Dissertation

Koordinaten periodisch mit Periode eins, und wir können f (Ax) in eine Fourierreihe
entwickeln:
f (Ax) = �
ak exp (2πikx)
mit
Dies ist aber äquivalent zu
mit
�
ak =
[0,1) 2
f (x) = �
k∈Z 2
f (Ax) exp (−2πikx) dx.
ω ′ ∈Z ′
�
aω ′ exp � 2πiω ′ x �
f (x) exp � −2πiω ′ x � dx.
aω ′ = area (T )−1
T
Die Funktion exp (2πiω ′ x) mit ω ′ ∈ Z ′ ist eine unter Z-translationinvariante Eigenfunk-
�
∂2 tion des negativen Laplaceoperators −∆ = −
∂x 2 1
+ ∂2
∂x 2 2
gibt eine Anordnung der Elemente aus Z ′ , sodaß
Z ′ = � ω ′ 0, ω ′ 1, · · · � , mit
�
�ω ′ �
�
i ≤ � �ω ′ �
�
j für i < j.
Damit definieren wir
Dann gilt
�
mit Eigenwert 4π2 �ω ′ � 2 . Es
φi (x) := exp � 2πiω ′ ix � , (2.1.1)
�
�2 .
λi := 4π 2 � �ω ′ i
λ0 = 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . .
Das obige Resultat kann somit folgendermaßen formuliert werden:
Theorem 2.1.1. Für alle f ∈ L2 (T ) gibt es eine Spektralzerlegung (die in der L2-Norm konvergiert):
f (x) = �
aiφi (x)
mit
ai := area (T ) −1
�
i
T
f (x) φi (x)dx.
Es sei k eine reelle, meßbare Funktion auf R + mit kompaktem Träger. Durch
K (p) = �
k (�ω − p�)
ω∈Z
wird eine Z-invariante Funktion definiert. Wir wollen nun K in Eigenfunktionen des
Laplaceoperators entwickeln. Dazu gehen zu Polarkoordinaten p = (r cos ϕ, r sin ϕ) über.
Für die Metrik ds 2 , das Flächenelement dA und den Laplace-Operator ∆ gilt
ds 2 = rdϕ 2 + dr 2 ,
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