Anschlusssicherung

Inhaltsverzeichnis
Anschlusssicherung
Josef Becker
21. September 2006
1 Einleitung 2
1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Optimierungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Nebenpfad: Event-Activity-Netzwerk . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Nebenpfad: Modellierung als Graph und LP-Formulierung 6
1.2.3 Nebenpfad: Verspätungsproblem mit festen Verbindungen 8
1.2.4 Nebenpfad: LP-Formulierung mit Never-Meet-Eigenschaft 9
1.3 Optimierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Branch and Bound 13
2.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Nebenpfad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Literatur und Programme 25
3.1 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1

Optimierung
des Gesamtsystems
Disposition
von
Anschlüssen
1 Einleitung
1.1 Einführung
Ziel sowohl für die Planung als auch für den Betrieb von Systemen des öffentlichen
Verkehrs ist die Gesamtoptimierung des ÖV-Systems, d. h. eine möglichst
hohe Verkehrsqualität bei möglichst geringen Kosten.
Da in der Regel eine Gesamtoptimierung des ÖV nicht möglich ist, müssen
verschiedene Teilbereiche optimiert werden. Die wichtigsten sind nachfolgend
dargestellt. Zwischen den Teilbereichen gibt es vielfältige Rückkopplungen.
Ein wichtiger Aspekt der Betriebsdurchführung ist die Anschlusssicherung, d.h.
die Frage, ob im Verspätungsfall Anschlussfahrzeuge warten sollten oder nicht.
Das Anschlusssicherungsproblem wird in der Literatur häufig auch als Verspätungsmanagement
(oder Delay Management) bezeichnet.
Wann ein Anschluss gehalten werden sollte und wann nicht, wird in diesem
Fallbeispiel näher erläutert.
Hierbei wird die Anschlusssicherung mit Hilfe der Optimierung näher betrachtet,
nicht jedoch die Anschlusssicherung mit Hilfe der Simulation, mit Hilfe
von stochastischen Analysen von Verspätungen oder mit Hilfe von Warteregeln.
Einen Überblick über die nicht näher dargestellten Themenfelder ist in
[SCHÖBEL 2005b] und [SCHÖBEL 2002] zu finden.
2

1.2 Optimierungsaufgabe
Vorbemerkung Die Anschlusssicherung ist ein Teilbereich der Durchführung des ÖV-Betriebs
und baut auf den Ergebnissen der Planung des ÖV-Betriebs auf.
Eine besonders enge Verbindung besteht zumFahrplan. Die Anschlusssicherung
dient dazu, die im Fahrplan festgelegtenAnschlussverbindungen zu gewährleisten,
wenn ein oder mehrere Fahrzeuge verspätet sind. Dazu ist es nötig, im
Verspätungsfall einen neuen, zulässigen Fahrplan zu konstruieren.
Die Anschlusssicherung kann Auswirkungen auf die Umläufe der Fahrzeuge
und dieDienste des Fahrpersonals haben: Durch das Warten auf verspätete
Fahrzeuge können sich Verspätungen fortpflanzen. Dies kann dazu führen, dass
die geplanten Umläufe und Dienste nicht verwirklicht werden können.
Aufgabe Es ist zu entscheiden, ob ÖV-Anschlussverbindungen gehalten werden oder
nicht.
Optimierungsziel
und
Optimierungskriterien
Ziel ist es, die Auswirkung der Verspätungen von Fahrzeugen auf die Fahrgäste
und das Verkehrssystem zu minimieren.
Optimierungskriterien sind
• die Abweichungen zum Fahrplan,
• die Gesamtverspätung,
• die Anzahl verpasster Anschlüsse (evtl. gewichtet nach Produkten),
• die Anzahl von Kunden mit verpassten Anschlüssen,
• die Anzahl verspäteter Fahrzeuge,
• die Summe der Verspätungsminuten aller Reisenden,
• die über alle Kunden gemittelte Verspätung,
• die maximale Verspätung der betroffenen Reisenden oder
3

Eingangsgrößen
Entscheidungsvariablen
Randbedingungen
• die Kosten für die Umsetzung des Fahrplans.
Häufig wird ein bikriterieller Ansatz verwendet, bei dem zwei der genannten Kriterien
berücksichtigt werden, z. B. die Anzahl der nicht gehaltenen Verbindungen
und die Summe der Verspätungen der Fahrzeuge oder der Fahrgäste. (Vgl.
[WAGNER 2003], [MEGYERI 2004], [GINKEL, SCHÖBEL 2002], [SCHÖBEL 2005b]).
Zur Bearbeitung der Aufgabe werden folgende Daten benötigt:
• Verspätungen der Fahrzeuge,
• Pufferzeiten (bei Fahrzeiten und Wendezeiten),
• im Fahrplan vorgesehene Umsteigebeziehungen,
• benötigte Umsteigezeiten für den jeweiligen Umsteigeweg,
• Verkehrsströme (Anzahl und Anteil umsteigender Fahrgäste).
Im Rahmen der Optimierung variabel ist die Entscheidung, welcher Anschluss
gehalten werden soll und welcher nicht gehalten werden soll.
Folgende Größen können in der Regel im Rahmen der Optimierung nicht verändert
werden:
• Fahrplan,
• die technisch möglichen Fahrzeiten,
• Mindestumsteigezeiten,
• Verkehrsströme (Fahrgäste).
4

Modellierung Das Anschlusssicherungsproblem wird als gerichteter Graph modelliert, der
auch als Event-Activity-Graph oder Event-Activity Netzwerk bezeichnet wird.
Darauf aufbauend lassen sich kubische, quadratische und lineare Modelle
formulieren. Einen Überblick hierüber gibt [SCHOLL 2001]. Beispiele sind
lineare Programme für das Verspätungsproblem mit festen Verbindungen oder
mit Never-Meet-Eigenschaft.
Die Never-Meet-Eigenschaft bedeutet, dass sich im Netz keine zwei verspäteten
Aktivitäten an einem Ereignis treffen. Dies ist eine häufig verwendete
Annahme, die nötig ist, damit die Probleme polynomial lösbar bleiben.
Darüber hinaus gibt es auch nicht-lineare gemischt-ganzzahlige Programmierungsansätze
(vgl. [SCHÖBEL 2005b], S. 109).
Eine Modellierung unter den Randbedingungen der Bahn zeigt [MARTIN 1995].
Event-
Activity-
Netzwerk
1.2.1 Nebenpfad: Event-Activity-Netzwerk
Zu einem Transportnetzwerk G = (V, K)(mit V gleich der Menge der Haltestellen
und K gleich der Menge gerichteter, direkter Fahrstrecken), einer Menge
Z von Zügen und einem Fahrplan Π besteht das zugehörige Event-Activity-
Netzwerk N = (E, A) aus der Knotenmenge E bestehend aus den Ereignissen
E = Earr ∪ Edep
und den gerichteten Kantenmengen A bestehend aus den Aktivitäten
A = Adrive ∪ Await ∪ Achange.
Dabei bezeichnet
Earr die Menge aller Ankunftsereignisse (z, v, arr), mit z ∈ Z und v ∈ V
Edep die Menge aller Abfahrtsereignisse (z, v, dep),
Adrive die Menge aller direkten Fahrten ((z, v, dep), (z, u, arr)) ∈ Edep ×
Earr,
Await die Menge aller Zughalte ((z, v, arr), (z, v, dep)) ∈ Earr × Edep und
Achange die Menge aller Umstiege ((z, v, arr), (h, v, dep)) ∈ Earr × Edep.
E = Earr ∪ Edep
A = Adrive ∪ Await ∪ Achange
Quelle: [SCHÖBEL 2002]
Zu einem Event-Activity-Netzwerk N = (E, A), einem Fahrplan Π und den
, i ∈ E heißt ein neuer Fahrplan X zulässig, falls
gilt:
für alle Ereignisse i ∈ E und
Verspätungszeiten t delay
i
Xi ≥ Πi + t delay
i
5

Modellierungsansätze
Xi − Xj ≥ Ta für alle a = (i, j) ∈ Await ∪ Adrive.
Dabei bezeichnet Ta die minimale Zeit zwischen den Ereignisseni undj.
1.2.2 Nebenpfad: Modellierung als Graph und LP-Formulierung
In [SCHÖBEL, SCHRÖDER 2003] stellt Scholl Modelle mit kubischer, quadratischer
und linearer Zielfunktion dar.
Nachfolgend wird ein Modellierungsansatz gemäß [WAGNER 2003] beschrieben.
Graph Sei G = (V, E) ein Transportnetzwerk, V die Menge der Bahnhöfe, E die Menge
gerichteter, direkter Fahrstrecken und Z die Menge von Zügen. h entspricht
einem Anschlusszug.
Für einen Zug z ∈ Z bezeichne V z ⊆ V die Menge der Bahnhöfe, an denen
z ∈ Z hält.
E z ⊆ V z × V z ist die Menge direkter Fahrstrecken von z ∈ Z.
Zu z, h und v ∈ V z ∩ V h heißt (z, h, v) Verbindung, falls der Umstieg vonz
nach h an Bahnhof v möglich ist.
C ⊆ Z × Z × V bezeichne die Menge aller Verbindungen.
Fahrplan Ein Fahrplan Π sei gegeben durch
die Ankunftszeiten Πv arrz vonz an v und
die Abfahrtszeiten Πv von z anv
depz
für alle Züge z ∈ Z und Bahnhöfe v ∈ V z .
Ein Fahrplan ist zulässig, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
Haltebedingungen
Fahrbedingungen
T v z sei die minimale Zeit, die es Passagieren ermöglicht, am Bahnhof v inz einbzw.
aus z auszusteigen. Dann soll gelten
Π v depz − Πv arrz ≥ T v z .
Wir nennen die Zeitdifferenz
s v z := Π v depz − Πv arrz − T v z
die Slack Time von z an v.
Für z ∈ Z und zwei aufeinanderfolgende Bahnhöfe v, u, an denen z hält, sei
T vu
z die minimale Fahrzeit, die z benötigt, um vonv nach u zu gelangen. Dann
soll gelten
Π u arrz − Πv depz
≥ T vu
z .
Die zugehörige Slack Time ist
s vu
z := Π u arrz − Πv depz
− T vu
z .
6

Umsteigebedingungen
zulässiger
Fahrplan
eingehaltene
und verpasste
Verbindungen
LP-
Formulierung
Für z, h ∈ Z, Bahnhof v und Verbindung (z, h, v) ∈ C bezeichne T v zh die
minimale Umsteigezeit, die für einen Umstieg von z nachh an v benötigt wird.
Dann soll gelten
Π v deph − Πv arrz ≥ T v zh .
Die zugehörige Slack Time ist
s v zh := Πv deph − Πv arrz − T v zh .
Es bezeichne die Verspätungszeit von z bei Ankunft an v und Edel = {(z, v) :
t delay
i
v
z > 0} die Menge aller Ausgangsverspätungen.
Wir gehen davon aus, dass alle Zeiten natürliche Zahlen sind.
Gegeben sei ein Fahrplan Π und eine Menge von Ausgangsverspätungen Edel.
Ein neuer Fahrplan X heißt zulässig, falls gilt:
1. X v arrz ≥ Πv arrz
+ ddelay
i
v
g für alle z ∈ Z, v ∈ V z ,
2. X v depz ≥ Πv depz für alle z ∈ Z, v ∈ V z ,
3. X v depz − Xv arrz ≥ T v z für alle z ∈ Z, v ∈ V z ,
4. X u arrz − Xv depz
≥ T vu
z für alle z ∈ Z, (v, u) ∈ E z .
Eine Verbindung (z, h, v) ∈ C heißteingehalten, falls
X v deph − Xv arrz ≥ T v zh .
Ansonsten heißt die Verbindungverpasst.
Gegeben sei ein Fahrplan Π und eine Menge von Ausgangsverspätungen Edel =
{(z, v) : t delay
i
v
z > 0}.
Führt man folgende Variablen ein:
Abfahrtsverspätung von z an v,
Y v
depz
Ankunftsverspätung
�
von z an v,
0 falls Verbindung (z, h, v) eingehalten,
Φzhv =
1 falls Verbindung (z, h, v) verpasst.
dann gilt
Y v
arrz
Xv depz = Πv v + Y depz depz und
Xv arrz = Πv v
arrz + Yarrz .
Sei M = maxz∈Z,v∈V t delay v
i z die maximal auftretende Verspätungszeit, dann
ist (Ydep, Yarr, Φ) zulässig, falls folgende Bedingungen erfüllt sind.
1. Y v
arrz
≥ tdelay
i
v
z für alle (z, v) ∈ Edel,
7
�
,

Verspätungsproblem
mit
festen
Verbindungen
2. Y v
arrz
3. Y v
depz
− Y v
depz ≤ sv z für alle z ∈ Z, v ∈ V z ,
− Y u
arrz
4. −M · Φzhv + Y v
arrz
≤ svu
z für alle v, u ∈ V z und z ∈ Z : (v, u) ∈ E z ,
v − Ydeph ≤ sv zh für alle (z, h, v) ∈ C,
5. Y v v
arrz , Ydepz ∈ N für alle z ∈ Z, v ∈ V z ,
6. Φzhv ∈ {0, 1} für alle (z, h, v) ∈ C.
1.2.3 Nebenpfad: Verspätungsproblem mit festen Verbindungen
Nachfolgend wird das Verspätungsproblem mit festen Verbindungen T T � C fix�
beschrieben.
Gegeben sei ein Transportnetzwerk G = (V, K), eine Menge Z von Zügen,
die Verbindungen C ⊆ Z × Z × V , ein Fahrplan Π, minimale Zeiten für Halte,
Fahrzeiten und Umstiege und eine Menge von Ausgangsverspätungen.
Zusätzlich seien Gewichte w v z für alle z ∈ Z und v ∈ V gegeben, sowie eine
Menge fester Verbindungen C fix ∈ C.
Gesucht ist nun ein neuer Fahrplan X,
• der zulässig ist,
• alle Verbindungen aus C fix ∈ C einhält,
• und für den die totale Verspätung T D
T D =
�
w v � v
z Xarrz − Π v �
arrz
minimal ist.
z∈Z,v∈V z
Folgend wird eine weitere Äquivalente Formulierung von T T � Cfix� dargestellt
Gegeben sei ein Event-Activity Netzwerk N = (E, A), ein Fahrplan Π und
Verspätungszeiten d delay
i zu i ∈ E, sowie Gewichte wi und eine Menge fester
Verbindungen Afix .
Finde einen neuen Fahrplan X, mit
• Xi ≥ Πi + d delay
i
für alle i ∈ E,
• Xj − Xi ≥ Ta für alle
�
a = (i, j) ∈ Await Adrive
� fix A und
• T D = �
i∈E wi · Xi minimal.
8

LP-
Formulierung
mit
Never-Meet-
Eigenschaft
1.2.4 Nebenpfad: LP-Formulierung mit Never-Meet-Eigenschaft
Setze zu� p ∈ P
�
0 falls Verbindungen auf p eingehalten werden,
Φp =
1 sonst
LP-Formulierung zu TDM (Totel Delay Management):
min T D = �
wp(Yi(p) (1 − Φp) + T Φp)
p∈P
wobei i(p) letztes Ereignis auf p ist. Dabei gelte
1. Yi ≥ d delay
i
für alle i ∈ Edel,
2. Yi − Yj ≤ sa für alle a = (i, j) ∈ Await ∪ Adrive,
3. −MΦp + Yi − Yj ≤ sa für alle p ∈ P, a = (i, j) ∈ p ∩ Achange,
4. Yi ∈ N für alle i ∈ E und
5. Φp ∈ {0, 1} für alle p ∈ P .
Seien die Gewichte wa fest für alle a ∈ A, und zwar
wa = �
p∈P :a∈p
wp
LP-Formulierung zu TDM ist dann
min T D =
�
wa(Yi − Yj) + �
Dabei gelte
a=(i,j)∈A
1. Yi ≥ d delay
i
für alle i ∈ Edel,
a=(i,j)∈Achange
2. Yi − Yj ≤ sa für alle a = (i, j) ∈ Await
waΦa(T − Yj)
� Adrive,
3. −MΦa + Yi − Yj ≤ sa für alle a = (i, j) ∈ Achange,
4. Yi ∈ N für alle i ∈ E,
5. Φa ∈ {0, 1} für alle a ∈ A.
Das TDM hat dieNever-Meet-Eigenschaft, falls zu jeder beliebigen Menge
von Aktivitäten Afix ⊆ Achange die minimale Lösung Y für alle j ∈ E erfüllt:
falls (i1, j), (i2, j) ∈ Afix � �
Await Adrive und Yi2 ≥ 0 dann Yi1 = 0,
bzw.
falls (i1, j) ∈ A und d delay
j > 0 dann Yi1 = 0.
Die Never-Meet-Eigenschaft bedeutet, dass sich im Netz keine zwei verspäteten
Aktivitäten an einem Ereignis treffen.
9

TDM kann in Linearzeit gelöst werden, wenn die Never-Meet-Eigenschaft erfüllt
ist.
10

Optimierungsverfahren
genetische
Algorithmen
Simulated
Annealing
weitere
heuristische
Verfahren
1.3 Optimierungsverfahren
Zur Optimierung der Umlaufpläne können folgende Optimierungsverfahren eingesetzt
werden:
1. Heuristische Verfahren
• genetische Algorithmen
• Simulated Annealing
• weitere heuristische Verfahren
2. Entscheidungsbaumverfahren
• Branch-and-Bound
• Branch-and-Cut
3. graphentheoretische Verfahren
4. Dynamische Programmierung
5. Netzplantechniken
6. Enumeration
Bei der Optimierung der Anschlusssicherung wird die mathematische Optimierung
häufig nur zur Entscheidungsunterstützung eingesetzt. Die Verspätungen
der einzelnen Fahrzeuge und Auswirkungen auf Anschlussfahrten werden graphisch
(z. B. GIS-gestützt) dargestellt. Die Entscheidung wird dann von einem
Disponenten getroffen.
Genetische Algorithmen werden verwendet, um neue zulässige Fahrpläne für die
gegebene Verspätung zu finden. [SCHÖBEL, SCHRÖDER 2003]
Ebenso wie mit genetischen Algorithmen können mit Hilfe von Simulated Annealing
neue zulässige Fahrpläne gefunden werden. [SCHÖBEL, SCHRÖDER 2003]
Aufgrund der Komplexität und Größe praktischer Anwendungen kommen verschiedene
heuristische Verfahren zum Einsatz. Diese basieren auf der Beschreibung
des Modells als gemischt-ganzzahligem Programm. [SCHÖBEL, SCHRÖDER 2003]
11

Branch-and-
Bound-
Verfahren
Branch-and-
Cut-Verfahren
graphentheoretische
Verfahren
dynamische
Programmierung
kritischer-
Pfad-
Methode
Das gemischt-ganzzahlige Programm kann mit Hilfe von Branch-and-Bound
in Teilprobleme aufgespalten werden. Zur Aufspaltung dienen Binärvariablen,
die abbilden, ob ein Anschluss erreicht oder verpasst wird. (Vgl. außerdem
[SCHOLL 2001], S. 53 und [SCHÖBEL 2005b], S. 170, S. 188)
Zusätzlich zum Vorgehen bei Branch-and-Bound kann bei Branch-and-Cut durch
die Einführung von Nebenbedingungen in Form von Schnittebenen der Lösungsraum
verkleinert und die Lösungsfindung beschleunigt werden.
Unter der Vereinfachung, dass keine Zwischenstopps vorgesehen sind, kann das
Problem graphentheoretisch betrachtet werden. Minimiert werden kann so die
Gesamtverspätung und die Anzahl der aufgelassenen Anschlüsse. [MEGYERI 2004]
Mit Hilfe der dynamischen Programmierung kann in einem Event-Activity-
Netzwerk eine optimale Lösung gefunden werden. In [MEGYERI 2004] ist dies
für gleich gewichtete Anschlüsse unter der Voraussetzung der Never-Meet-
Eigenschaft beschrieben.
Wagner [WAGNER 2003] und Megyeri [MEGYERI 2004] schlagen eine Kritischer-
Pfad-Methode vor, um eine optimale Lösung für das Verspätungsproblem zu
finden, welches als Event-Activity-Netzwerk formuliert ist.
Enumeration Schöbel [SCHÖBEL 2005b] (S. 175) schlägt auch eine Lösung des TDM mit
Hilfe der Enumeration vor.
12

Situationsbeschreibung
2 Branch and Bound
2.1 Beispiel
Eine S-Bahn-Linie beginnt in Stadt A und endet in der Stadt B. Es gibt einen
Anschlussbus, der weiter in die Nachbarstadt C fährt. Der Anschluss soll so
optimiert werden, dass dieWartezeit aller Reisenden minimal ist.
Der einfachste Fall der Anschlusssicherung lässt sich folgendermaßen darstellen:
Die S-Bahn- und die Buslinie verkehren im 15 Minuten-Takt. Der Fahrplan
sieht vor, dass die S-Bahn zur Minute 10 (dann alle 15 min) ankommt. Der
Anschlussbus fährt zur Minute 15 (und danach alle 15 Minuten) ab.
Die Situation lässt sich mit Hilfe eines gerichteten Graphen G = (V, K) beschreiben.
Die Knoten sind die Städte V = {A, B, C}. Die Kanten stellen jeweils eine
Verkehrslinie dar: Die S-Bahn-Linie wird mit (A, B) bezeichnet, die Bus-Linie
mit (B, C).
Ziel Ziel ist es, die Gesamtwartezeit aller Passagiere im betrachteten System zu minimieren.
Die Gesamtwartezeit ergibt sich aus der Summe der Wartezeit pro Fahrgast für
jede vorkommende Relation (wi,j), multipliziert mit der Anzahl der Reisenden
auf der jeweiligen Relation (pi,j):
min( pA,C ∗ wA,C + pB,C ∗ wB,C)
Die Anzahl der Reisenden der verschiedenen Relationen sind einer Quelle-Ziel-
Matrix zu entnehmen.
Die Warte- bzw. Verspätungszeiten für die einzelnen Relationen werden als
Nebenbedingungen berücksichtigt.
13

Welche Verspätung hat ein Reisender von A nach C, wenn der Zug eine Verspätung
von 7 Minuten hat und der Anschlussbus wartet?
(Für das Beispiel wird vereinfachend angenommen, dass der Zeitbedarf für den
Umsteigevorgang der Passagiere bei 0 Minuten liegt.) 2
Rechenbeispiel Die Verspätung des S-Bahn-Zuges betrage 10 Minuten.
Wie groß die Wartezeit für die Reisenden der beiden betroffenen Relationen ist,
hängt von der Dispositionsentscheidung ab. Die Werte können nachfolgender
Tabelle entnommen werden.
Wartezeiten Dispositionsentscheidung Verspätung für jeden Rei- Verspätung für jeden Reisenden
von A nach C senden von B nach C
Bus wartet 5 min 5 min
Bus wartet nicht 15 min 0 min
Fahrgastzahlen Die Zahl der Reisenden betrage 40 Personen auf der Relation A - C und 20
Personen auf der Relation B - C. Setzt man dies in die Zielfunktion ein, so
ergeben sich folgende Werte:
Dispositionsentscheidung
Verspätung
für Reisende
A - C
Anzahl der
Reisenden A
- C
Verspätung
für Reisende
B - C
Anzahl der
Reisenden B
- C
Zielfunktionswert
(= Gesamtwartezeit
im Betrachtungsraum)
Bus wartet 5 min 40 5 min 20 300 min
Bus
nicht
wartet 15 min 40 0 min 20 600 min
Entscheidung Die Wartezeit aller Reisenden ist geringer, wenn der Anschlussbus wartet.
Branching Stellt man das Problem mit einem Entscheidungsbaum im Rahmen des Branchand-Bound-Verfahrens
dar, ergibt sich das nachfolgende Bild. Die Verzweigung
erfolgt anhand der Dispositionsentscheidung x, den Anschluss zu halten (x=1)
oder den Anschluss nicht zu halten (x=0). Hierfür werden die Zielfunktionswerte
bestimmt.
14

Nebenbedingungen
Welche Entscheidung wäre zu treffen, wenn 30 Reisende von B nach C fahren
wollen und 20 von A nach C?
true Der Bus wartet.
false Der Bus wartet nicht.
2.1.1 Nebenpfad:
Nachfolgend sei vB die Verspätung des Zuges in B. Betrachtet werden nur Verspätungen,
die kleiner sind als die Taktzeit.
Die Dispositionsentscheidung in B wird durch die Binärvariable xB ausgedrückt,
die den Wert 1 oder 0 annehmen kann. Eine 1 bedeutet, dass der Anschluss
gehalten wird. Eine 0 bedeutet, dass der Anschluss nicht gehalten wird.
Die Wartezeit bzw. Verspätungszeit für Reisende auf der Relation von B
nach C beträgt bei einer Übergangszeit von 5 Minuten:
wB,C ≥ (vB − 5) ∗ xB (mit wB,C ≥ 0)
Bei der angestrebten Formulierung als lineares Programm ist es nicht möglich,
dass die Variablen vB und xB miteinander multipliziert werden.
Die Gleichung muss linearisiert werden:
wB,C ≥ (vB − 5) − M ∗ (1 − xB) (mit wB,C ≥ 0)
Dabei ist M eine große Zahl, durch die wB,C zu Null wird, wenn der Anschluss
nicht gehalten wird.
Das bedeutet, dass die in B zusteigenden Fahrgäste keine Verspätung haben,
wenn der Bus in B nicht auf das verspätete Fahrzeug wartet.
Für Reisende von A nach C, die in B umsteigen müssen, gilt:
wA,C ≥ wB,C + 15 ∗ (1 − xB) (mit wA,C ≥ 0)
Für den Fall, dass der Anschluss gehalten wird, ist die Verspätung gleich der
Verspätung, die die Reisenden von B nach C erhalten.
Für den Fall, dass der Anschluss nicht gehalten wird, müssen die Reisenden
die nächste Fahrt der anschließenden Buslinie nutzen und erhalten somit eine
zusätzliche Verspätung, so dass sie mindestens eine Verspätung um die Taktzeit
(hier: 15 Minuten) erhalten. Dazu kommen evtl. weitere Verspätungen des
genutzten Buses von B nach C.
15

Situationsbeschreibung
Anschlusssicherung
2.2 Beispiel
Das gleiche Busunternehmen betreibt neben der Linie 1 von B nach C auch die
Linie 2 von C nach D (Taktzeit ebenfalls 15 Minuten).
Die beiden Bus-Linien treffen sich an der zentralen Umsteigehaltestelle von C.
Die Busse der Linie 1 fahren fahrplanmäßig 5 Minuten nach dem Eintreffen der
S-Bahn ab.
Ebenso besteht zwischen den Buslinien 1 und 2 eine fahrplanmäßige Übergangszeit
von 5 Minuten.
In einem solchen Teilnetz sind an zwei Stellen Dispositionsentscheidungen zu
treffen:
In B und in C kann im Verspätungsfall der Anschluss gehalten werden oder
nicht.
Branching Da das System nicht einfach zu überblicken ist, wird es in Teilprobleme aufgespalten.
Zunächst kann das Gesamtproblem P 0 an Knoten B anhand der möglichen
Entscheidungen ” Bus wartet nicht“ (xB = 0 ) oder ” Bus wartet“ (xB = 1) in
die Teilprobleme P 1 und P 2 aufgespalten werden.
Diese wiederum können anhand der Dispositionsentscheidung in C (xC = 0 oder
xC = 1) verzweigt werden, so dass die Teilprobleme P 3 bis P 6 entstehen.
16

2.3 Beispiel
Rechenbeispiel Die S-Bahn hat eine Verspätung von 11 Minuten.
Quelle-Ziel-
Matrix
Ablauf
Branch-and-
Bound
Mit Hilfe einer Verkehrszählung wurde die Quelle-Ziel-Matrix ermittelt:
A B C D
A 100 80 0
B 20 30
C 25
D
Die Berechnung wird schrittweise in der nachfolgenden Diashow dargestellt:
Bounding Am dargestellten Rechenbeispiel sieht man, dass nicht unbedingt alle Teilprobleme
vollständig untersucht werden müssen, um die optimale Lösung zu finden.
Beim Anschlusssicherungsproblem nehmen die Zielfunktionswerte (also die Verspätungsminuten
aller Reisenden) mit zunehmender Tiefe des Baums weiter zu.
Die Teilprobleme P 3 und P 4 beispielsweise können nie eine geringere Summe
der Verspätungszeit aufweisen als das Teilproblem P 1.
Wenn also P 5 und P 6 einen niedrigeren Zielfunktionswert (d. h. eine geringere
Gesamtverspätung) liefern als P 1, müssen P 3 und P 4 nicht weiter ausgelotet
werden, da sie keine besseren Ergebnisse liefern können.
Der Zweig des Baumes kann abgeschnitten werden.
Was kann über die Gesamtwartezeiten der Teilprobleme allgemein gesagt werden.
true Die Zielfunktionswerte für P 3 und P 4 sind immer gleich groß oder größer
als bei P 1.
false Die Zielfunktionswerte für P 3 und P 4 sind immer kleiner als bei P 1.
true Ist der Zielfunktionswert von P 3 oder P 4 kleiner als der von P 2, so
müssen die Zielfunktionswerte von P 5 und P 6 nicht berechnet werden.
false Der optimale Zielfunktionswert ist erst sicher gefunden, wenn alle Teilprobleme
ausgelotet sind.
17

Situationsbeschreibung
Liniennetz
Vereinfachtes
Liniennetz
Randbedingungen
2.4 Beispiel
In dem Busnetz einer Kleinstadt, das im 30-Minuten-Takt befahren wird, gibt
es verschiedene Anschlussbeziehungen.
In der Betriebsleitzentrale entscheidet ein Disponent, ob die Anschlüsse gehalten
werden sollen oder nicht.
Um dies für die Fahrgäste optimal gestalten zu können, erhält er einen Dispositionsvorschlag,
der die Wartezeiten aller Reisenden im Netz berücksichtigt.
Aufgrund der speziellen verkehrlichen und betrieblichen Randbedingungen des
Liniennetzes der Stadt können die zu betrachtenden Anschlussbeziehungen vereinfacht
werden.
Exemplarisch wird die Fahrtrichtung von A nach E betrachtet.
Für das Busnetz gelten folgende Randbedingungen:
• Die Busse fahren im 30-Minuten-Takt.
• Die Ankunft und Abfahrt der Busse an den Haltestellen liegt in der gleichen
Minute.
• Die Fahrzeiten beinhalten keine Pufferzeiten, die zum Abbau von Verspätungen
verwendet werden könnten.
• Die Anschlüsse zwischen den Linien sind so gestaltet, dass die Umsteigezeiten
minimal sind: Die Fahrzeuge kommen zur selben Minute an der
Haltestelle an und fahren auch zur gleichen Minute wieder ab. Die Umsteigehaltestellen
sind so aufgebaut, dass die Umsteigewege in kürzester
Zeit zurückgelegt werden können.
18

Quelle-Ziel-
Matrix
• In nennenswerter Größe kommen nur einmalige Umsteigevorgänge vor.
Der Anteil der Fahrgäste, die mehrmals umsteigen, ist vernachlässigbar.
• Es werden nur die Reisezeiten der Kunden zur Bewertung der Dispositionsentscheidung
herangezogen. Die Folgen für das Verkehrsunternehmen,
d. h. möglicherweise entstehende Probleme in der Fahrzeug- und Personaldisposition
sowie zusätzliche Kosten, werden nicht beachtet.
Bei einer Verkehrszählung wurden die relvanten Verkehrsströme ermittelt.
nach A nach B nach C nach D nach E
von A 60 50 0 0
von B 40 75 0
von C 60 40
von D 30
von E
Der Bus von A nach B hat eine Verspätung von 10 Minuten.
Soll der Bus von B nach C sowie der Anschlussbus von C nach D warten?
false beide Busse warten
false kein Bus warten
true der erste Anschlussbus wartet, der zweite nicht
Haben Sie die Antwort geraten oder es sicher gewusst?
Die Begründung der Dispositionsentscheidung kennen Sie am Ende dieses Kapitels!
19

Mathematisches
Modell
2.5 Modellierung
Das mathematische Modell der Anschlusssicherung im beschriebenen Liniennetz
lässt sich mit Hilfe einer Zielfunktion und mehrerer Nebenbedingungen
beschreiben.
Zielfunktion Ziel ist es, die Verspätungen aller Fahrgäste am Ende der jeweiligen Fahrt zu
minimieren:
min �
Nebenbedingungen
i,j
pi,j ∗ wi,j
Die Zielfunktion setzt sich aus der Warte- bzw. Verspätungszeit wi,j der Reisenden
auf allen relevanten Relationen i,j zusammen, die mit der Anzahl der
Reisenden der jeweiligen Relation pi,j gewichtet wird.
Die Warte- bzw. Verspätungszeiten werden mit Hilfe der Nebenbedingungen
berechnet.
Die Verspätungs- bzw. Wartezeiten der Reisenden der einzelnen Relationen werden
folgendermaßen berechnet:
Jeder Fahrgast, der an einer Haltestelle in einen Bus einsteigen will, erhält
folgende Verspätung:
wB,C ≥ vB ∗ xB
wC,D ≥ vC ∗ xC
wD,E ≥ vD ∗ xD
Die Verspätung am Ende der Reise beträgt also vi für den Fall, dass der Anschluss
in i gehalten wird, d. h. xi = 1. Für den Fall, dass der Anschluss nicht
gehalten wird (xi = 0), ist auch die Verspätung am Ende der Reise 0.
Die Verspätung für jedenFahrgast, der umsteigen möchte, beträgt:
wA,C ≥ vB ∗ xB + T ∗ (1 − xB) oder wA,C ≥ wB,C + T ∗ (1 − xB)
wB,D ≥ vC ∗ xC + T ∗ (1 − xC) oder wB,D ≥ wC,D + T ∗ (1 − xC)
wC,E ≥ vD ∗ xD + T ∗ (1 − xD) oder wC,E ≥ wD,E + T ∗ (1 − xD)
Der erste Teil der Nebenbedingungen bedeutet, dass für den Fall, dass der Anschluss
gehalten wird (d. h. xi = 1), sich die Verspätung bis zum Ende der Reise
fortpflanzt.
Der zweite Teil der Nebenbedingung wird wirksam, wenn der Anschluss nicht
gehalten wird (d. h. xi = 0). Dann erhält der Fahrgast eine Verspätung um die
Taktzeit T, also in diesem Beispiel 30 Minuten.
Weitere Nebenbedingungen ergeben sich aus der Tatsache, dass die Verspätungen
an den verschiedenen Haltestellen nicht unabhängig voneinander sind:
vC ≥ vB ∗ xB
vD ≥ vC ∗ xC
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linearisierte
Nebenbedingungen
vE ≥ vD ∗ xD
Die Verspätungen jedes Fahrgasts, der einsteigen und am nächsten Umsteigepunkt
wieder aussteigen möchte, entspricht der Verspätung des Fahrzeugs auf
der jeweiligen Relation, so dass die Nebenbedingungen hierfür zusammengefasst
werden können:
wB,C = vC ≥ vB ∗ xB
wC,D = vD ≥ vC ∗ xC
wD,E = vE ≥ vD ∗ xD
Für alle durch die Nebenbedingungen beschriebenen Größen gilt, dass sie nicht
negativ sind (Nichtnegativitätsbedingung).
Die angegebenen Nebenbedingungen sind teilweise nicht linear, da mehrere Variablen
miteinander multipliziert werden.
Damit die Nebenbedingungen im Rahmen eines linearen Programms verwendet
werden können, müssen sie linearisiert werden.
Dies geschieht mit Hilfe des ” big M“. Das M steht dabei für eine Zahl, die so
groß ist, dass die Nebenbedingung 0 wird.
Die linearisierten Nebenbedingungen lauten dann:
wB,C = vC ≥ vB − M ∗ (1 − xB)
wC,D = vD ≥ vC − M ∗ (1 − xC)
wD,E = vE ≥ vD − M ∗ (1 − xD)
Ein Bus ist um 7 Minuten verspätet. Der Anschlussbus wartet nicht.
Wie groß muss M mindestens sein, damit die richtige Wartezeit des abfahrenden
Busses berechnet wird?
7
21

Mathematisches
Modell
in Matrix-
Schreibweise
Branch-and-
Bound
Entscheidungsbaum
Lösung der
Teilprobleme
2.6 Lösung
Die Nebendingungen müssen zur weiteren Bearbeitung umgestellt und in einer
Matrix zusammengefasst werden.
Allgemein werden sie durch eine Matrix A und von zwei Vektoren x und b
beschrieben:
Ax ≤ b
Für das Beispiel ergibt sich die folgende Matrix: ⎛ ⎞
⎛
⎜
⎝
−T 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 −T 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 −T 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0
M 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0
0 M 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0
0 0 M 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0
⎜
⎞ ⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎠ ⎜
⎝
xB
xC
xD
wAC
wBC
wBD
wCD
wCE
wDE
vB
vC
vD
vE
⎟ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎟≤
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎟
⎠
−T
−T
−T
M
M
M
0
0
Die Lösung des formulierten linearen Programms kann mit Hilfe von Branchand-Bound
gefunden werden.
Dabei entsteht ein Entscheidungsbaum, in dem analog zu den drei möglichen
Dispositionsentscheidungen verzweigt wird.
Im ” worst-case“, d. h. falls durch das Bounding nicht Teile des Baums von der
Untersuchung ausgeschlossen werden können, entsteht der nachfolgende Entscheidungsbaum:
Für die einzelnen Teilprobleme müssen die Zielfunktionswerte bestimmt werden.
Es sind 14 Berechnungen durchzuführen, falls nicht Teile des Baums abgeschnitten
werden können ( ” Bounding“).
Wird der Baum zu umfangreich (z. B. ist ein vollständiger Baum bei einem
Problem mit 1000 Binärvariablen 2 1000 Knoten groß), ist ein Abschneiden von
Ästen, die keine bessere Lösung enthalten, mit Hilfe des Simplex-Algorithmus
möglich.
22
⎞
⎟
⎠

Berechnung
Branch-and-
Bound
17 Minuten
Verspätung A
- B
10 Minuten
Taktfrequenz
Berechnung
Branch-and-
Bound
10 Minuten
Verspätung A
- B
Dazu werden entsprechend der jeweiligen Stelle im Entscheidungsbaum eine
oder mehrere Entscheidungsvariablen festgelegt (d. h. mit 0 oder 1 belegt) und
das LP dann gelöst.
Hierfür ist eine LP-Relaxation nötig, d. h. die Ganzzahligkeitsbedingung der
Entscheidungsvariablen wird durch die Bedingung ersetzt, dass die Variablen
Werte zwischen 0 und 1 annehmen müssen.
Die einzelnen Schritte für das oben dargestellte LP werden in der nachfolgenden
Diashow vorgeführt.
Betrachtet wird dabei der Fall, dass der Bus von A nach B bei der Ankunft in
B eine Verspätung von 17 Minuten hat.
Betrachtet man eine Verspätung von 10 Minuten erkennt man, dass es zu einer
geänderten Entscheidung kommt. Dies wird in der folgenden Diashow deutlich.
23

Beim beschriebenen Vorgehen mittels Branch-and-Bound können sehr große
Entscheidungsbäume entstehen. Das bedeutet, dass auch viele Optimierungsprobleme
gelöst werden müssen. Dies erfordert großen Rechen- und Speicheraufwand.
Es besteht die Möglichkeit, das Branch-and-Bound-Verfahren mit dem Schnittebenenverfahren
zu kombinieren. Das Vorgehen wird dann als Branch-and-Cut
bezeichnet.
Branch-and-Cut gehört heute zu den erfolgreichsten Verfahren zur Lösung von
gemischt-ganzzahligen linearen Programmen.
24

3 Literatur und Programme
3.1 Literatur
Literaturverzeichnis
[FGSV 1982] FGSV
Hinweise für die Anwendung von Entscheidungs- und Optimierungsmethoden
im Verkehrswesen
Köln 1982
[GINKEL, SCHÖBEL 2002] Ginkel, A.; Schöbel, A.
The bicriterial delay management problem
Universität Kaiserslautern und Fraunhofer Institut für Techno- und
Wirtschaftsmathematik
Kaiserslautern 2002
[GRÖTSCHEL, LÖBEL, VÖLKER 1996] Grötschel, M.; Löbel, A.; Völker M.
Optimierung des Fahrzeugumlaufs im Öffentlichen Personennahverkehr
Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin
Preprint SC 96-8,
Berlin 1996
[HELLER, SCHAER 2004] Heller, S.; Schaer, T.
DisKon - Disposition und Konfliktlösungsmanagement der DB AG
in: Der Eisenbahningenieur
Heft 9/2004
[JACOBS 2003] Jacobs, J.
Rechnerunterstützte Konfliktermittlung und Entscheidungsunterstützung
bei der Disposition des Zuglaufs
Veröffentlichungen des Verkehrswissenschaftlichen Instituts der RWTH
Aachen
Heft 61
Aachen 2003
[KRAFT 1981] Kraft, K.
Zugverspätungen und Betriebssteuerung von Stadtschnellbahnen in
systemtheoretischer Analyse
Schriftenreihe Institut für Verkehr, Eisenbahnwesen und Verkehrssicherung,
TH Braunschweig; Heft 23
Braunschweig 1981
25

[LEHRACH 1991] Lehrach, K.
Rechnergestützte Disposition bei gestörten Betriebsabläufen im Straßenbahnverkehr
Schriftenreihe Institut für Verkehr, Eisenbahnwesen und Verkehrssicherung,
TH Braunschweig
Heft 45
Braunschweig 1991
[MARTIN 1995] Martin, U.
Verfahren zur Bewertung von Zug- und Rangierfahrten bei der Disposition
Schriftenreihe Institut für Verkehr, Eisenbahnwesen und Verkehrssicherung,
TH Braunschweig
Heft 52
Braunschweig 1995
[MEGYERI 2004] Megyeri, C.
Bicriterial Delay Management
Universität Konstanz
Konstanzer Schriften in Mathematik und Informatik, Nr. 198
Konstanz 2004
[SCHÖBEL 2002] Schöbel, A.
Integer Programming Models for the Delay Management Problem
AMORE Research Seminar
Universität Kaiserslautern, Fraunhofer Institut für Techno- und Wirtschaftsmathematik
Kaiserslautern 2002
[SCHÖBEL, SCHRÖDER 2003] Schöbel, A., Schröder, M.
AnSiM - GIS-gestützte Optimierung von Anschlusssicherungsmaßnahmen
AGIT proceedings 2003,
2003
[SCHÖBEL 2005a] Schöbel, A.
Optimization Models in Public transportation
Skript zur Vorlesung an der Universität Göttingen,
http://www.num.math.uni-goettingen.de/schoebel/vorlesung/node1.html,
Göttingen 2005
[SCHÖBEL 2005b] Schöbel, A.
Customer-Oriented Optimization in Public Transportation
26

Stop location, delay management und tariff zone design in a public
transportation network
Habilitationsschrift
Göttingen 2005
[SCHOLL 2001] Scholl, S.
Anschluss-Sicherung bei Verspätungen im ÖPNV
Diplomarbeit am Fachbereich Mathematik der Universität Kaiserslautern
Kaiserslautern 2001
[WAGNER 2003] Wagner, D.
Algorithmische Methoden und Modelle für die Optimierung der Eisenbahnen
Materialien zur Vorlesung an der Universität Karlsruhe
Karlsruhe 2003
3.1 Programme
Programme Zur Unterstützung der Dispositionsentscheidung gibt es verschiedene Softwareprodukte.
Diese sind allerdings häufig in andere Systeme, z. B. in Betriebsleitzentralen,
integriert und nicht als eigenständige Programme verfügbar. Nachfolgend
werden einige Programme als Beispiele aufgeführt.
AnSiM Die Software AnSiM (Anschlusssicherungs-Management) wurde vom Fraunhofer-
Institut für Techno- und Wirtschaftsmathematik ITWM und der Universität
Kaiserslautern mit Unterstützung der Stiftung Rheinland-Pfalz für Innovation
entwickelt.
Das Problem wird mit Hilfe eines Linearen Programms modelliert. Der Dispositionsvorschlag
wird GIS-unterstützt dargestellt.
Nähere Informationen: www.itwm.fhg.de
DisKon Das Projekt DisKon der DB AG beschäfigt sich mit der Disposition und dem
Konfliktlösungsmanagement in großen Netzen.
Es handelt sich dabei um einen relativ weitgehenden Ansatz, der sich neben der
kundenorientierten Anschlusssicherung auch mit der wartezeitoptimalen Reihenfolgensteuerung
und dem Energiebedarf beschäftigt.
Als Optimierungsverfahren werden unter anderem Ereignisbaumverfahren wie
das Branch-and-Bound-Verfahren diskutiert.
27

Das Projekt DisKon ist noch nicht abgeschlossen, so dass eine abschließende
Bewertung nicht möglich ist.
Nähere Informationen:
[HELLER, SCHAER 2004] und http://www.num.math.uni-goettingen.de/schoebel/asll/DisKon.pdf
RBL In rechnergestützen Betriebsleitsystemen erhält ein Disponent einen Überblick
über die Betriebssituation im Netz und erhält entscheidungsunterstützende Vorschläge.
Rechnerunterstützung wird bei der Erstellung neuer zulässiger Fahrpläne und
bei der Bewertung möglicher Dispositionsentscheidungen gegeben.
Detaillierte Angaben zu den angewendeten Optimierungsverfahren sind in den
Hersteller-Informationen nicht zu finden.
RUDY In Anknüpfung an Forschungsprojekte aus dem Programm FOPS des Bundesministeriums
für Verkehr, Bau und Wohnungswesen (BMVBW) soll ein System
zur unternehmensübergreifenden Anschlusssicherung zwischen Stadt- und Regionalbussen
(RUDY) durch Kopplung rechnergesteuerter Betriebsleitzentralen
(RBL) aufgebaut und getestet werden.
Es ist aus den vorliegenden Daten nicht zu erkennen, welche Optimierungsverfahren
eingesetzt werden.
Nähere Informationen: www.rudyulm.de
RegiDisp Die von Prof. Koch (Fachhochschule Ravensburg-Weingarten) entwickelte Software
RegiDisp dient zur rechnergestützten Anschlusssicherung, Konfiktlösung
und Streckendisposition für den (schienengebundenen) Regionalverkehr.
Die entstehenden Konflikte werden mit Hilfe eines Algorithmus sukzessive untersucht
bis alle Konflikte gelöst sind, so dass ein vollständiger Lösungsbaum
entsteht. Dies entspricht einer synchronen Simulation ohne Fahrzeitrechnung
(siehe [JACOBS 2003]).
Nach Herstellerangaben wird zur Optimierung ein A*-Algorithmus verwendet.
Welche Aufgabe der Algorithmus hat, bleibt aber unklar.
Nähere Informationen: http://erde.fbe.fh-weingarten.de/koch/
RESTDIS Lehrach [LEHRACH 1991] hat im Rahmen seiner Dissertation das ProgrammRESTDIS
entwickelt.
Es handelt sich dabei um ein Expertensystem zur rechnergestützen Störungsdisposition
im öffentlichen Personennahverkehr.
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Das Programm unterstützt den Disponenten bei der Entscheidungsfindung. Die
Empfehlungen für Maßnahem zur schnellstmöglichen Wiederherstellung des Regelbetriebsablaufs
werden durch ein Expertensystem gegeben. Hierzu werden
Regeln formuliert, die das System dann anwendet.
Nähere Informationen: [LEHRACH 1991]
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