Dissertation

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Die Funktion J (λ) := dim Hλ ist bezüglich µ meßbar. Das Spektrum von − � �
∆ liegt in
[0, ∞) ([7], II, S. 104). Die Resolvente (−∆ − λI) −1 ist für λ /∈ [0, ∞) ein Integraloperator
vom Carlemantyp, d.h. ist r (z, w, λ) der Kern der Resolvente, dann ist
�
b (z) := |r (z, w, λ)| 2 dσ (w) < ∞
eine stetige Funktion ([7] I, S. 323). Nach Maurin [21] Kapitel XVII §8 und §9 gilt dann
sogar:
Theorem 3.1.1. Für eine Fuchssche Gruppe G gibt es ein Maß µ auf R mit Träger in
[0, ∞) und eine unitäre Abbildung T von L 2 (D/G) auf das direkte Integral
�
Hλ dµ (λ) .
Die Funktion J (λ) := dim Hλ ist bezüglich µ meßbar, und es gibt Funktionen e (λ, z) =
� e1 (λ, z) , . . . , e J(λ) (λ, z) � , wobei ej (·, z) meßbar ist und ej (λ, ·) ∈ C ∞ (D/G) , sodaß
−∆ej (λ, z) = λej (λ, z) ,
und für jede Funktion f ∈ L 2 (D/G) mit
�
|f (z)| b (z) dσ (z) < ∞
für µ-fast alle λ gilt
�
(T f) (λ) =
D/G
f (z) e (λ, z)dσ (z) .
Bemerkung. Die Funktionen e (λ, ·) können für eine µ-Nullmenge identisch verschwinden.
Im Folgenden sollen die Funktionen e (λ, z) immer für die aus Theorem 3.1.1 stehen.
Es ist zu beachten, daß diese vektorwertig sind (evtl. auch unendlichdimensional).
Operationen mit ihnen beziehen sich immer auf den zugrundeliegenden Vektorraum. Insbesondere
bedeutet die Multiplikation zweier Funktionen das Skalarprodukt ihere Werte.
3.1.1. Die Spektralzerlegung von Punktpaarinvarianten
Wir wollen Theorem 3.1.1 auf Integraloperatoren, die durch Punktpaarinvarianten definiert
sind, anwenden. Punktpaarinvarianten sind Funktionen k (z, w) : D × D ↦→ R mit
der Eigenschaft, daß
k (z, w) = k (g (z) , g (w))
für alle g ∈ Con (1). Ist k (z, w) eine Punktpaarinvariante, so gibt es eine Funktion k (x)
mit
k (z, w) = k (cosh d (z, w))
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