Dissertation

als Fuchssche Gruppe bezeichnet. Sie operiert diskontinuierlich auf D. Ein anderes zu D
konform-äquivalentes Modell des hyperbolischen Raumes hat als Grund-Raum die obere
Halbebene
Die Abbildung
ist konform und induziert die Metrik
H := {z ∈ C : Im (z) > 0} .
f : H → (D, d)
z ↦→ (z − i) / (z + i)
ds 2 := 1
4 Im (z)−2 |dz| 2
auf H. Die durch ds gegeben Abstandsfunktion auf H bezeichnen wir ebenfalls mit d (·, ·).
Fuchssche Gruppen können also auch als auf H operierend aufgefaßt werden. Der Konvergenzexponent
δ einer Fuchsschen Gruppe G ist durch
⎧
⎨ �
δ := inf s > 0 : (cosh d (g (z) , w))
⎩ −s ⎫
⎬
< ∞ , z, w ∈ D
⎭
g∈G
definiert. Diese Definition ist unabhängig von z und w. Die Gitterpunktzählfunktion
einer Fuchsschen Gruppe G definieren wir als
N (a; z, w) := # {g ∈ G : cosh d (g (z) , w) ≤ a} .
Wir werden geometrisch endliche Fuchssche Gruppen betrachten. Diese sind gerade die
endlich erzeugten Gruppen (in höheren Dimensionen gilt das nicht mehr !). Für Details
sei auf Beardon [1] verwiesen. Gute Einführungen zum Thema Fuchssche Gruppen sind
außerdem [30] und [25].
Es sollen nun noch zwei wichtige Notationen erklärt werden. Für eine Teilmenge D
des R m schreiben wir
f (x1, . . . , xn) = O (g1 (x1, . . . , xn)) + O (g2 (x1, . . . , xn)) + . . . + O (gm (x1, . . . , xn))
für (x1, . . . , xn) ∈ D, wenn es eine Konstante C > 0 und Funktionen �gi (x1, . . . , xn),
i ∈ {1, . . . , m} gibt, mit
|�gi (x1, . . . , xn)|
gi (x1, . . . , xn) ≤ C für alle (x1, . . . , xn) ∈ D ⊂ R m ,
sodaß f (x1, . . . , xn) = � m
i=1 �gi (x1, . . . , xn) für alle (x1, . . . , xn) ∈ D.
Wir schreiben
f (x) ∼ g (x) , für x → ∞
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