Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 2.2 Gekoppelte ...

Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite
Entkopplung durch "geschickte“ Koordinatentransformation.
(3)
(4)
�
�
a
b
� � � �
1
1
2
� � � �
2
�
m��� a �D�a �0
m��� �( D�2D') � �0
b b
Summe (1) + (2) �
Differenz (1) - (2) �
Entkoppelte DGL
Lösungen:
2 D
�a �
m
Eigenfrequenz a
2 D�2D' �b �
m
Eigenfrequenz b
�a � A�cos( �at�� a)
Eigenschwingung a
� B�cos( � t��
)
Eigenschwingung b
� b b b
19_GekoppelteSchwingungen_BA_W2000.doc - 4/15
m( D
m D D
�� �� ) ( )
( �� �� �1��2 � �1��2 �0
� �� ) � ( � �� ) �2 '( � �� ) � 0
1 2 1 2 1 2
Die allgemeine Lösung ist dann eine Linearkombination der beiden Eigenschwingungen.
Wegen des Entkopplungsansatzes gilt für die Schwingungen der Massen 1 und 2:
�a � �b
A�
B�
�1 � � cos( �at��a) � cos( �bt�� b)
2 2 2
�a � �b
A�
B�
�2 � � cos( �at��a) � cos( �bt�� b)
2 2 2
2.2.2.3 Bedeutung der Eigenschwingungen - spezielle Anregungsbedingungen
1) System schwingt mit Eigenschwingung a � Terme mit �b müssen verschwinden.
�a � A�cos( �at�� a)
�b � 0
�b� �1��2 � �1 � �2
� Schwerpunktsbewegung: ( �1��2) / 2� �a
/ 2
Anregungsbedingung: �1( t �0) � �2( t �0) � ��
0
�� ( t �0) � �� ( t �0) � ��(z.B.
� �0 � 0 )
1 2 0
� beide Massen schwingen harmonisch
synchron mit gleicher Amplitude und gleicher Frequenz
� mittlere Feder wird nie gespannt - könnte entfernt werden
2) System schwingt mit Eigenschwingung b � Terme mit �a müssen verschwinden.
�a � 0
� B�cos( � t��
)
� b b b
�a� �1��2 � �1 �� �2
� Relativbewegung: �1��2 � �b
Anregungsbedingung: �1( t �0) � ��2( t �0) � ��
0
�� ( t �0) � ��� ( t �0) � ��(z.B.
� �0 � 0 )
1 2 0
� beide Massen schwingen harmonisch
mit gleicher Amplitude und gleicher Frequenz aber asynchron
� mittlere Feder erfährt doppelte Dehnung