Dissertation

I (ɛ) :=
� 1
Diese Funktion hat die folgenden Eigenschaften:
b ′′ (x) < 0 für x ∈
0
y ɛ (1 − y) ɛ dy, ɛ > 0.
1 = b (0) ≥ b (x) ≥ b (1) = 0 für 0 ≤ x ≤ 1, (3.3.1)
b ′ (0) = b ′ (1) = 0, (3.3.2)
b ′
� �
1
= −1/ (4
2
ɛ I (ɛ)) , (3.3.3)
�
0, 1
�
,
2
b ′′ (x) > 0 für
� �
1
x ∈ , 1 ,
2
(3.3.4)
� 1
0
b (x) dx = 1
. (3.3.5)
2
Nun definieren wir für 0 < h < a die Funktion ka ∈ C1 0 [0, ∞) durch
⎧
⎨ 1 für 0 ≤ r ≤ a − h,
ka (r) = b
⎩
� �
r−a+h
h für a − h < r ≤ a,
0 für r > a.
Mit
gilt wieder
K ♭ a (z, w) := �
g∈G
K ♯ a (z, w) := �
g∈G
ka (cosh d (g (z) , w)) ,
ka+h (cosh d (g (z) , w))
K ♭ a (z, w) ≤ N (a, z, w) ≤ K ♯ a (z, w) . (3.3.6)
Um numerische Abschätzungen für K ♭ und K ♯ zu bekommen, gehen wir wie in Kapitel
3.2 vor, wobei wir allerdings alle Konstanten, die in den Ordnungsabschätzungen
verschwinden, explizit berechnen und angeben.
Die folgenden beiden Lemmata geben Abschätzungen für die Spektralfunktion hka
für λ > 1/4 wie Huber sie in [15] beweist.
Lemma 3.3.1. Für λ > 1/4 gilt
|hka (λ)| ≤ 4√2a1/2 ,
κ (λ)
für a > 1,
�
2πα
|hka (λ)| ≤
κ3/2 2πγ
+
(λ) κ2 �
a
(λ)
1/2 , für a > 3,
�
κ (λ) := λ − 1
� �
1/2
√
2 289 2
, α := , γ :=
4
π 144 π .
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