Elektronik für Physiker - Physik-Institut

KAPITEL 1. STROM, SPANNUNG, WIDERSTAND 24
Damit wird für ω ≈ ω0 = R/L die Wellenzahl β nicht mehr genau proportional zu ω,
sondern etwas grösser. Die Phasengeschwindigkeit ω/β somit frequenzabhängig kleiner,
d.h. wir haben Dispersion, die Signale werden verzerrt übertragen. Ebenfalls ist dann
Z frequenzabhängig (siehe 1.38) und wird für kleine Frequenzen grösser.
�
Für kleine Frequenzen, bzw. grosse Drahtwiderstände (ω ≪ ω0) wird β = ωRC/2
und damit α = β. Das heisst die Dämpfung wird mit der Wurzel der Frequenz schlimmer.
Für grosse Frequenzen bzw. kleine Drahtwiderstände wird β = ω/v0, Z = Z0 und
demnach α = R/2Z0. Die Dispersion verschwindet also für hohe Frequenzen.
Der Skineffekt bewirkt aber, dass die Stromdichte an der Oberfläche eines metallischen
Körpers gegen innen exponentiell abnimmt (siehe zum Beispiel [Jack90]. Die
mittlere Eindringtiefe des Stromes ist
δ =
�
2ρ
ωµ
(1.46)
(ρ Leitfähigkeit). Typische Werte sind für Kupfer bei 1 MHz 70µm, bei 1 GHz 2 µm. Deshalb
nimmt der effektive Kabelwiderstand mit √ ω zu, und entsprechend hat man auch
bei grossen Frequenzen noch eine √ ω – Abhängigkeit der Dämpfung. Um die Oberfläche
zu vergrössern, nimmt man für HF – Anwendungen deshalb manchmal Kupferfolien oder
mehrere Litzen.
Zahlenbeispiel: Koaxkabel RG 178: Z = 50Ω , R = 0.45 Ω /m, L = 240 nH/m,
C = 95 pF/m. Bei 2 MHz und 100 m Länge wird das Signal um einen Drittel reduziert.
Bei 200 MHz überleben nur gerade noch 1% des Signals nach 100 m. Bessere Kabel
müssen dicker sein. Die kritische Frequenz wird etwa ω0 = 2 MHz. In diesem Bereich
gibt es Dispersion, die kleineren Frequenzen kommen verspätet an (Tiefpassverhalten).
Die Dispersion wird offensichtlich signifikant, wenn ω > ωg = (Rl · Cl) −1 , der Tiefpassgrenzfrequenz.
Für z.B. 20 MHz ist das bei einer Kabellänge von ca. l = 30m der
Fall. Beachte, dass die Tiefpassgrenzfrequenz mit der Kabellänge im Quadrat kleiner
wird, die Übertragungsqualität eines Kabels wird demnach mit dem Quadrat der Länge
schlechter.
Falls gerade R/L = G/C ist, spricht man von einer verzerrungsfreien Leitung,
da dann die Dispersion gerade verschwindet (v =const) und die Impedanz und die
Dämpfung frequenzunabhängig werden.
Die Sache ist allerdings wie immer in der Praxis komplizierter, da es auch Verluste
wegen frequenzabhängiger Polarisation des Dielektrikums gibt. Bei ganz hohen
Frequenzen schliesslich werden die Hohlleitermode wichtig, das ist aber erst in der
Grössenordnugn 10 GHz der Fall. Für den praktischen Einsatz eines Kabels muss man
die Abschwächung und Phasenverzerrung messen, bzw. die numerischen Herstellerangaben
zu Rate ziehen.