Dissertation

Zusammen mit A.2.3 ergibt sich
mit
|hka (λ)| ≤
� a
J (µ) :=
a−h
α
κ1/2 (κ2 βa
J (1/4) +
+ 1/4) 1/2
κ (κ2 J (1/2) (3.3.7)
+ 1/4)
a−h
� x 2 − 1 � −µ � � � x 2 − 1 � k ′′
a (x) + 2xk ′ a (x) � � dx.
Da k ′ a (x) ≤ 0 und mit Eigenschaft 3.3.2 folgt
� a
J (µ) ≤
=
a−h
� a � � 2 1−µ �
x − 1 �k
a−h
′′
a (x) � � dx − 1
=
� a
1 − µ
� a
�
� � 2 1−µ ��k
′′
x − 1 a (x) � �
1
−
1 − µ k′′
�
a (x) dx.
� x 2 − 1 � −µ �� x 2 − 1 � � �k ′′
a (x) � � − 2xk ′ a (x) � dx
k
a−h
′ a (x) d
Mit (3.3.4) ergibt sich
J (µ) ≤
≤
� a−h/2
�
µ � � a
2 1−µ ′′ 2 − µ
x − 1 k a (x) dx +
1 − µ a−h
1 − µ
µ
�
(a − h)
1 − µ
2 � �
1−µ a−h/2
− 1
k
a−h
′′
a (x) dx
+ 2 − µ
�
� � a
2 1−µ
a − 1 k
1 − µ
′′
a (x) dx,
a−h/2
und mit (3.3.3) folgt
� �
a2 1−µ
− 1
J (µ) ≤
4ɛ ⎛
⎝
2 − µ
I (ɛ) h 1 − µ
Wegen h < a − 3 gilt
und da 0 < 1 − µ < 1 ergibt sich
�
(a − h) 2 − 1
a2 − 1
Schließlich folgt mit h ≥ 2
J (µ) ≤
≤
0 < (a − h)2 − 1
a 2 − 1
� 1−µ
a−h/2
dx
�
µ (a − h)
−
1 − µ
2 − 1
a2 � ⎞
1−µ
⎠ .
− 1
> (a − h)2 − 1
a 2 − 1
� a 2 − 1 � 1−µ
4 ɛ I (ɛ)
2
4 ɛ I (ɛ)
�
a 2(1−µ)
Zusammen mit 3.3.7 ergibt sich die Behauptung.
< 1,
= 1 −
�
2 2µ
+
h 1 − µ
h
46
� x 2 − 1 � 1−µ dx
� x 2 − 1 � 1−µ k ′′
a (x) dx
h (2a − h)
a 2 − 1 .
�
1
a + 1
+ µ
1 − µ a1−2µ
�
.