Dissertation

Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt:
Korollar 3.1.4. Es sei G eine beliebige Fuchssche Gruppe und r := min {inj (p) , inj (q)}.
Dann ist für X ≥ sinh −2 (r/2)
�
λ 1, so gilt, falls p und q keine Verzweigungspunkte
sind, daß
�
K (p, q) = e (λ, p) e (λ, q)hk (λ) dµ (λ) . (3.1.7)
Das Integral konvergiert absolut.
Beweis. Es sei K ⊂ D/G ein beliebiges Kompaktum, das keine Verzweigungspunkte
enthält. Dann ist r := inf {inj (p) : p ∈ K} > 0 und nach Korollar 3.1.4 gilt
�
λX
mit einer Konstanten C unabhängig von p, q und X. Das Integral aus 3.1.7 konvergiert
also als Funktion auf K × K absolut und gleichmäßig. Die Behauptung folgt nun aus der
L 2 -Konvergenz gegen K (·, ·) und der Stetigkeit von K (·, ·).
Patterson beweist die obige Aussage in [29] ohne die Einschränkung, daß p, q keine
Verzweigungspunkte seien dürfen und für eine größere Klasse von Punktpaarinvarianten
k.
3.1.2. Das L 2 -Spektrum Fuchsscher Gruppen
Um im folgenden Kapitel die Gitterpunktzählfunktion abschätzen zu können, benötigen
wir Information über das Spektralmaß der zugrunde liegenden Fuchsschen Gruppe
im Intervall [0, 1/4]. Für geometrisch endliche Gruppen haben Lax und Phillips in [19]
bewiesen, daß das Spektrum in [0, 1/4] aus nur endlich vielen diskreten Eigenwerten
besteht. Für eine Fuchssche Gruppe G mit area (D/G) < ∞ ist der kleinste Eigenwert
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