Dissertation

Um absolute Konvergenz in der Spektralentwickung zu bekommen, müssen wir k0 wie
im euklidischen Fall durch eine “glattere” Funktion approximieren. Wir definieren hierzu
wie in Abschnitt 1.4
b (x) := 2x 3 − 3x 2 + 1
und damit für h > 0 die Funktion ka ∈ C1 0 [0, ∞) durch
ka (r) =
⎧
⎨ 1
b
⎩
für 0 ≤ r ≤ a − h,
� �
r−a+h
h
0
für
für
a − h < r ≤ a,
r > a.
In Abschnitt 1.4 findet man eine Abbildung, die ka (mit R statt a) darstellt. Huber
definiert in [15] eine Familie von Funktionen, in der unsere Funktion ka enthalten ist.
Folgende Eigenschaften von ka werden später wichtig sein
gilt
Mit
� a−h �
a
k ′ a (a − h) = 0, k ′ a (a) = 0, (3.2.1)
�k ′′
a (x) � � dx = h −1
K ♭ a (z, w) := �
g∈G
K ♯ a (z, w) := �
g∈G
� 1 �
�b ′′ (x) � � dx = 3h −1 . (3.2.2)
0
ka (cosh d (g (z) , w)) ,
ka+h (cosh d (g (z) , w))
K ♭ a (z, w) ≤ N (a; z, w) ≤ K ♯ a (z, w) . (3.2.3)
Wir wollen nun die Spektralfunktion hka abschätzen. Die Eigenwerte kleiner als 1/4
geben uns später den führenden Term in der Asymptotik der Gitterpunktzählfunktion.
Lemma 3.2.1. Für 0 < λ < 1/4, a > 1, h < a und mit s (λ) := 1
2 +
�
1
4 − λ gilt
hka (λ) = 2√ Γ (s (λ) − 1/2)
π
Γ (1 + s (λ)) as(λ) �
+ O ha s(λ)−1�
�
+ O a 1/2�
(3.2.4)
und genauso
hka+h (λ) = 2√ Γ (s (λ) − 1/2)
π
Γ (1 + s (λ)) as(λ) �
+ O ha s(λ)−1�
�
+ O a 1/2�
. (3.2.5)
Beweis. Aus Korollar A.1.2 folgt
hka (λ) ≤ 2√ Γ (s (λ) − 1/2)
π
Γ (1 + s (λ)) as(λ) �
+ O a
hka (λ) ≥ 2√ π
1
− 2
Γ (s (λ) − 1/2)
Γ (1 + s (λ)) (a − h)s(λ) + O
36
�
, (3.2.6)
�
(a − h) 1/2�
. (3.2.7)