Dissertation

und es gilt also
|hka (λ)| ≤ |Gλ (a)| .
Zusammen mit Lemma A.2.2 folgt die Behauptung.
Die folgende Abschätzung benutzt die speziellen Eigenschaften des Kerns ka und
die Legendre-Differentialgleichung, um Abschätzungen für hka zu bekommen, die über
das Spektralmaß integrierbar sind. Huber beweist in [15] eine solche Abschätzung für
eine Familie von Funktionen (in der unsere Funktion ka enthalten ist) unter Angabe
von Konstanten. Seine Funktionenfamilie ist besonders dazu geeignet, diese Konstanten
klein zu halten. Für ein Ergebnis -wie das aus Theorem B- ist unsere feste Wahl von ka
völlig ausreichend.
Lemma 3.2.4. Für λ > 1 gilt
|hka
�
(λ)| = O a 3/2 h −1 λ −5/4�
.
�
Beweis. Für λ > 1 ist tanh π � �−1 λ − 1/4 beschränkt. Nach Lemma A.2.3 gibt es also
eine Konstante C1 > 0, sodaß gilt
|Fλ (x)| ≤ C1λ −1/4 � x 2 − 1 � −1/4 + C1λ −1/2 x 1/2 � x 2 − 1 � −1/2 . (3.2.8)
Die Legendre Differentialgleichung (A.0.1) läßt sich auch in der Form
λFλ (x) = − d �� � 2 ′
x − 1 F λ (x)
dx
�
schreiben. Durch zweimalige partielle Integration und unter Benutzung von (3.2.1) folgt
� a
λ ka (x) Fλ (x) dx
1
=
� a
− ka (x)
1
d �� � 2 ′
x − 1 F λ (x)
dx
� =
dx
� a � � 2 ′
x − 1 k a (x) F
a−h
′ λ (x) dx
� a
= −
Zusammen mit (3.2.8) ergibt sich
mit
Fλ (x)
a−h
�� x 2 − 1 � k ′′
a (x) + 2xk ′ a (x) � dx.
|hka (λ)| ≤ C1λ −5/4 J (1/4) + C1λ −3/2 a 1/2 J (1/2) (3.2.9)
� a
J (µ) :=
a−h
� x 2 − 1 � −µ � � � x 2 − 1 � k ′′
a (x) + 2xk ′ a (x) � � dx.
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