Dissertation

R (a, h) :=
=
� ∞
|p (λ, z, w)| |hka (λ)| dµ (λ)
1/4
� ∞ �
�p � 1/4 + κ 2 , z, w �� � � �
��hka (κ)
�
�
� 2κdµ (κ) .
0
Aus Korollar 3.1.4 folgt mit
� x �
G (x) := �p � 1/4 + κ 2 , z, w �� � 2κdµ (κ) .
0
Korollar 3.3.5. Für x ∈ R + mit x2 −2 r ≥ sinh 2 − 1/4, r := min {inj (z) , inj (w)} gilt
G (x) ≤ 3 � 2
1/4 + x
4π
� .
Beweis. Wegen Korollar 3.1.4 gilt mit x, wie oben gefordert, daß
� 1/4+x 2
1/4
|p (λ, z, w)| dµ (λ) =
Lemma 3.3.6. Es seinen z, w ∈ D und
ν (r) :=
� x � � ��
� 2
p 1/4 + κ , z, w � 2κdµ (κ)
0
≤ 3
4π
� 1/4 + x 2 � .
r := min {inj (z) , inj (w)} ,
� 5
4 falls sinh
−2 r sinh 2 falls sinh
X0 := � ν (r) − 1/4.
−2 r 5
2 < 4 ,
−2 r 5
2 ≥ 4 ,
Für s > X0, a > 3 und mit ρ > 0 definiert durch a = cosh ρ gilt
R (a, h, s) :=
1
4ɛ �
15αa
I (ɛ)
3/2
hs
+a 1/2
�
α :=
R (a, h) ≤ R (a, h, s) mit
hs
1/2 + 9βa3/2
�
5αa1/2 9βa1/2
+ +
s1/2 s
6αs 1/2 + 3γ log s + 10 −2 s −1 + 6 15γ 33α
ν (r) ρ + −
π 8 8
� √ √
2 19 2 289 2
, β := , γ :=
π 18 π 144 π .
48
�
,