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Chaostheorie Struktur
Fotos: Kerstin Enderlein, Outdoor-Archiv | Thomas Willemsen | Peter Widmann | Tom Ulrich, Oxford Scientific, Keystone
Als der Schmetterlingseffekt einmal beschrieben
war, entdeckte man ihn bald überall.
Tropfende Wasserhähne, Schwarzmarktkurse,
Schneehasenpopulationen: Alle folgen sie
chaotischen Bahnen. Auch beim Billard multiplizieren
sich kleine Startunterschiede von
Stoss zu Stoss: Schon das Hinzutreten eines
Zuschauers an den Tisch, der auf die Kugeln
eine winzige Gravitationskraft ausübt, reicht
aus, damit sich nach neun Stössen – unter
sonst identischen Bedingungen – eine andere
Verteilung ergibt ! Aus den gleichen
Gründen ist es völlig unmöglich, die Ziehung
der Lottozahlen aus der Anfangsverteilung
der Lottokugeln vorherzusagen.
Zufall oder Notwendigkeit ?
Es ist dies eine elegante Antwort auf die alte
Frage nach Zufall oder Notwendigkeit: Selbst
wenn die Welt deterministisch wäre, so bliebe
sie für uns unvorhersehbar. Die Erkenntnis
hat etwas Befreiendes, vielleicht aber
auch etwas Beängstigendes. Sogar etwas
so Einfaches und scheinbar Stabiles wie
unser Sonnensystem erhält dadurch einen
Schuss Unberechenbarkeit. Zwar liegt hier
die Vorhersageschranke nicht bei wenigen
Tagen wie beim Wetter, aber im Prinzip läuft
es gleich: Astronomen können die Stabilität
des Sonnensystems nur für die nächsten
40 Millionen Jahre garantieren. Der Grund
ist, dass die Planeten nicht einfach brav auf
ihren Ellipsen um die Sonne kreisen, sondern
sich auch gegenseitig ein wenig anziehen.
Diese Störungen sind zwar klein, doch weil
eine Gravitationsgemeinschaft schon ab drei
Körpern grundsätzlich chaotisch ist, kann
man nicht ausschliessen, dass über lange
Zeit beispielsweise der Merkur mit der Erde
kollidiert oder der Mars aus dem Sonnensystem
geschleudert wird.
Das ist eine der grossen Erkenntnisse der
Chaostheorie: Komplexes Verhalten kann
schon in relativ einfachen Systemen entstehen.
Davon zeugen auch die so genannten
Fraktale, die zu den Ikonen der Chaosbewegung
geworden sind. Fraktale sind unglaublich
schöne, sich bis ins unendlich Kleine verzweigende
Kurven oder Flächen, die meist
auf verblüffend einfachen Formeln beruhen.
Hinter der berühmten Mandelbrot-Menge
etwa (auch Apfelmännchen genannt), der
wohl bekanntesten Figur der modernen Mathematik,
steckt eine einzige mathematische
Abbildungsvorschrift: zn + 1 = zn 2 + c. Aus
dieser simplen Formel erwächst der ganze
Formenreichtum des Gebildes.
Manche der auf diese Weise erzeugten
Fraktale sehen erstaunlich natürlich aus, und
Computergrafiker nutzen die bequemen
Formeln der Chaostheoretiker, um beispielsweise
Berglandschaften zu zeichnen. Umgekehrt
kann man etwa Bäume, Küstenlinien,
Blumenkohl oder Schneeflocken als natürliche
Fraktale bezeichnen: Sie sind bis ins
Kleinste verzweigt, und wenn man einen
Ausschnitt vergrössert, ein Röschen des Blumenkohls
etwa, dann sieht dieser Teil wieder
aus wie das Ganze.
Dieser Naturbezug hat sicherlich auch zur
Popularität der fraktalen Geometrie beigetragen.
Die herkömmliche Geometrie sei daher
so «trocken», weil sie unfähig sei, Formen
wie Wolken, Berge oder Küstenlinien zu beschreiben,
meint der französisch-polnische
Mathematiker Benoît Mandelbrot, der Star
der Chaostheoretiker-Zunft. «Doch Wolken
sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küstenlinien
keine Kreise.» In der Vergangenheit
habe sich die Wissenschaft bemüht, «die Unregelmässigkeiten
der Natur als geringfügige
Unvollkommenheiten einer idealisierten Gestalt
zu betrachten». Für Mandelbrot hingegen
macht gerade eine gewisse Rauheit «das
Wesen vieler Objekte der Natur aus».
Es ist der Chaostheorie oft zum Vorwurf
gemacht worden, sie habe nach einem furiosen
Start kaum mehr Fortschritte gemacht.
Mandelbrot kann man diesbezüglich aber
sicher keinen Vorwurf machen: Er hat sein
Fraktal-Konzept auf die Wirtschaft übertragen
und zu einer höchst umstrittenen, aber
umso spannenderen Theorie ausgebaut. Die
Rauheit der Natur, sagt Mandelbrot in seinem
Buch «Fraktale und Finanzen», entspreche in
der Wirtschaftswelt der Volatilität der Kurse.
Viele Preiskurven und Börsenkurse trügen
fraktale Züge wie ein Blumenkohl: «Ohne die
jeweilige Legende kann man nicht angeben,
ob eine Kurstabelle 18 Minuten, 18 Monate
oder 18 Jahre abdeckt.» Ein kleiner Ausschnitt
gleicht stets der ganzen Kurve.
Die herkömmliche Ökonomie hat die Fluktuationen
der Finanzmärkte meist wie normale
Zufallsschwankungen behandelt: Man
könne sie zwar nicht vorhersagen, aber wenn
man die Kursänderungen über eine gewisse
Zeit sammle, sehe die Verteilung aus wie eine
Gauss’sche Glockenkurve. Eine solche glatte
Verteilung bekommt man beispielsweise,
wenn man die Grösse aller Frauen in der
Schweiz aufzeichnet: Die meisten scharen
sich um den Mittelwert, es gibt ein paar Ausreisser
nach oben und unten, aber Extremgrössen
wie 15 Zentimeter oder 4 Meter
findet man keine.
Kurssturz als fraktaler Zufall
Auch Mandelbrot spricht vom Zufall – aber es
ist ein wilder, zerklüfteter, eben fraktaler
Zufall, der nicht der Normalverteilung folgt.
Ein Kurssturz wie am 19. Oktober 1987, dem
Schwarzen Montag, hat in der herkömmlichen
Zufallsverteilung eine Wahrscheinlichkeit
von 1 zu 1050 – mit anderen Worten: Er ist
schlechterdings unmöglich. In Mandelbrots
Theorie hingegen gehören solche Ausreisser
zum Spiel: «Auf Finanzmärkten sind extreme
Kursumschwünge die Regel und keine Abweichungen,
die man ignorieren kann.»
Das sind keine akademischen Betrachtungen,
die Theorie hat im Gegenteil Auswirkungen
auf die Art und Weise, wie man Risiken
bewertet. Die Black-Scholes-Formel
etwa, die immer noch das Standardmodell zur
Berechnung des Wertes von Optionen ist, behandelt
die Volatilität der Kurse wie normale
Zufallsschwankungen. Entsprechend versagt
sie bei turbulentem Marktgeschehen. «Die
Risiken für Ruin in einer freien globalen Marktwirtschaft
sind grob unterschätzt worden»,
sagt Mandelbrot. Die fraktale Sichtweise sei
dem Geschehen viel besser angepasst.
Die Finanzwelt brauche eine ähnliche
Risikokultur wie etwa die Schifffahrt, schreibt
Mandelbrot: «Die Schiffbauer wissen, dass
die See in den meisten Fällen gemässigt ist.
Doch sie wissen auch, dass Taifune aufkommen
und Hurrikane toben. Sie konstruieren
nicht nur für die 95 Prozent der Seefahrtstage,
an denen das Wetter gutmütig ist,
sondern auch für die übrigen 5 Prozent, an
denen Stürme toben und ihre Geschicklichkeit
auf die Probe gestellt wird. Die Finanziers
und Anleger der Welt sind derzeit wie Seeleute,
die keine Wetterwarnungen beachten.»
Diese Zeilen wurden, wohlgemerkt, noch vor
der aktuellen Finanzkrise geschrieben. <
Literatur:
Benoît B.Mandelbrot, Richard L.Hudson:
«Fraktale und Finanzen. Märkte
zwischen Risiko, Rendite und Ruin».
München, Piper, 200.
Edward N. Lorenz: «The Essence of Chaos».
University of Washington Press, 1.
Credit Suisse bulletin 4/09