1<br />
2<br />
1...N �<br />
i,j<br />
i�=j<br />
B(i, j)<br />
Aλµa +<br />
λ a µ |n1n2 . . .〉 mit Aλµ = 〈ψλ|A|ψµ〉.<br />
sogenannte Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, die durch<br />
a λ |n1n2 . . . nλ . . .〉 = √ nλ |n1n2 . . .nλ − 1 . . .〉<br />
a +<br />
λ |n1n2 . . . nλ . . .〉 = √ nλ + 1 |n1n2 . . .nλ + 1 . . .〉<br />
definiert sind. Hierbei ist a +<br />
λ der zu aλ adjungierte Operator mit � a +<br />
λ<br />
a +<br />
λ a λ|n1n2 . . .nλ . . .〉 = nλ|n1n2 . . .nλ . . .〉<br />
� + = aλ und wegen<br />
liefert der Teilchenzahloperator ˆ N die Anzahl der Teilchen N jedes Zustandes<br />
∞�<br />
∞�<br />
ˆN =<br />
nλ|n1n2 . . .〉 = N|n1n2 . . .〉.<br />
λ=1<br />
a +<br />
λ a λ mit ˆ N|n1n2 . . .〉 =<br />
λ=1
Es gelten ferner die Vertauschungsrelationen <strong>für</strong> Bosonen mit dem Kommutator [A, B] = AB − BA<br />
[a λ , a + µ ] = δλµ1 ; [aλ, aµ] = 0 = [a +<br />
λ , a+ µ ].<br />
Im Falle von Fermionen gilt entsprechend mit dem Antikommutator {A, B} = AB + BA<br />
{a λ, a + µ } = δλµ1 ; {aλ, aµ} = 0 = {a +<br />
λ , a+ µ } mit der Folge<br />
� � + 2<br />
a λ = 0 und nλ = 0, 1.<br />
Der Zweiteilchenoperator, ausgedrückt durch die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, lautet<br />
1<br />
2<br />
1...N �<br />
i,j<br />
i�=j<br />
B(i, j)|n1n2 . . .〉 = 1<br />
2<br />
1...∞ �<br />
λ,µ,ν,ρ<br />
mit den Matrixelementen der Zweiteilchenwechselwirkung<br />
Bλµνρa +<br />
λ a+ µ a ν a ρ |n1n2 . . .〉<br />
Bλµνρ = � ψλ(1)ψµ(2) � � B(1, 2) � �ψν(2)ψρ(1) � .<br />
Wählt man speziell die Eigenfunktionen von A als Basis im Einteilchen-Hilbert-Raum, so gilt<br />
A(1)ψν(1) = ενψν(1) mit Aλµ = 〈ψλ|A|ψµ〉 = ελδλµ,<br />
und der Hamilton-Operator hat die einfachere Form<br />
ˆH =<br />
∞�<br />
λ=1<br />
ε λ a +<br />
λ a λ<br />
+ 1<br />
2<br />
1...∞ �<br />
λ,µ,ν,ρ<br />
Bλµνρa +<br />
λ a+ µ a ν a ρ .
Der Zustand |0〉 = |00 . . .〉 <strong>für</strong> die Teilchenzahl N = 0 wird Vakuum-Zustand genannt und es gilt<br />
speziell <strong>für</strong> Bosonen (und auch <strong>für</strong> Photonen)<br />
a +<br />
λ |0〉 = |00 . . .10 . . .〉<br />
a λ|0〉 = 0|0〉<br />
;<br />
a +<br />
λ |00 . . .10 . . .〉 = √ 2|00 . . .20 . . .〉<br />
a λ |00 . . .10 . . .〉 = |0〉.<br />
Die Teilchenzahlzustände kann man durch Erzeugungsoperatoren und das Vakuum ausdrücken<br />
|n1n2 . . .〉 =<br />
1<br />
√ n1!n2! . . . (a+ 1 )n1 (a + 2 ) n2 . . . |0〉.<br />
Wenn die Anzahl N der Teilchen erhalten bleiben soll, müssen die Operatoren der Observablen<br />
eine gleiche Anzahl von Erzeugungs- wie Vernichtungsoperatoren aufweisen, wie das bei dem Hamilton-<br />
Operator der Fall ist. Die Anwendung einzelner Erzeugungs- oder Vernichtungsoperatoren bildet jedoch<br />
einen Teilchenzahlzustand mit N Teilchen auf einen mit veränderter Teilchenzahl ab. Die Erzeugungs-<br />
und Vernichtungsoperatoren sind deshalb in einem verallgemeinerten Hilbert-Raum, dem Fock-Raum<br />
HF definiert, der aus der orthogonalen Summe aller N-Teilchen-Hilbert-Räume besteht<br />
HF = H (0) ⊕ H (1) ⊕ H (2) ⊕ . . . ⊕ H (N) ⊕ . . ..<br />
Die Operatoren physikalischer Observabler sind unabhängig von der Teilchenzahl und somit im ganzen<br />
Fock-Raum definiert. Dieser enthält auch den Vakuum-Zustand |0〉 mit 〈0|0〉 = 1, der den eindimen-<br />
sionalen Hilbert-Raum H0 aufspannt.
6.2 Feldoperatoren<br />
Der im vorigen Abschnitt eingeführte Teilchenzahlformalismus gestattet die Berechnung quantenmecha-<br />
nischer Systeme mit N-Teilchen-Zuständen aus diskreten Einteilchenzuständen. Der Formalismus lässt<br />
sich weiter verallgemeinern und vereinfachen, indem Operatoren zu beliebigen Einteilchenzuständen<br />
betrachtet werden.<br />
Geht man von einer Basis, also einem vollständigen Orthonormalsystem ψν(x) ∈ H (1)<br />
im Einteilchen-Hilbert-Raum H (1) aus, so lässt sich jedes Element ψ(x) ∈ H (1) danach entwickeln<br />
ψ(x) = �<br />
�<br />
ψν(x)〈ν|ψ〉 mit 〈ν|ψ〉 =<br />
ν<br />
ψ ∗ ν(x)ψ(x) dτ,<br />
wobei dτ ein Volumenelement im Konfigurationsraum eines Teilchens ist und x einen Vektor in diesem<br />
Konfigurationsraum bezeichnet. Mit Hilfe der Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren a ν , a + ν<br />
<strong>für</strong> ein<br />
Teilchen im Zustand ψν(x) werden Feldoperatoren in Form von Vernichtungs-und Erzeugungsopera-<br />
toren ˆ ψ(x), ˆ ψ + (x) <strong>für</strong> ein Teilchen in einem beliebigen Zustand ψ(x) ∈ H (1) definiert<br />
ˆψ(x) = �<br />
�<br />
ψν(x)aν mit aν =<br />
ν<br />
ˆψ + (x) = �<br />
ν<br />
ψ ∗ ν (x)a+ ν mit a+ ν =<br />
�<br />
ψ ∗ ν (x) ˆ ψ(x) dτ<br />
ψν(x) ˆ ψ + (x) dτ,<br />
wobei die Feldoperatoren im Fock-Raum zur Unterscheidung mit einem Dach versehen wurden.
Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren ergeben sich direkt aus denen der Vernichtungs- und<br />
Erzeugungsoperatoren <strong>für</strong> Bosonen:<br />
� ˆψ(x), ˆ ψ + (x ′ ) � = δ(x − x ′ )1 ;<br />
Für den Teilchenzahloperator ˆ N erhält man<br />
ˆN =<br />
∞�<br />
λ=1<br />
a +<br />
λ a λ =<br />
�<br />
ˆψ + (x) ˆ ψ(x) dτ =<br />
� ˆψ(x), ˆ ψ(x ′ ) � = 0 = � ˆψ + (x), ˆ ψ + (x ′ ) � .<br />
�<br />
ˆn(x) dτ mit ˆn(x) = ˆ ψ + (x) ˆ ψ(x),<br />
wobei ˆn(x) den Teilchendichteoperator bezeichnet. Das Umschreiben des Hamilton-Operators in Feld-<br />
operatoren ergibt<br />
ˆH =<br />
�<br />
ˆψ + (x)A(x) ˆ ψ(x) dτ + 1<br />
2<br />
�<br />
ˆψ + (x ′ ) ˆ ψ + (x)B(x, x ′ ) ˆ ψ(x) ˆ ψ(x ′ ) dτ dτ ′ ,<br />
wobei A(x) den Einteilchen- und B(x, x ′ ) den Zweiteilchenoperator bezeichnet. Die mit einem Dach<br />
markierten Feldoperatoren im Fock-Raum beziehen sich nicht auf eine bestimmte Teilchenzahl, die<br />
Teilchenzahl ist vielmehr durch die Zustände des Fock-Raumes gegeben. Die Anwendung des Teilchen-<br />
zahloperators ˆ N auf einen solchen Zustand liefert die Anzahl N der Teilchen als Eigenwert.<br />
Die Teilchenzahlzustände lassen sich auch aus Erzeugungsoperatoren und dem Vakuum-Zustand<br />
ausdrücken und |x 1 〉 = ˆ ψ + (x 1 )|0〉 bezeichnet z.B. einen Zustand mit einem Teilchen an der Stelle x 1<br />
des Konfigurationsraumes.
6.3 Zeitabhängige Feldoperatoren<br />
Zur Beschreibung zeitabhängiger Prozesse mit zeitabhängigem Einteilchenoperator A(x, t) und zeitun-<br />
abhängigem Zweiteilchenoperator, lassen sich die zeitunabhängigen Operatoren leicht verallgemeinern.<br />
Wir gehen von der zeitabhängigen Einteilchen-Schrödinger-Gleichung aus<br />
− ¯h<br />
i<br />
∂<br />
ψ(x, t) = A(x, t)ψ(x, t),<br />
∂t<br />
und definieren die Zeitabhängigkeit der Feldoperatoren entsprechend als Heisenberg-Operatoren<br />
− ¯h ∂<br />
i ∂t ˆ ψ(x, t) = � ψ(x, ˆ t), Â(t) �<br />
− ¯h ∂<br />
i ∂t ˆ ψ + (x, t) = � mit Â(t) =<br />
�<br />
ψ ˆ+ (x, t), Â(t)<br />
�<br />
ˆψ + (x ′ , t)A(x ′ , t) ˆ ψ(x ′ , t) dτ ′ .<br />
Die Vertauschungsrelationen der Vernichtungs- und Erzeugungs-Feldoperatoren werden zu einer festen<br />
Zeit t festgelegt und lauten <strong>für</strong> Bosonen<br />
� ˆψ(x, t), ˆ ψ + (x ′ , t) � = δ(x − x ′ )1<br />
� ˆψ(x, t), ˆ ψ(x ′ , t) � = 0 = � ˆψ + (x, t), ˆ ψ + (x ′ , t) � ,<br />
sodass die Feldoperatoren die gewünschte Zeitabhängigkeit erhalten<br />
− ¯h<br />
i<br />
∂<br />
∂t ˆ ψ(x, t) = A(x, t) ˆ ψ(x, t) und − ¯h<br />
i<br />
∂<br />
∂t ˆ ψ + (x, t) = A(x, t) ˆ ψ + (x, t).
Der Hamilton-Operator wechselwirkender Teilchen im Fock-Raum hat die Form<br />
mit<br />
Â(t) und dem Zweiteilchenoperator<br />
ˆB(t) = 1<br />
2<br />
�<br />
ˆH(t) = Â(t) + ˆ B(t)<br />
ˆψ + (x, t) ˆ ψ + (x ′ , t)B(x, x ′ ) ˆ ψ(x ′ , t) ˆ ψ(x, t) dτ dτ ′ ,<br />
dessen Zeitabhängigkeit vom Hamilton-Operator bestimmt wird<br />
Für den Einteilchenoperator gilt dagegen<br />
− ¯h<br />
i<br />
− ¯h<br />
i<br />
dÂ(t) dt = � Â(t), ˆ H(t) � − ¯h ∂<br />
i<br />
Â<br />
∂t mit<br />
d ˆ B<br />
dt = � ˆ B, ˆ H(t) � .<br />
∂ Â<br />
∂t =<br />
�<br />
ˆψ + ∂A(x, t)<br />
(x, t)<br />
∂t<br />
ˆψ(x, t) dτ.
Exkurs über Heisenberg-Operatoren<br />
Die Erwartungswerte der Observablen A(x, t) findet man im Schrödinger-Bild und die Zeitabhängigkeit<br />
des statistischen Operators ρ(x, t) wird bestimmt durch die von-Neumann-Gleichung<br />
M(A) = Sp{ρA} mit<br />
∂ρ<br />
∂t<br />
i<br />
= [ρ, H]<br />
¯h<br />
mit dem zeitunabhängigen Hamilton-Operator H(x). Eine Lösung der Gleichung erhält man mit dem<br />
unitären Zeitschiebeoperator U(x, t, t0) mit UU + = 1<br />
ρ(x, t) = Uρ(x, t0)U + mit<br />
∂U<br />
∂t<br />
Dann hat der Erwartungswert die Form<br />
i<br />
= −<br />
¯h HU und U(x, t, t0)<br />
�<br />
= exp − i<br />
�<br />
H(x)(t − t0) .<br />
¯h<br />
M(A) = Sp � ρ(x, t)A � = Sp � Uρ(x, t0)U + A � = Sp � �<br />
ρ(x, t0)AH<br />
mit dem Heisenberg-Operator AH = U + (x, t, t0)A(x, t)U(x, t, t0), dessen Zeitabhängigkeit bestimmt<br />
wird durch<br />
∂AH<br />
∂t<br />
i<br />
=<br />
¯h [H, AH]<br />
+ ∂A<br />
+ U<br />
∂t U,<br />
wobei der letzte Term verschwindet, wenn der Operator A der Observablen nicht explizit von der Zeit<br />
abhängt ∂A<br />
= 0.<br />
∂t
6.4 Quantenfeldtheorie<br />
Zur Beschreibung der optischen Eigenschaften von Festkörpern, Flüssigkeiten, Atomen und Molekülen<br />
hat man es mit geladenen Massenpunkten d.h. Elektronen und Atomkernen zu tun, die mit elekt-<br />
romagnetischen Feldern in Wechselwirkung stehen. Zum Verständnis vieler optischer Eigenschaften<br />
wird es nötig, auch die elektromagnetischen Felder zu quantisieren. Die Vorgehensweise ist dabei<br />
die gleiche wie bei der Quantisierung der Punktmechanik, indem neben der Lagrange-Funktion eine<br />
Hamilton-Funktion gebildet wird, und zu den kanonisch konjugierten Koordinaten selbstadjungierte<br />
Operatoren eingeführt werden, die bestimmten Vertauschungsrelationen gehorchen. Dieser Weg sei<br />
deshalb hier kurz skizziert. Hat man in der klassischen Mechanik ein System von Massenpunkten,<br />
welches durch generalisierte Lagekoordinaten qk und Geschwindigkeitskoordinaten ˙qk bestimmt ist, so<br />
ergibt sich die Bewegungsgleichung nach dem Variationsprinzip aus der Variation des Wirkungsinte-<br />
grals mit der Lagrange-Funktion L(qk, ˙qk, t) = T(qk, ˙qk, t) − V (qk, t) aus kinetischer Energie T und<br />
potenzieller Energie V<br />
� t2<br />
δ<br />
t1<br />
L(qk, ˙qk, t ′ ) dt ′ = 0,<br />
wobei die qk(t) mit den Nebenbedingungen δqk(t1) = 0 = δqk(t2) zu variieren sind. Die Variations-<br />
ableitung oder Funktionalableitung dieses Funktionals ergibt dann die Euler-Lagrange-Gleichungen:<br />
δ<br />
δqk(t)<br />
� t2<br />
t1<br />
L(qk, ˙qk, t ′ ) dt ′ = 0 =⇒ ∂L<br />
∂qk<br />
− d<br />
dt<br />
∂L<br />
∂ ˙qk<br />
= 0.
Funktionalableitung oder Variationsableitung<br />
Sei r ∈ R 3 , ϕ(r) ∈ R N , F ∈ C, dann heißt ϕ(r) F<br />
−→C bzw. F[ϕ] ein Funktional von ϕ.<br />
Wenn <strong>für</strong> η(r) ∈ R N und α ∈ R <strong>für</strong> ein gegebenes Funktional F[ϕ + αη]<br />
die Ableitung nach α existiert und sich in der Form<br />
d<br />
� � N�<br />
� δF[ϕ]<br />
F[ϕ + αη] � =<br />
dα α=0 δϕk(r) ηk(r) d 3 r<br />
schreiben läßt, dann heißt δF[ϕ]<br />
δϕk(r)<br />
V<br />
k=1<br />
Funktionalableitung des Funktionals F[ϕ].<br />
Definiert man die kanonisch konjugierten Impulskoordinaten pk = ∂L<br />
, so kann man aus der<br />
∂ ˙qk<br />
Hamilton-Funktion mihilfe einer Legendre-Transformation<br />
und den Hamilton-Gleichungen<br />
H(qk, pk, t) = �<br />
pk ˙qk − L(qk, ˙qk, t)<br />
˙qk = ∂H<br />
∂pk<br />
die Bewegungsgleichung ebenfalls bestimmen.<br />
k<br />
und ˙pk = − ∂H<br />
∂qk
Der Übergang zur Quantenmechanik besteht nun darin, zu den kanonisch konjugierten Koordianten qk,<br />
pk selbstadjungierte Operatoren in einem Hilbert-Raum einzuführen, die den Vertauschungsrelationen<br />
[pk, ql] = ¯h<br />
i δkl1 ; [qk, ql] = 0 = [pk, pl]<br />
genügen. Die Zeitabhängigkeit der Operatoren A(qk, pk), die Observablen zugeordnet sind, ist dann<br />
gegeben durch<br />
− ¯h<br />
i<br />
dA<br />
dt<br />
= [A, H].<br />
Zur Quantisierung von Feldern gehen wir von einem System von endlich vielen Feldern ψν(r, t)<br />
mit ν = 1, 2, . . .n aus, mit den unabhängigen Variablen des Ortsraumes r = (x1, x2, x3) und der<br />
Zeit t. Diese Felder mögen die Lösungen eines Systems von Differenzialgleichungen sein, die sich<br />
aus einem Funktional der Lagrange-Funktion mit einem Variationsprinzip ergeben. Die Variation des<br />
Wirkungsintegrals muss hier bezüglich der Felder ψν(r, t) mit vier unabhängigen Variablen geschehen,<br />
so dass die Lagrange-Funktion L aus einer Lagrange-Dichte L gemäß<br />
� t2<br />
�<br />
δ L dt = 0 mit L =<br />
t1<br />
L d 3 r und L = L(ψν, ψ ν|k, ˙ ψν, t)<br />
zu bestimmen ist, die von den ψν, den ˙ ψν und außerdem noch von den partiellen Ableitungen nach<br />
den Ortskoordinaten ψ ν|k = ∂ψν<br />
∂xk<br />
abhängen kann.
Die Variation der ψν(r, t) soll dabei an den Integrationsgrenzen |r| → ∞ und t = t1, t2 verschwinden.<br />
Dann ergibt die Variation des Wirkungsintegrals<br />
δ<br />
δψν(r, t)<br />
� t2<br />
t1<br />
dt ′<br />
�<br />
d 3 r ′ L(ψν, ψ ν|k, ˙ ψν, t ′ ) = 0<br />
die Euler-Lagrange-Gleichungen <strong>für</strong> Felder ψν(r, t) <strong>für</strong> ν = 1, 2, . . .n<br />
∂L<br />
∂ψν<br />
die zu den Ausgangsgleichungen führen.<br />
−<br />
3�<br />
k=1<br />
∂<br />
∂xk<br />
∂L<br />
∂ψ ν|k<br />
− ∂<br />
∂t<br />
Zur Quantisierung werden zunächst kanonisch konjugierte Impulsfelder πν(r, t) und eine von den<br />
∂L<br />
∂ ˙ ψν<br />
= 0,<br />
˙ψν unabhängige Energiedichte D mithilfe einer Legendre-Transformation eingeführt<br />
πν(r, t) = ∂L<br />
∂ ˙ ψν<br />
und D(ψν, ψ ν|k, πν, π ν|k, t) =<br />
und das von den ˙ ψν unabhängige Energiefunktional<br />
H =<br />
�<br />
n�<br />
πν ˙ ψν − L mit<br />
ν=1<br />
D(ψν, ψ ν|k, πν, π ν|k, t) d 3 r.<br />
∂D<br />
∂ ˙ ψν<br />
= 0,
� � �<br />
Aus der Variation des Energiefunktionals H(ψν, πν) =<br />
n�<br />
�<br />
δH<br />
δψν +<br />
δψν<br />
δH<br />
�<br />
δπν =<br />
δπν<br />
ν=1<br />
erhält man wegen − δH<br />
∂ψν<br />
∂t<br />
= δH<br />
δπν<br />
δψν<br />
= ∂D<br />
∂πν<br />
n�<br />
ν=1<br />
= δL<br />
δψν<br />
−<br />
�<br />
− δL<br />
δψν +<br />
δψν<br />
˙ �<br />
ψνδπν<br />
= ∂<br />
∂t<br />
3�<br />
k=1<br />
∂<br />
∂xk<br />
δL<br />
δ ˙ ψν<br />
∂D<br />
∂π ν|k<br />
und<br />
ν<br />
πν ˙ ψν − L(ψν, ψν|k, ˙ �<br />
ψν, t) d 3 r<br />
δL<br />
δψν<br />
= ∂L<br />
∂ψν<br />
−<br />
3�<br />
k=1<br />
∂<br />
∂xk<br />
∂L<br />
ψ ν|k<br />
= ∂<br />
∂t πν die Hamiltonschen Gleichungen <strong>für</strong> Felder<br />
und − ∂πν<br />
∂t<br />
= δH<br />
δψν<br />
= ∂D<br />
∂ψν<br />
−<br />
3�<br />
k=1<br />
∂<br />
∂xk<br />
∂D<br />
.<br />
∂ψν|k = ∂<br />
∂t<br />
Der Übergang von der klassischen Feldtheorie zu einer Quantenfeldtheorie wird dadurch vorgenommen,<br />
dass die kanonisch konjugierten Felder zu Feldoperatoren<br />
ψν(r, t) −→ ˆ ψν(r, t) und πν(r, t) −→ ˆπν(r, t) und H −→ ˆ H<br />
werden, die den Vertauschungsrelationen <strong>für</strong> Bosonen<br />
� ˆπν(r, t), ˆ ψµ(r ′ , t) � = ¯h<br />
i δνµδ(r − r ′ )1 und � ˆπν(r, t), ˆπµ(r ′ , t) � = 0 = � ˆ ψν(r, t), ˆ ψµ(r ′ , t) �<br />
genügen sollen. Die zeitliche<br />
Änderung der Feldoperatoren ergibt sich bei Heisenberg-Operatoren<br />
− ¯h<br />
i<br />
∂ ˆ ψν<br />
∂t = [ ˆ ψν, ˆ H] und − ¯h ∂ˆπν<br />
i ∂t = [ˆπν, ˆ H].<br />
∂L<br />
∂ ˙ ψν
7 Quantenoptik<br />
Die dielektrische Verschiebung sei gegeben durch D = εE mit ε = εrε0, wobei E die elektrische<br />
Feldstärke, ε0 die elektrische Feldkonstante und εr eine Konstante bezeichnen. Die magnetische In-<br />
duktion sei gegeben durch B = µH mit µ = µrµ0, wobei H die magnetische Feldstärke, µ0 die<br />
magnetische Feldkonstante und µr eine Konstante bezeichnen. Ist dann ρ die Ladungsdichte und j die<br />
elektrische Stromdichte, so lassen sich die Feldgleichungen<br />
∇ × E = − ˙ B ; ∇ × H = ˙ D + j ; ∇ · D = ρ ; ∇ · B = 0<br />
mit Hilfe des Vektorpotenzials A und des skalaren Potenzials φ mit der Lorentz-Konvention<br />
B = ∇ × A ; E = − ˙ A − ∇φ mit<br />
1<br />
εµ ˙ φ + ∇ · A = 0<br />
wegen ε0µ0 = 1/c 2 mit der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum und der Brechzahl n<br />
∇ · A + 1<br />
v 2<br />
∂φ<br />
∂t<br />
= 0 mit<br />
1<br />
v 2 = εµ = εrµrε0µ0 = n2<br />
c 2 und n = c<br />
v = √ εrµr<br />
auf vier inhomogene Wellengleichungen zurückführen, vergl. Abschn. 1.4<br />
A =<br />
� 1<br />
v 2<br />
∂2 �<br />
− ∆ A = µj und φ =<br />
∂t2 � 1<br />
v 2<br />
∂2 �<br />
− ∆ φ =<br />
∂t2 1<br />
ε ρ.
Die Potenzialgleichungen ergeben sich mit Hilfe der Lagrange-Dichte<br />
L = 1�<br />
2 1<br />
εE −<br />
2<br />
= ε<br />
2<br />
� ∂A<br />
∂t<br />
� 2<br />
µ B2� + j · A − ρφ<br />
+ ε ∂A<br />
∂t<br />
und den Euler-Lagrange-Gleichungen mit ψ ν|k = ∂ψν<br />
∂L<br />
∂ψν<br />
−<br />
ε�<br />
�2 1 � �2 · ∇φ + ∇φ − ∇ × A + j · A − ρφ<br />
2 2µ<br />
3�<br />
k=1<br />
∂<br />
∂xk<br />
∂xk<br />
∂L<br />
∂ψ ν|k<br />
und ˙ ψν = ∂ψν<br />
∂t<br />
− ∂<br />
∂t<br />
indem ψk = Ak, <strong>für</strong> k = 1, 2, 3 und ψ4 = φ gesetzt, und die Lorentz-Konvention beachtet wird.<br />
∂L<br />
∂ ˙ ψν<br />
= 0,<br />
Zum Beweise beachten wir mit A(r, t) = (A1, A2, A3), r = (x1, x2, x3)<br />
(∇ × A) 2 �<br />
∂A3<br />
= −<br />
∂x2<br />
∂A2<br />
�2 �<br />
∂A1<br />
+ −<br />
∂x3 ∂x3<br />
∂A3<br />
�2 �<br />
∂A2<br />
+<br />
∂x1 ∂x1<br />
− ∂A1<br />
�2 ∂x2<br />
und berechnen zunächst den mittleren Term der Euler-Lagrange-Gleichungen mit ψ1 = A1<br />
3�<br />
k=1<br />
∂<br />
∂xk<br />
∂L<br />
∂A 1|k<br />
= − 1<br />
3� ∂ ∂<br />
(∇ × A)<br />
2µ ∂xk ∂A<br />
k=2<br />
1|k<br />
2<br />
= − 1<br />
�<br />
∂<br />
�<br />
∂A1<br />
−<br />
µ ∂x2 ∂x2<br />
∂A2<br />
�<br />
+<br />
∂x1<br />
∂<br />
�<br />
∂A1<br />
∂x3 ∂x3<br />
= − 1<br />
�<br />
∆A1 −<br />
µ<br />
∂<br />
�<br />
∇ · A .<br />
∂x1<br />
− ∂A3<br />
�<br />
±<br />
∂x1<br />
∂<br />
∂x1<br />
�<br />
∂A1<br />
∂x1
Damit erhält man aus den Euler-Lagrange-Gleichungen<br />
und der Lagrange-Funktion<br />
L = ε<br />
2<br />
� �2 ∂A<br />
∂t<br />
<strong>für</strong> ψ1 = A1 mit j = (j1, j2, j3)<br />
∂L<br />
∂ψν<br />
und wegen der Lorentz-Konvention<br />
−<br />
+ ε ∂A<br />
∂t<br />
3�<br />
k=1<br />
∂<br />
∂xk<br />
∂L<br />
∂ψ ν|k<br />
j1 + 1<br />
�<br />
∆A1 −<br />
µ<br />
∂<br />
�<br />
∇ · A<br />
∂x1<br />
− ∂<br />
∂t<br />
∂L<br />
∂ ˙ ψν<br />
= 0,<br />
ε�<br />
�2 1 � �2 · ∇φ + ∇φ − ∇ × A + j · A − ρφ<br />
2 2µ<br />
1<br />
µ ∇ · A + ε∂φ<br />
∂t<br />
− ε ∂2A1 ∂φ<br />
− ε<br />
∂t2 ∂t∂x1<br />
addieren sich der dritte und fünfte Term zu Null, so dass die inhomogene Wellengleichung<br />
µj1 +<br />
�<br />
∆A1 − εµ ∂2A1 ∂t2 �<br />
= 0<br />
= 0,<br />
= 0 oder A1 = µj1<br />
<strong>für</strong> A1 resultiert. Entsprechend erhält man mit ψν = φ aus der Euler-Lagrange-Gleichung ebenfalls<br />
die inhomogene Wellengleichung <strong>für</strong> φ.
7.1 Quantisierung freier elektromagnetischer Felder<br />
Bei der zu behandelnden Wechselwirkung der elektromagnetischen Strahlung mit Festkörpern befinden<br />
sich die die Strahlungsfelder erzeugenden Ladungen ρ und Ströme j entfernt vom Festkörper und<br />
werden hier zu Null gesetzt, um die Potenziale A und φ der freien elektromagnetischen Strahlung zu<br />
bestimmen. Da beide Potenziale Lösungen der homogenen Wellengleichung A = 0 und φ = 0 sind,<br />
lassen sich die beobachtbaren Felder E und B aus A alleine bestimmen, indem eine Eichtransformation<br />
A ′ = A + ∇f, φ ′ = φ − ˙<br />
f mit f = 0 und ˙<br />
f = φ vorgenommen wird, sodass φ ′ = 0 wird. Dadurch<br />
erhält man aus der Lorentz-Konvention ∇ · A = 0, was auch als Strahlungseichung bezeichnet wird.<br />
Das zum Vektorpotenzial A(r, t) = (A1, A2, A3) gehörige kanonisch konjugierte Impulsfeld ist<br />
πk(r, t) = ∂L<br />
∂ ˙<br />
Ak<br />
= ε ˙<br />
Ak mit L(A, ˙ A) = ε<br />
2 ˙ A 2 − 1<br />
2µ (∇ × A)2 ,<br />
und die Energiedichte ergibt sich wegen B = ∇ × A und E = − ˙ A zu<br />
D =<br />
3�<br />
k=1<br />
πk ˙ Ak − L = 1<br />
2 ε ˙ A 2 + 1<br />
2µ (∇ × A)2 = 1<br />
2<br />
1<br />
E · D + H · B.<br />
2<br />
Die Energie der freien elektromagnetischen Strahlung ist damit, vgl. Abschn. 1.3,<br />
H =<br />
�<br />
D d 3 r = 1<br />
2<br />
� �<br />
ε ˙ A 2 + 1<br />
µ (∇ × A)2<br />
�<br />
d 3 r = 1<br />
2<br />
�<br />
(E · D + H · B) d 3 r.
Zur Quantisierung des elektromagnetischen Strahlungsfeldes werden <strong>für</strong> die kanonisch konjugierten<br />
Felder Ak(r, t) und πk(r, t) Feldoperatoren Âk bzw. ˆπk mit den Vertauschungsrelationen angesetzt:<br />
� ˆπk(r, t), Âl(r ′ , t) � = ¯h<br />
i δklδ(r − r ′ )1 und � ˆπk(r, t), ˆπl(r ′ , t) � = 0 = � Âk(r, t), Âl(r ′ , t) � .<br />
Wir schreiben die Lösungen der homogenen Wellengleichung A = 0 als Linearkombination von<br />
ebenen Wellen<br />
A(r, t) = 1 √ 2<br />
2� �<br />
j=1<br />
q<br />
�<br />
uj(q) 1<br />
�<br />
√ exp {iq · r} exp {−i2πνj(q)t} + k.k. .<br />
V<br />
Die Basisvektoren des Gitters a1, a2, a3 spannen die Elementarzelle bzw. das Periodizitätsgebiet<br />
Ω = (a1,a2,a3) auf und die Vektoren Na1, Na2, Na3 das Grundgebiet V = N 3 Ω mit 1 ≪ N. Die<br />
periodischen Randbedingungen <strong>für</strong> die ebenen Wellen exp � iq · (r + Naj) � = exp {iq · r} erfordern die<br />
Bedingung exp {iq · ajN} = 1, woraus sich die diskreten Ausbreitungsvektoren<br />
q = m1<br />
N b1 + m2<br />
N b2 + m3<br />
N b3 mit ganzen Zahlen m1, m2, m3<br />
ergeben. Dabei erfüllen die reziproken Gittervektoren bj = 2π<br />
Ω ak × al mit zyklischen (j, k, l) die<br />
Bedingungen aj · bk = 2πδjk.
Ferner bezeichnen uj(q) den Polarisationsvektor <strong>für</strong> zwei verchiedene Polarisationsrichtungen,<br />
νj(q) = v|q|/2π die Frequenz der Welle mit dem Dispersionsgesetz, und ” k.k.” den konjugiert kom-<br />
plexen Term. Wegen ∇ · A = 0 erfüllen die reellen Polarisationsvektoren die Bedingung q · uj(q) = 0,<br />
so dass es nur zwei transversale linear unabhängige Polarisationsrichtungen j = 1, 2 gibt.<br />
Beim Übergang zu den Feldoperatoren A(r, t) −→ Â(r, t) ist die Reihenentwicklung von der Form<br />
wie in Abschn. 6.2 ˆ ψ(x) = �<br />
ν ψν(x)aν mit dem Vernichtungsoperator aν <strong>für</strong> ein Teilchen bzw. hier<br />
cj(q, t) und dem Erzeugungsoperator c +<br />
j (q, t)<br />
Â(r, t) = 1 �<br />
2� �<br />
�<br />
¯h<br />
√ uj(q)<br />
2 2πενj(q)<br />
1<br />
√ exp {iq · r}cj(q, t) + uj(q)<br />
V 1<br />
√ exp {−iq · r} c<br />
V +<br />
�<br />
j (q, t) .<br />
j=1<br />
q<br />
Die zeitabhängigen Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren <strong>für</strong> die Photonen<br />
�<br />
2πενj(q)<br />
cj (q, t) = exp<br />
¯h<br />
� − i2πνj(q)t � bzw. c +<br />
�<br />
2πενj(q)<br />
j (q, t) = exp<br />
¯h<br />
� i2πνj(q)t �<br />
erfüllen die Schwingungsgleichung<br />
∂cj(q, t)<br />
∂t<br />
= −i2πνj(q)cj(q, t) oder<br />
∂ 2 cj(q, t)<br />
∂t 2<br />
+ � 2πνj(q) � 2 cj(q, t) = 0.<br />
Das zu A(r, t) = (A1, A2, A3) gehörige Impulsfeld ˆ �π(r, t) = (π1, π2, π3) ist dann<br />
ˆ�π(r, t) = ε ∂Â<br />
∂t = 1 �<br />
2� �<br />
�<br />
¯h<br />
√ − iε2πνj(q)uj(q)<br />
2 2πενj(q)<br />
j=1 q<br />
1<br />
√ exp {iq · r}cj(q, t)<br />
V<br />
+ iε2πνj(q)uj(q) 1<br />
√ exp {−iq · r}c<br />
V +<br />
�<br />
(q, t) .<br />
j
Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren  und ˆ �π führen dann zu den Vertauschungsrelationen<br />
<strong>für</strong> die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren cj (q, t) und c +<br />
j (q, t) <strong>für</strong> ein Photon der Polarisation<br />
j, der Wellenzahl |q| und der Energie hνj(q) = v¯h|q|<br />
�<br />
cj (q, t), c +<br />
j ′(q ′ , t) � = δjj ′δqq ′1 ;<br />
�<br />
cj(q, t), cj ′(q′ , t) � = 0 = � c +<br />
j (q, t), c+<br />
j ′(q ′ , t) � .<br />
Zum Beweis sei darauf hingewiesen, dass die Operatoren cj (q, t) und c +<br />
j (q, t) jeweils einem Photon<br />
der beiden unabhängigen Polarisationsrichtungen j = 1, 2 zugeordnet sind, sodass u 2 kj<br />
ukjulj = 0 zu setzen ist. Ferner gilt die Vollständigkeitsbeziehung 1<br />
V<br />
Beim Einsetzen der Feldoperatoren<br />
ˆH = 1<br />
2<br />
� � �<br />
∂Â<br />
ε<br />
∂t<br />
� 2<br />
�<br />
Â(r, t) und ˆπ(r, t) in den Energieoperator<br />
+ 1<br />
µ (∇ × Â)2� d 3 r = 1<br />
2<br />
q<br />
(q) = 1 und<br />
exp � iq · (r −r ′ ) � = δ(r −r ′ ).<br />
� �1<br />
ε ˆ �π 2<br />
(r, t) + 1 �<br />
∇ × Â(r, t)<br />
µ<br />
�2 �<br />
d 3 r<br />
ergibt sich bei Verwendung der Vertauschungsrelationen <strong>für</strong> die Erzeugungs- und Vernichtungsopera-<br />
toren c +<br />
j (q, t) und c j (q, t) die Form einer Summe aus 2N3 ungekoppelter harmonischer Oszillatoren,<br />
die durch die beiden Indizes j und q abgezählt werden,<br />
ˆH =<br />
2� �<br />
j=1<br />
q<br />
�<br />
hνj(q) c +<br />
j (q, t)cj(q, t) + 1<br />
2 1<br />
�<br />
.
Jeder einzelne Oszillator hat die äquidistanten Energieeigenwerte hνj(q) � nj(q) + 1<br />
�<br />
2 mit den Besetzungszahlen<br />
nj(q) = 0, 1, 2, . . . die angeben, wieviele Photonen der Energie hνj(q) = v¯h|q| und mit<br />
dem Impuls ¯hq im Grundgebiet V vorhanden sind.<br />
Der Energieoperator ist mit dem Feldoperator<br />
Â(r, t) und damit ebenfalls mit der elektrischen<br />
Feldstärke und der magnetischen Induktion nicht vertauschbar. Die elektromagnetischen Felder und<br />
die Anzahl der Photonen<br />
2� �<br />
j=1<br />
q<br />
c +<br />
j (q, t)c j(q, t) =<br />
2� �<br />
ˆnj(q)<br />
sind wegen [c + c, c] = −c und [c + c, c + ] = c + nicht gleichzeitig scharf meßbar.<br />
Der Beweis <strong>für</strong> den Feldoperator ˆ H, wie er sich aus der Form der Operatoren ˙ A und ∇×A ergibt,<br />
wird einfach, wenn man die folgenden� Zusammenhänge berücksichtigt.<br />
1<br />
⊲ Die beiden Integrale sind gleich<br />
ε ˆ �π 2<br />
d 3 �<br />
1<br />
r =<br />
µ (∇ × A)2 d 3 r.<br />
⊲ Für die ebenen Wellen ϕq(r) = 1<br />
√ exp {iq · r}<br />
V<br />
j=1<br />
gelten die Orthonormalitäts- und Vollständigkeitsbeziehungen<br />
1<br />
〈ϕq|ϕq ′〉 =<br />
V<br />
�<br />
V<br />
q<br />
exp � i(q ′ − q) · r � d 3 r = δqq ′ und<br />
�<br />
ϕq(r)ϕ q<br />
∗ q(r ′ ) = δ(r − r ′ ).<br />
⊲ Es gilt die Dispersionsbeziehung 2πνj(q) = v|q| bzw. q2<br />
εµ = v2 q 2 = 4π 2 ν 2 j (q).
⊲ Zu berücksichtigen sind nur Terme mit der gleichen Anzahl von Erzeugungsoperatoren c +<br />
j (q, t)<br />
und Vernichtungsoperatoren cj (q, t).<br />
⊲ Wegen ∇ · A = 0 handelt es sich um Transversalwellen mit q · uj(q) = 0 mit der Folge<br />
�<br />
q × uj(q) � · � q × uj(q) � = q2u2 j (q) = q2 .<br />
7.2 Elektron-Photon-Wechselwirkung<br />
Bei der Wechselwirkung der quantisierten elektromagnetischen Wellen, also der Photonen, mit freien<br />
oder gebundenen Atomen geht man von der Lorentz-Kraft aus, die die elektromagnetischen Felder E<br />
und B auf die als geladene Massenpunkte idealisierten Elektronen und Atomkerne ausüben.<br />
Im Rahmen der klassischen Mechanik bewegt sich eine Punktladung der Masse m und der Ladung<br />
e auf einer Bahnkurve r(t), die bei gegebenen E und B durch die Lorentz-Kraft<br />
m¨r = e(E + ˙r × B)<br />
bestimmt ist. Die Ladungen und Ströme, die die Felder E und B erzeugen, seien vom Ort der unter-<br />
suchten Materie weit entfernt, sodass hier nur die Ladungen und Ströme der betrachteten Punktladun-<br />
gen eine Rolle spielen. Wir verwenden die elektrodynamischen Potenziale A und φ mit B = ∇ × A<br />
und E = − ˙ A − ∇φ in Strahlungseichung mit φ = 0 und ∇ · A = 0, vergl. Abschn. 7.1, also<br />
B = ∇ × A und E = − ˙ A.
Im nichtrelativistischen Fall ergibt sich dann die Bahnkurve r(t) aus der Lagrange-Funktion<br />
L(r, ˙r) = m<br />
2 ˙r2 + e˙r · A und den Euler-Lagrange-Gleichungen<br />
d ∂L<br />
dt ∂˙r<br />
− ∂L<br />
∂r<br />
Der zu r kanonisch konjugierte Impuls ist p = ∂L<br />
= m˙r + eA und die Hamilton-Funktion ist<br />
∂˙r<br />
H(r,p) = ˙r · p − L(r, ˙r) = m˙r 2 + e˙r · A − m<br />
2 ˙r2 − e˙r · A = m<br />
2 ˙r2 = 1 � �2. p − eA<br />
2m<br />
Geht man davon aus, dass sich die Elektronen bzw. die Atomkerne in einem effektiven Einteilchen-<br />
potenzial v(r) bewegen, das von der umgebenden Materie verursacht wird, so lautet die Einelektronen-<br />
Hamilton-Funktion mit der Elektronenmasse me<br />
H = 1 � �2 p − eA + v(r).<br />
2me<br />
¯h<br />
Beim Übergang zur Quantenmechanik ist der Impulsoperator p = ∇ einzusetzen und die Energie<br />
i<br />
der freien elektromagnetischen Felder nach Abschn. 7.1 hinzuzufügen. Der Energieoperator beschreibt<br />
dann das Elektron, die elektromagnetische Strahlung und die Wechselwirkung zwischen beiden<br />
H = 1<br />
�<br />
¯h<br />
�2 ∇ − eA + v(r) +<br />
2me i 1<br />
2<br />
= 1<br />
�<br />
¯h<br />
�2 ∇ − eA + v(r) +<br />
2me i 1<br />
2<br />
� �<br />
ε0E 2 + 1<br />
� �<br />
µ0<br />
ε0 ˙ A 2 + 1<br />
µ0<br />
B 2�<br />
d 3 r<br />
(∇ × A) 2�<br />
d 3 r.<br />
= 0.
Vernachlässigt man den kleinen Term mit A2 , so erhält man wegen ∇ ·A = 0 <strong>für</strong> den gemischten Term<br />
1<br />
�<br />
−<br />
2me<br />
¯h<br />
i e<br />
�<br />
(∇ · A + A · ∇) = 1<br />
�<br />
−<br />
2me<br />
¯h<br />
i e<br />
�<br />
(A · ∇ + ∇· ↓<br />
A +A · ∇) = − e¯h<br />
A · ∇,<br />
ime<br />
wobei der Pfeil auf dem Term ∇ ·A anzeigt, dass der Operator ∇ nur das A differenziert, und es folgt<br />
H = − ¯h2<br />
∆ + v(r)<br />
2me<br />
� �� �<br />
−<br />
e¯h<br />
A · ∇<br />
ime<br />
� �� �<br />
+<br />
Kristallelektron Elektron-Licht-WW<br />
1<br />
� �<br />
ε0<br />
2<br />
˙ A 2 + 1<br />
(∇ × A)<br />
µ0<br />
2�<br />
d 3 r<br />
� �� �<br />
freies Strahlungsfeld<br />
ein Einelektronen-Energieoperator aus drei Teilen, mit einem Teil HKE des Kristallelektrons, einem<br />
Teil HEL der Elektron-Licht-Wechselwirkung und einem Teil HL des freien Strahlungsfeldes.<br />
Der<br />
Übergang zu dem Vielelektronensystem und einem quantisierten Strahlungsfeld ist nun mit<br />
dem Teilchenzahlformalismus denkbar einfach. Wir schreiben den Operator im Fock-Raum der Elekt-<br />
ronen und Photonen<br />
ˆH = ˆ HKE + ˆ HEL + ˆ HL<br />
mit dem Operator der Kristallelektronen und dem Teilchenzahloperator ank der Bloch-Zustände<br />
ˆHKE = �<br />
n<br />
�BZ<br />
k<br />
En(k)a +<br />
nk a nk mit |nk〉 = ψn(k,r) = 1<br />
√ N 3<br />
exp {ik · r} un(k,r),<br />
dem Operator des freien Strahlungsfeldes mit dem Teilchenzahloperator der Photonen cj(q)<br />
ˆHL =<br />
2� �<br />
j=1<br />
q<br />
�<br />
hνj(q) c +<br />
j (q, t)c 1<br />
j (q, t) +<br />
2 1<br />
�
und dem Operator der Elektron-Photon-Wechselwirkung und dem Operator  des Vektorpotenzials<br />
HEL = − e¯h<br />
ime<br />
1<br />
√ 2<br />
�<br />
2� � ¯h<br />
2πε0νj(q)<br />
j=1<br />
q<br />
� 1<br />
√V exp {iq · r}uj(q) · ∇c j (q, t)<br />
+ 1<br />
√ exp {−iq · r}uj(q) · ∇c<br />
V +<br />
�<br />
(q, t) .<br />
Dieser Operator ist zunächst nur <strong>für</strong> die Photonen ein Teilchenzahloperator, in Bezug auf die Elektronen<br />
aber ein Einelektronenoperator. Er lässt sich jedoch nach Abschn. 6.1 direkt in einen Fock-Operator<br />
mit den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Bloch-Zustände a +<br />
und man erhält<br />
mit dem<br />
ˆHEL = �<br />
n,k<br />
�<br />
n ′ ,k ′<br />
�<br />
j,q<br />
ˆH Elekt = �<br />
n,k<br />
�<br />
n ′ ,k ′<br />
〈nk|H Elekt |n ′ k ′ 〉a +<br />
nk a n ′ k ′,<br />
nk , a nk umschreiben<br />
�<br />
M(n,k; n ′ ,k ′ ; j,q)a +<br />
nk a n ′ k ′c j (q, t) + M(n,k; n′ ,k ′ ; j, −q)a +<br />
Übergangsmatrixelement zwischen den Bloch-Zuständen |nk〉 = ψn(k,r)<br />
M(n,k; n ′ ,k ′ ; j,q) = − e¯h<br />
ime<br />
�<br />
1<br />
√<br />
2<br />
¯h<br />
2πε0νj(q)<br />
j<br />
nkan ′ k ′c+ j<br />
� nk � � 1<br />
√V exp {iq · r}uj(q) · ∇ � � n ′ k ′ � .<br />
�<br />
(q, t)
Hier bezeichnen also a +<br />
nk und ank Bloch-Zustand ψn(k,r) mit der Energie En(k) und c +<br />
j (q, t) bzw. cj die Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren <strong>für</strong> ein Elektron im<br />
(q, t) die Erzeugungs- und Vernich-<br />
tungsoperatoren <strong>für</strong> ein Photon der Energie hνj(q) mit dem Impuls ¯hq und der Dispersionsbeziehung<br />
νj(q) = c|q|/2π, wobei c die Lichtgeschwindigleit bezeichnet. Die Vektoren uj(q) mit q · uj(q) = 0<br />
geben die Amplituden und die Polarisation senkrecht zum Wellenvektor q an.<br />
Zur Veranschaulichung betrachten wir einen Laserstrahl, der von einem Resonator erzeugt wird,<br />
und der aus einzelnen diskreten Linien, den sogenannten Moden besteht. Seien n1, n2, . . . die Be-<br />
setzungszahlen der Bloch-Zustände und l1, l2 . . . die der Photonenzustände, so sind die Teilchen-<br />
zahlzustände <strong>für</strong> den Operator ˆ H = ˆ HKE + ˆ HEL + ˆ HL durch |nl〉 = |n1n2 . . .l1l2 . . .〉 gegeben mit<br />
〈nl| �<br />
n a+ n an|nl〉 = Anzahl der Elektronen und 〈nl| �<br />
l c+<br />
l cl |nl〉 = Anzahl der Photonen.<br />
gegeben. Der Erwartungswert der elektrischen Feldstärke berechnet sich wegen Ê = − ˙ Â = − 1<br />
ε ˆ �π zu<br />
〈 Ê〉 = 〈nl|Ê|nl〉 = 〈nl� � − 1<br />
ε ˆ �π � � nl〉 = 0,<br />
weil der Operator ˆ �π nur einzelne Photonenzahloperatoren mit 〈nl|cj (q, t)|nl〉 = 0 = 〈nl|c +<br />
j (q, t)|nl〉<br />
enthält. Jedoch ergibt sich <strong>für</strong> die Streuung bei der Messung der elektrischen Feldstärke<br />
� (∆Ê) 2� = � nl � � (Ê − 〈 Ê〉1)2� � nl � = � nl � �〈Ê 2 〉 − 〈 Ê〉2� � nl � = � nl � �〈Ê 2 〉 � � nl � .<br />
Der Ausdruck ist <strong>für</strong> jede einzelne Mode proportional zu 2lν + 1 mit lν = 0, 1, 2, . . ., also von Null<br />
verschieden.
Anwendungsbeispiel: Elektronische Interbandübergänge<br />
Bei der Interpretation der Energiebänder En(k) der Kristalle als Einelektronenenergieniveaus muss<br />
man verschiedene Anregungsprozesse unterscheiden. Bei quasistatischen elektrischen Feldern E, die<br />
zur Beschleunigung von Elektronen und zur elektrischen Leitung führen, ändert sich der Bloch-Zustand<br />
quasistetig von ψn(k,r) nach ψn(k ′ ,r). Bei der Absorption eines Photons hinreichender Energie, wird<br />
aber ein Elektron im Zustand ψV (k,r) aus dem Valenzband entfernt und in einen Zustand ψL(k,r) im<br />
Leitungsband angeregt, wobei ein Loch im Valenzband zurückbleibt.<br />
Bei der Photoemission wird andererseits ein Elektron aus einem Zustand ψV (k,r) im Valenzband<br />
entfernt und befindet sich anschließend außerhalb des Kristalles. Die drei Vorgänge haben unter-<br />
schiedliche Endzustände und entsprechende Experimente zur Bestimmung der Energiebänder sind nicht<br />
unmittelbar vergleichbar.<br />
So gibt es z.B. bei der elektrischen Leitfähigkeit auch Streuprozesse der Leitungselektronen un-<br />
tereinander, und bei der Absorption eines Photons entsteht ein Elektron-Loch-Paar, wobei zwischen<br />
Elektron und Loch eine anziehende Wechselwirkung existiert. Beides hängt mit dem Koopmans-<br />
Theorem zusammen, wonach die Energiebänder zwar die Photoemission bis auf die Austrittsarbeit an<br />
der Oberfläche beschreiben, <strong>für</strong> die inneren Anregungen im Festkörper aber Korrekturen erforderlich<br />
sind.
Wir setzen voraus, dass der Operator der Wechselwirkung zwischen Elektronen und dem Licht ˆ HEL nur<br />
eine kleine Störung des durch den Operator ˆ H0 = ˆ HKE+ ˆ HL beschriebenen ungestörten Systems verur-<br />
sacht. Die elektromagnetische Welle kann dann mit der zeitabhängigen Störungsthoerie berücksichtigt<br />
werden, und die<br />
Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit <strong>für</strong> einen Übergang vom Anfangszustand<br />
|a〉 in einen Endzustand |e〉 von ˆ H0 lässt sich mit der Goldenen Regel der Quantenmechanik berechnen<br />
Wae = 2π<br />
¯h<br />
�<br />
�<br />
� � . . .Nnk . . . ; . . .Mjq . . . � �HEL ˆ � ′<br />
. . .N nk . . .;...M ′ jq . . . ��� 2<br />
�<br />
�<br />
δ � |Ea − Ee| � ,<br />
. . .〉 den<br />
wobei Ea den Anfangszustand |a〉 = | . . .Nnk . . .;...Mjq . . .〉 und |e〉 = | . . .N ′ nk . . . ; . . .M ′ jq<br />
Endzustand von ˆ H0 bezeichnen, mit den Besetzungszahlen Nnk <strong>für</strong> die Bloch-Zustände und Mjq <strong>für</strong><br />
die Photonen. Wir gehen davon aus, dass reichlich Licht eingestrahlt wird, so dass sich das Photonen-<br />
reservoir durch einen Absorptions- oder Emissionsprozess praktisch nicht verändert.<br />
Beim Einsetzen des Elektron-Licht Wechselwirkungsoperators ˆ HEL betrachten wir nur den einen<br />
Summanden mit a +<br />
n ′ k ′ankcj (q), der die Absorption eines Photons der Energie hνj(q) beschreibt, und erhalten<br />
<strong>für</strong> die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit <strong>für</strong> ein Elektron vom Bloch-Zustand ψn(k,r)<br />
in einen Zustand ψn ′(k′ ,r) mit dem Übergangsmatrixelement<br />
Wnk,n ′ 2π<br />
k ′ =<br />
¯h<br />
�<br />
j,q<br />
e 2 ¯h 2<br />
2m 2 e<br />
¯h<br />
�<br />
�<br />
�<br />
2πε0νj(q)<br />
� n ′ k ′�� 1<br />
√ exp {iq · r}uj(q) · ∇<br />
V � �<br />
�nk � �2 �<br />
× δ � |En ′(k′ ) − En(k)| − hνj(q) � .
Setzt man in das Integral die Bloch-Funktionen |nk〉 = ψn(k,r) ein,<br />
I =<br />
�<br />
V<br />
ψ +<br />
n ′(k ′ ,r) 1<br />
√ V exp {iq · r}uj(q) · ∇ψ n (k,r) d 3 r,<br />
so kann man die Integration über das Grundgebiet V = N 3 Ω zerlegen in eine Integration r1 über die<br />
Elementarzelle Ω und in eine Summe über die durch einen Gittervektor R abgezählten Elementarzellen,<br />
indem man r = R + r1 setzt und die Bloch-Bedingung<br />
ψn(k,r) = ψn(k,r1 + R) = exp {ik · R}ψn(k,r1)<br />
beachtet. Dann lässt sich die Summe über die N 3 Gittervektoren R in V separat ausführen<br />
die wegen<br />
I =<br />
V�<br />
�<br />
R<br />
Ω<br />
exp � i(k − k ′ + q) · R � ψ ∗ n ′(k′ ,r1) 1<br />
√ V exp {iq · r1}uj(q) · ∇ψ n(k,r1) d 3 r,<br />
1<br />
N 3<br />
V�<br />
exp � i(k − k ′ + q) · R � = δk ′ −k,q<br />
R<br />
nur <strong>für</strong> k ′ − k = q + G nicht verschwindet, wobei G einen reziproken Gittervektor bezeichnet.
Nun sind die Ausbreitungsvektoren der Elektronen am Rande der Brillouin-Zone etwa |k| = 2π/a,<br />
mit der Gitterkonstanten a in der Größenordnung einiger ˚A, z.B. a = 5, 43 ˚A bei Silicium. Photonen<br />
haben bei Energien von weniger als 10 eV viel größere Wellenlängen λ > 1 µm = 104 ˚A ≫ a und<br />
Wellenvektoren |q| = 2π/λ ≪ |k| außer in einer kleinen Umgebung des Γ-Punktex bei k = 0. Deshalb<br />
finden optische Übergänge zwischen verschiedenen Bändern in erster Näherung der Störungstheorie<br />
nur bei k ′ = k statt, was auch als k-Auswahlregel bezeichnet wird. Intrabandübergänge innerhalb<br />
eines Energiebandes sind in dieser Näherung verboten. Betrachtet man den zweiten Term von ˆ HEL, so<br />
findet man die gleiche Auswahlregel auch <strong>für</strong> Emissionsvorgänge.<br />
Die Elementarprozesse der Absorption bzw. Emission eines Photons sind also<br />
hνj(q)<br />
EV(k)<br />
EL(k)<br />
e −<br />
e −<br />
e −<br />
EL(k ′ )<br />
hνj(q)<br />
EV(k ′ )<br />
und es gelten die Erhaltungssätze von Energie und Impuls.<br />
e −<br />
Energiesatz EV(k) + hνj(q) = EL(k ′ )<br />
Impulssatz ¯hk + ¯hq = ¯hk ′ ≈ ¯hk<br />
Energiesatz EL(k) = EV(k ′ ) + hνj(q)<br />
Impulssatz ¯hk = ¯hk ′ + ¯hq ≈ ¯hk ′ ,
7.3 Phonon-Photon-Wechselwirkung<br />
In einem einfachen Modell des Festkörpers geht man davon aus, dass die thermischen Gitterschwingun-<br />
gen die Atome aus ihren Ruhelagen auslenken. Die dadurch entstehenden Abweichungen im periodi-<br />
schen Elektronenpotenzial führen zu der in Festkörpern wirksamen Elektron-Phonon-Kopplung, die die<br />
Ursache ist <strong>für</strong> die Umwandlung elektrischer Energie in Wärme nach dem Ohmschen Gesetz. Anderer-<br />
seits bilden sich durch die Auslenkungen auch atomare elektrische Dipole, sodass eine Dipoldichte oder<br />
Polarisation entsteht. Diese Dipolmomente sind bei gegeneinander schwingenden Nachbaratomen, also<br />
bei optischen Phononen, und bei polaren Halbleitern besonders groß und in einfacher Näherung pro-<br />
portional zu Auslenkung des Atoms aus seiner Ruhelage. Im elektrischen Feld der elektromagnetischen<br />
Strahlung E = − ˙ A ist dann als Polarisationsarbeit die Energie<br />
�<br />
E = −<br />
P(r, t) · E(r, t) d 3 r<br />
von der Strahlung aufzuwenden, die dem Energie-Operator des Lichtes hinzuzufügen ist, und die<br />
Phonon-Photon-Wechselwirkung beschreibt. Dazu wird die Polaristion P durch die<br />
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren b +<br />
l (p) bzw. bl (p) der Phononen,<br />
mit der Energie ¯hωl(p) und dem Impuls ¯hp, ausgedrückt, und die elektrische Feldstärke E durch die<br />
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren c +<br />
j (q) bzw. c j(q) der Photonen.
In dem Ausdruck der Phonon-Photon-Wechselwirkung treten dann Terme der Art c +<br />
j (q)bl (p) und<br />
b +<br />
l (p)cj (q) mit<br />
hνj(q) = ¯hωl(p) (Energiesatz) und ¯hq = ¯hp (Impulssatz)<br />
auf, die die Emission eines Photons bzw. die Absorption eines Photons beschreiben. Hierbei wird die<br />
Energie des Photons unmittelbar in die Energie eines Phonons umgewandelt, und der Impulssatz kann<br />
nur mit einem optischen Phonon mit p am Γ-Punkt, also bei ¯hp ≈ 0 erfüllt werden.<br />
Außerdem gibt es Terme, die Zweiphononenprozesse mit akustischen Phononen darstellen<br />
hνj(q) = ¯hωl1 (p1) + ¯hωl2 (p2) mit ¯hq = ¯hp1 + ¯hp2 ≈ 0,<br />
bei denen die Impulse der beiden Phononen entgegengesetzt gleich sein müssen.<br />
Die Absorption bzw. Emission eines Photons beschreiben dann die Diagramme:<br />
hνj(q)<br />
�<br />
¯hωl1(p1)<br />
¯hωl2 (p2)<br />
¯hωl1(p1)<br />
¯hωl2 (p2)<br />
hνj(q)<br />
Die optischen Eigenschaften von Halbleitern und Metallen werden hauptsächlich durch die Elektron-<br />
Photon-Phonon-Kopplung bestimmt.
7.4 Kohärente Zustände<br />
A) Zeitliche Kohärenz<br />
Betrachtet man die Emission eines Lichtquantes durch ein Atom, so beträgt eine typische Lebensdauer<br />
eines angeregten Zustandes etwa τc = 10−8 s, sodass die Länge des Wellenpaketes lc = cτc = 3 m und<br />
die Streuung der Kreisfrequenz aufgrund der Energie-Zeit-Unschärferelation ∆ω = 1<br />
= 5 · 10<br />
2τc<br />
7 s −1<br />
betragen (zum Vergleich: bei grünem Licht der Wellenlänge λ = 500nm ist ω = 4·10 15 s −1 ). Bei gebun-<br />
denen Atomen sind Kohärenzzeit τc und Kohärenzlänge lc deutlich kleiner. Teilt man ein Wellenpaket<br />
in zwei Strahlen und überlagert sie, nachdem sie unter-<br />
schiedliche Wegstrecken zurückgelegt haben, so kann man<br />
Interferenzerscheinungen nur beobachten, wenn der Weg-<br />
unterschied nicht größer ist als die Länge des Wellen-<br />
paketes lc, d.h. wenn zeitliche Kohäherenz besteht.<br />
B) Räumliche Kohärenz<br />
Betrachtet man gewöhnliche Lichtquellen, bei denen eine Vielzahl von Atomen unabhängig voneinander<br />
emittieren, so weisen die einzelnen Wellenpakete im Detektor keine Phasenkorrelation auf.<br />
Allerdings wird bei der Beobachtung von Licht ausgedehnter Körper (z.B. eines Sternes) meist<br />
eine räumliche Kohärenz der Phase festgestellt.
D d<br />
Stern<br />
R<br />
Detektor<br />
Räumliche Kohärenz ist gegeben, wenn der Wegunterschied zwischen verschiedenen Stellen der<br />
Lichtquelle zu verschiedenen Stellen des Detektors klein ist im Vergleich zur Wellenlänge der Strahlung.<br />
Sei D der Durchmesser des Strahlers und d der der Eintrittsöffnung der Messapparatur im Abstand<br />
R, so ist die <strong>für</strong> Interferenzexperimente erforderliche räumliche Kohärenz gegeben, falls Dd < λR ist,<br />
wobei λ = 2πc/ω die Wellenlänge des Lichtes bezeichnet. Führt man den Winkel α = D/R ein, unter<br />
dem der Strahler vom Beobachter aus erscheint, so ist die räumliche Kohäherenz <strong>für</strong> d < λ/α gegeben,<br />
und bei Flächenstrahlern beträgt die Kohärenzlänge senkrecht zur Beobachtungsrichtung l⊥ = λ/α<br />
und in Beobachtungsrichtung lc = cτc. Für den hellsten Fixstern Beteigeuze z.B. ist α = 2 · 10 −7 und<br />
bei Beobachtung mit grünem Licht der Wellenlänge λ = 500 nm ergibt sich l⊥ = 2 m.
C) Kohärenter Laserstrahl<br />
Bei Experimenten mit monochromatischem Licht hat man es bei gewöhnlichen Lichtquellen in der<br />
Regel mit vielen Photonen unterschiedlicher Phasen zu tun, die durch Teilchenzahlzustände |n〉 mit<br />
n = 0, 1, 2, . . . beschrieben werden, und die inkohärentes Licht genannt werden. Im Unterschied dazu<br />
emittieren Laser monochromatisches und kohärentes Licht, wobei die einzelnen Photonen als ebene<br />
Wellen E = E0 exp � i(q ·r−ωt + ϕ) � am Ort r0 und zur Zeit t0 die gleiche Phase φ = q ·r0 − ωt0 + ϕ<br />
besitzen. Dies wird im Laser mithilfe zweier Spiegel durch induzierte Emission erreicht, wenn das<br />
Medium bis zur Inversion angeregt ist.<br />
Der Operator des Vektorpotenzials der Photonen lautet nach Abschn. 7.1<br />
 = 1<br />
√ 2<br />
�<br />
2� �<br />
�<br />
¯h<br />
uj(q)<br />
2πενj(q)<br />
1<br />
√ exp {iq · r} cj(q, t) + uj(q)<br />
V 1<br />
√ exp {−iq · r} c<br />
V +<br />
�<br />
j (q, t)<br />
j=1<br />
q<br />
mit den Kreisfrequenzen 2πνj(q), den Polarisationsvektoren uj(q) und den Erzeugungs- und Vernich-<br />
tungsoperatoren <strong>für</strong> ein Photon c +<br />
j (q, t) bzw. cj (q, t), die nach Abschn. 7.1 durch j und q abgezählt<br />
werden. Zur Beschreibung des Laserlichtes betrachten wir ebene Wellen mit einer festen Kreisfrequenz<br />
ω und dem Ausbreitungsvektor |q| = ω/v, wobei v = c/ √ ε die Lichtgeschwindigkeit im Medium<br />
bezeichnet, in das das Laserlicht eingestrahlt wird. Wir setzen dann<br />
2πνj(q) = ω ; uj(q) = u ; c j (q, t) = cexp {−iωt} ; c +<br />
j (q, t) = c+ exp {iωt}<br />
mit zeitunabhängigen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren <strong>für</strong> ein Photon c + bzw. c.
Mit den Photonenzahlzuständen |n〉 gilt dann<br />
c + |n〉 = √ n + 1 |n + 1〉 ; c|n〉 = √ n |n − 1〉 ; [c, c + ] = 1 und 〈n|m〉 = δnm.<br />
Der zugehörige Operator des Vektorpotenzials lautet also<br />
 = 1<br />
�<br />
¯h<br />
√<br />
2 εω<br />
u 1<br />
√ V<br />
und der Operator der elektrischen Feldstärke ist<br />
�<br />
exp � i(q · r − ωt) � c + exp � − i(q · r − ωt) � c +�<br />
Ê = − ˆ˙<br />
�<br />
i ¯hω<br />
A = √2<br />
εV u<br />
�<br />
exp � i(q · r − ωt) � c − exp � − i(q · r − ωt) � c +�<br />
.<br />
Die einzelnen Photonen eines n-Photonenzustandes |n〉 sind nicht korreliert, d.h. haben keine feste<br />
Phasenbeziehung untereinander, sodass der Erwartungswert der elektrischen Feldstärke verschwindet<br />
〈n| Ê|n〉 = 0, denn es gilt 〈n|c|n〉 = 0 = 〈n|c+ |n〉.<br />
Die Operatoren der elektrischen Feldstärke Ê und der der Photonenzahl ˆn = c+ c sind wegen<br />
[ˆn, c] = [c + c, c] = −c und [ˆn, c + ] = [c + c, c + ] = c +<br />
nicht vertauschbar, und daher nicht gleichzeitig scharf messbar.
Dazu berechnen wir die Streuung ∆n bei der Messung der Photonenzahl mit dem Erwartungswert<br />
〈n|ˆn|n〉 = n<br />
∆n 2 = � n � � (ˆn − n1) 2 � � n � = 〈n|ˆn 2 − 2nˆn + n 2 1 |n〉 = 0.<br />
Die Streuung ∆E bei der Messung der elektrischen Feldstärke berechnen wir mit der Abkürzung<br />
a = exp � i(q · r − ωt) � zu<br />
∆E 2 = � n � � (Ê − 〈n| Ê|n〉)2� �<br />
�n = 〈n|Ê 2 |n〉<br />
= − 1 ¯hω � �<br />
n�(ac − a<br />
2 εV<br />
∗ c + ) 2��n � = 1 ¯hω<br />
2<br />
= 1 ¯hω<br />
2 εV 〈n|2c+ c + 1 |n〉 = ¯hω<br />
�<br />
n +<br />
εV<br />
1<br />
�<br />
.<br />
2<br />
Da n streuungsfrei gemessen wird, streuen die Messwerte <strong>für</strong> E.<br />
εV 〈n|aa∗ cc + + a ∗ ac + c|n〉<br />
Wir betrachten jetzt kohärentes Laserlicht, wobei die einzelnen ebenen Wellen die gleiche Phase<br />
besitzen sollen, und konstruieren einen kohärenten Zustand |α〉 = D(α)|0〉 mit α ∈ C und dem<br />
Vakuumzustand |0〉, und den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren c + , c, durch den Operator<br />
D(α) = exp � αc +� exp {−α ∗ �<br />
c}exp<br />
− 1<br />
2 |α|2�<br />
; D + (α) = exp � −αc +� exp {α ∗ �<br />
c} exp<br />
− 1<br />
2 |α|2�.<br />
Für nicht vertauschbare Operatoren a, b mit [a, b] = x und [a, x] = 0 = [b, x] berechnet man <strong>für</strong><br />
n = 0, 1, 2, . . .<br />
[a, b n ] = nb n−1 x und � a, exp {b} � = x exp {b} oder exp {b}a = (a − x) exp {b},
denn es ist<br />
[a, exp {b}] =<br />
�<br />
a,<br />
∞�<br />
n=0<br />
1<br />
n! bn�<br />
=<br />
∞�<br />
n=0<br />
1<br />
n! [a, bn ] =<br />
∞�<br />
n=1<br />
1<br />
n! nbn−1 x =<br />
∞�<br />
n=1<br />
bn−1 x = x exp {b}.<br />
(n − 1)!<br />
Durch vollständige Induktion beweist man exp {b}a n = (a − x) n exp {b} mit der Folge<br />
exp {b}exp {a} = exp {a − x} exp {b} = exp {a}exp {−x}exp {b} = exp {a} exp {b}exp {−x}.<br />
Daraus ergibt sich <strong>für</strong> a = −α ∗ c, b = −αc + und x = [a, b] = |α| 2 1<br />
D(α)D + (α) = exp � αc +� exp {−α ∗ c} exp � −αc +� exp {α ∗ c}exp � −|α| 2�<br />
= exp � αc +� exp � −αc +� exp {−α ∗ c}exp {α ∗ c}exp � |α| 2� exp � −|α| 2� = 1.<br />
Also ist der Operator D(α) unitär und der Zustand |α〉 ist normiert<br />
〈α|α〉 = � D(α)|0〉 � � D(α) � �0 � = 〈0|D + (α)D(α)|0〉 = 〈0|0〉 = 1.<br />
Setzt man nun a = c, b = αc + mit x = [a, b] = α1, so erhält man nach obiger Formel<br />
exp {b}a = (a − x) exp {b} ⇒ exp � αc +� c = (c − α1) exp � αc +� .<br />
Der Zustand |α〉 schreibt sich somit in der Form<br />
|α〉 = D(α)|0〉 = exp � αc +� exp {−α ∗ �<br />
c} exp<br />
− 1<br />
2 |α|2�|0〉<br />
= exp � αc +� �<br />
exp − 1<br />
2 |α|2�|0〉
und es folgt<br />
exp � αc +� cexp � −αc +� |α〉 = (c − α1) exp � αc +� exp � −αc +� |α〉 = (c − α1)|α〉<br />
= exp � αc +� cexp � −αc +� exp � αc +� �<br />
exp − 1<br />
2 |α|2�|0〉<br />
= exp � αc +� �<br />
exp − 1<br />
2 |α|2�c|0〉<br />
= 0.<br />
Also ist |α〉 eine Eigenfunktion von c zum Eigenwert α<br />
c|α〉 = α|α〉 mit 〈α|c|α〉 = α und 〈α|c + |α〉 = α ∗<br />
oder c + |α〉 = α ∗ |α〉.<br />
Damit findet man den Erwartungswert der elektrischen Feldstärke E im Zustand |α〉<br />
mit α = |α| exp {iϕ}<br />
� �<br />
�<br />
〈α| Ê|α〉 = α�<br />
i<br />
�<br />
¯hω<br />
√<br />
2 εV u<br />
�<br />
exp � i(q · r − ωt) � c − exp � − i(q · r − ωt) � c +�� �<br />
�<br />
�α<br />
= i<br />
�<br />
¯hω<br />
√<br />
2 εV u<br />
�<br />
exp � i(q · r − ωt) � α − exp � − i(q · r − ωt) � α ∗�<br />
= i<br />
�<br />
¯hω<br />
√<br />
2 εV u|α|<br />
�<br />
exp � i(q · r − ωt + ϕ) � − exp � − i(q · r − ωt + ϕ) ��<br />
= − √ �<br />
¯hω<br />
2 u|α| sin{q · r − ωt + ϕ}.<br />
εV
Der Zustand |α〉 =<br />
∞�<br />
|n〉〈n|α〉 ist eine Linearkombination verschiedener Photonenzahlzustände, die<br />
n=0<br />
sich zu einer einzigen ebenen Welle überlagern, was als kohärenter Zustand bezeichnet wird, und bei<br />
Lasern oberhalb der Anregungsschwelle auftritt.<br />
Zur Veranschaulichung der kohärenten Zustände |α〉 entwickeln wir sie nach den Basisfunktionen<br />
der Photonenzahlzustände |n〉, die wir durch Erzeugungsoperatoren c + und den Vakuumzustand |0〉<br />
ausdrücken<br />
|n〉 = 1<br />
√ n! c +n |0〉 mit 〈n|m〉 = δnm.<br />
Es ergibt sich wegen exp {−α∗c} |0〉 = |0〉<br />
�<br />
|α〉 = D(α)|0〉 = exp − 1<br />
2 |α|2� exp � αc +� exp {−α ∗ c} |0〉<br />
�<br />
= exp − 1<br />
2 |α|2� exp � αc +� |0〉<br />
�<br />
= exp − 1<br />
2 |α|2� �∞<br />
αn n! c+n �<br />
|0〉 = exp − 1<br />
2 |α|2� �∞<br />
αn √ |n〉.<br />
n!<br />
n=0<br />
Aus der Reihenentwicklung nach den Photonenzahlzuständen |α〉 =<br />
scheinlichkeit da<strong>für</strong>, im Zustand |α〉 n Photonen zu finden<br />
Wn(α) = � � 〈n|α〉 � � 2 = |α| 2n<br />
n!<br />
exp � − |α| 2� mit<br />
n=0<br />
∞�<br />
|n〉〈n|α〉 ergibt sich die Wahr-<br />
n=0<br />
∞�<br />
Wn(α) = 1.<br />
n=0
� 2<br />
Diese Wahrscheinlichkeit ist eine Poisson-Verteilung Wn(α) = Pn |α| � mit<br />
4<br />
×10 W1(α)<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
Pn(x) = xn<br />
n!<br />
W5(α)<br />
W9(α)<br />
exp {−x} mit<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
α<br />
2<br />
×10<br />
1<br />
0<br />
∞�<br />
Pn(x) = 1 und<br />
n=0<br />
Wn(2)<br />
Die mittlere Photonenzahl im kohärenten Zustand |α〉 ist<br />
〈α|ˆn|α〉 =<br />
�<br />
0,1,...∞<br />
n,m<br />
〈α|n〉〈n|ˆn|m〉〈m|α〉 =<br />
= exp � − |α| 2� ∞ �<br />
n=0<br />
� ∞<br />
Pn(x) dx = 1.<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
�<br />
0,1,...∞<br />
n,m<br />
n |α|2n<br />
n! = exp � − |α| 2� |α| 2<br />
〈α|n〉mδnm〈m|α〉 =<br />
∞�<br />
n=1<br />
∞�<br />
n � �2 � 〈α|n〉 � =<br />
n=0<br />
|α| 2(n−1)<br />
(n − 1)! = |α|2 ,<br />
∞�<br />
nWn(α)<br />
n=0<br />
n
und <strong>für</strong> die Streuung bei der Messung der Photonenzahl erhält man ∆n = |α|:<br />
denn es ist<br />
n=0<br />
∆n 2 = � α � � � ˆn − 〈α|ˆn|α〉 � 2 � �α � =<br />
=<br />
=<br />
=<br />
∞� � 2<br />
n − |α| �2� �2 �〈n|α〉 � =<br />
n=0<br />
∞�<br />
n=0<br />
∞�<br />
n=0<br />
n 2 Wn(α) − 2|α| 2<br />
�<br />
0,1,...∞<br />
n,m<br />
〈α|n〉 � n � � � ˆn − |α| 2� 2 � �m � 〈m|α〉<br />
∞� � 2<br />
n − |α| �2 Wn(α)<br />
n=0<br />
∞�<br />
nWn(α) + |α| 4<br />
n=0<br />
n 2 Wn(α) − |α| 4 = |α| 2 ,<br />
∞�<br />
Wn(α)<br />
n=0<br />
∞�<br />
∞�<br />
n(n − 1)Wn(α) = n(n − 1)<br />
n=0<br />
|α|2n<br />
exp<br />
n!<br />
� − |α| 2�<br />
= |α| 4<br />
∞� |α| 2(n−2)<br />
(n − 2)! exp� − |α| 2� = |α| 4<br />
=<br />
n=2<br />
∞�<br />
n 2 Wn(α) −<br />
n=0<br />
∞�<br />
nWn(α) =<br />
n=0<br />
∞�<br />
n=0<br />
n 2 Wn(α) − |α| 2 .