Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 2.2 Gekoppelte ...

Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 

2.2 Gekoppelte Schwingungen 

2.2.1 Einführung 

19_GekoppelteSchwingungen_BA_W2000.doc - 115 

Wenn zwei schwingungsfähige Systeme in “Verbindung“ stehen, kann Energie ausgetauscht werden. 

Der Energieaustausch hängt von der “Stärke“ der Kopplung ab. 

Beispiel: 

Zwei Federpendel sind mit einer 

Koppelfeder der Federkonstante D* 

miteinander verbunden. 

Beobachtungen: 

1) Die Einzelmassen führen i.A. keine 

harmonische Bewegung aus. 

2) Wird Pendel 1 in Schwingungen 

versetzt, fängt auch Pendel 2 

langsam an zu schwingen. 

Wenn Pendel 2 mit maximaler 

Amplitude schwingt, ist Pendel 1 

vollständig zur Ruhe gekommen. 

Dieser Vorgang wiederholt sich 

nun umgekehrt usw. 

3) Wird die Kopplung verstärkt, indem 

die Koppelfeder stärker gespannt 

wird, ändern sich die 

Schwingungszustände rascher. 

� 

1 

� 

2 

D D 

D* 

m m 

�� 

1 2 

4) Die Bewegungsform gleicht einer Schwebung! 

Da eine Schwebung die Überlagerung von zwei Schwingungen ist, stellt sich die Frage, 

welche zwei Schwingungen überlagert werden ? 

Eigenschwingungen 

Für zwei besondere Anfangsbedingungen können wir diese zwei Schwingungen, bei denen sich die 

Einzelmassen harmonisch bewegen, isoliert darstellen. 

Diese ausgezeichneten Bewegungsformen des Systems nennt man 

Eigenschwingungen, Normalschwingungen oder Fundamentalschwingungen. 

Eigenschwingungen für zwei gekoppelte Fadenpendel 

1. Eigenschwingung: 

� Die Frequenz, mit der die Pendel schwingen 

entspricht der eines einzelnen (nicht 

gekoppelten) Pendels. 

� Die Schwingungen der beiden Pendel sind in 

Phase. 

� 1 

l 

m 

� 

2 

l 

D m 

t 

t


2. Eigenschwingung 

� Die Frequenz hängt von der Kopplung ab. 

� Die Phasenlage ist ebenfalls konstant, 

aber gegenphasig. 

Die allgemeine Schwingungsform ist eine Überlagerung 

dieser beiden Eigenschwingungen. 

Andere Fundamentalschwingungen können nicht 

D 

auftreten. 

m 

m 

Verallgemeinerung: 

l 

� 1 

19_GekoppelteSchwingungen_BA_W2000.doc - 2/15 

Ein System mit f Schwingungsfreiheitsgraden besitzt f Eigenschwingungen. 

Zum Beispiel besitzt ein Molekül mit N Atomen f = 3N – 6 Schwingungsfreiheitsgrade 1 und damit 

(3N – 6) verschiedene harmonische Schwingungsformen (Fundamentalschwingungen). 

Jedes Atom bewegt sich dann harmonisch und mit der gleichen Frequenz. 

Charakteristisch für eine Eigenschwingung ist die harmonische Bewegung aller Massenpunkte mit 

der gleichen Frequenz und fester Phasenlage zueinander. 

Beispiel. Transversale Eigenschwingungen einer Perlenschnur 

Eine Perlenschnur mit N Massenpunkten (mit Federn gekoppelt) hat N Eigenschwingungen. 

Die Eigenschwingung mit der höchsten Frequenz ist einen Zick-Zack-Bewegung. 

Übergang von einem konkreten System mit N Freiheitsgraden zu einem kontinuierlichen System 

� schwingende Saite. 

Ausblick auf das nächste Hauptkapitel: 

Wird in einem gekoppelten Schwingungssystem eine Masse (Schwingung) angestoßen, breitet sich 

diese Störung auf Grund der Kopplung mit den Nachbarn aus. 

Die Ausbreitung dieser Störung heißt Welle. 

1 Von den 3N Freiheitsgraden eines Systems von N Molekülen müssen 3 für die Translation und 3 für die Rotation 

abgezogen werden, verbleiben insgesamt f = 3N - 6 Freiheitsgrade für die Schwingungen. Bei linearen Molekülen, 

wie CO2 oder C2H2 sind nur zwei Rotationen möglich, so dass hier gilt: f = 3N – 5. 

� 

2 

l


2.2.2 Longitudinale Schwingungen gekoppelter Federpendel 

2.2.2.1 Erraten der Eigenschwingungen 

Gleichgewicht (Ruhelage): 

Die Federn sollen zunächst nicht vorgespannt 

sein. (Wir werden jedoch später sehen, dass sich 

am Ergebnis nichts ändert, wenn die Federn auf 

Zug oder Druck vorgespannt sind.) 

Eigenschwingung a: 

Die mittlere Feder ist nie gespannt ! 

Beide Massen bewegen sich mit der gleichen 

Frequenz und mit konstanter Phasenlage 

(�� = 0 synchrones Schwingen) 

2 D 

�a � 

m 

�1 � �2 

�C� asin( �at�� a) 

: 

Eigenschwingung b: 

Beide Massen bewegen sich gegenläufig mit der 

gleichen Frequenz und konstanter Phasenlage. 

(�� = � asynchrones Schwingen ) 

Dges für eine Masse: Dges = D + 2D' 

2 D�2D' �b � 

m 

�1 ��2 �C� bsin( �bt�� b) 

: 

D 

D 

D 

� 1 

m 


Koppelfeder 

D' 

m 

1 2 

� 1 

� 2 

D 

m 

D' 

m 

D 

1 2 

m D' m 

1 2 

2.2.2.2 Lösung der Bewegungsgleichungen (Normalkoordinatentransformation) 

D 

� 1 

m 

D' 

m 

D 

1 2 

� 2 

� 2 

Rücktreibende Kräfte 

F � �D��D'( � � � ) 

R1 1 1 2 

F � �D��D'( � � � ) 

R2 2 2 1 

Damit erhält man nach dem Newtonschen Aktionsprinzip die Bewegungsgleichungen 

m�� 1�D�1�D'( �1��2) �0 

m�� D� �D'( � �� ) �0 

2 2 2 1 

Das ist ein System von zwei gekoppelten Differentialgleichungen. 

(1) 

(2) 

D


Entkopplung durch "geschickte“ Koordinatentransformation. 

(3) 

(4) 

� 

� 

a 

b 

� � � � 

1 

1 

2 

� � � � 

2 

� 

m�� a �D�a �0 

m�� ( D�2D') � �0 

b b 

Summe (1) + (2) � 

Differenz (1) - (2) � 

Entkoppelte DGL 

Lösungen: 

2 D 

�a � 

m 

Eigenfrequenz a 

2 D�2D' �b � 

m 

Eigenfrequenz b 

�a � A�cos( �at�� a) 

Eigenschwingung a 

� B�cos( � t�� 

) 

Eigenschwingung b 

� b b b 


m( D 

m D D 

�� ) ( ) 

( �� 1��2 � �1��2 �0 

� �� ) � ( � �� ) �2 '( � �� ) � 0 

1 2 1 2 1 2 

Die allgemeine Lösung ist dann eine Linearkombination der beiden Eigenschwingungen. 

Wegen des Entkopplungsansatzes gilt für die Schwingungen der Massen 1 und 2: 

�a � �b 

A� 

B� 

�1 � � cos( �at��a) � cos( �bt�� b) 

2 2 2 

�a � �b 

A� 

B� 

�2 � � cos( �at��a) � cos( �bt�� b) 

2 2 2 

2.2.2.3 Bedeutung der Eigenschwingungen - spezielle Anregungsbedingungen 

1) System schwingt mit Eigenschwingung a � Terme mit �b müssen verschwinden. 

�a � A�cos( �at�� a) 

�b � 0 

�b� �1��2 � �1 � �2 

� Schwerpunktsbewegung: ( �1��2) / 2� �a 

/ 2 

Anregungsbedingung: �1( t �0) � �2( t �0) � �� 

0 

�� ( t �0) � �� ( t �0) � ��(z.B. 

� �0 � 0 ) 

1 2 0 

� beide Massen schwingen harmonisch 

synchron mit gleicher Amplitude und gleicher Frequenz 

� mittlere Feder wird nie gespannt - könnte entfernt werden 

2) System schwingt mit Eigenschwingung b � Terme mit �a müssen verschwinden. 

�a � 0 

� B�cos( � t�� 

) 

� b b b 

�a� �1��2 � �1 �� 2 

� Relativbewegung: �1��2 � �b 

Anregungsbedingung: �1( t �0) � ��2( t �0) � �� 

0 

�� ( t �0) � �� ( t �0) � ��(z.B. 

� �0 � 0 ) 

1 2 0 

� beide Massen schwingen harmonisch 

mit gleicher Amplitude und gleicher Frequenz aber asynchron 

� mittlere Feder erfährt doppelte Dehnung


3) Anregungsbedingung (die nicht zu einer Eigenschwingung führt) 

z.B.: � ( t �0) � �� 

�1 � ( t �0) � 0 

1 0 

�2 ( t �0) � 0 �2 � ( t �0) � 0 

� ( t � ) � �� 

A�cos 

a 0 0 � a 

�b( t �0) � ��B� 

0 � cos� 

b 

A� �� 0 

�a � ( t �0) �0� �� 

� 

aAsin� a � �a � 0 B� �� 0 

� ( t �0) �0� �� 

B�sin� 

� �b � 0 

�b b b 

damit erhält man als Lösungen 

� � ��cos 

� � � 

2 

�ˆ 

2 

�b � � bt � 0 cos� 

� � � �� 

a b 0 

�2 � � (cos�at�cos � bt) 

2 2 

eine trigonometrische Umformung liefert: 

� 

1 

� 

2 

a b 0 

a 0 � at� 

1 � � (cos�at 

� cos�bt) 

�1 � �� 

( �b ��a) 

t ( �b � �a) 

t 

0�cos 

�cos 

2 2 

� 

� 

�2 � �� 

( �b �a) t ( �b �a) 

t 

0�sin 

�sin 

2 2 

zeitlich langsam 

sich ändernder 

Amplitudenfaktor 

Energie in Energie in 

Schwinger 2 Schwinger 1 

Schwingungsform ist eine Schwebung 

t 

t 

�1 � �� 

0�cos�modt�cos�t 

� � ��sin� 

t�sin�t 2 0 

mod 


�b � �a 

�b ��a 

�mod 

� 

� � 

2 

2 

Entwicklung für schwache Kopplung: D'


2.2.2.4 Systematischer Lösungsansatz 

Beispiel: zwei gekoppelte Pendel 

l 

m 

D 

m 

Ruhelage: 

Koppelfeder entspannt 

Bewegungsgleichungen (Kleinwinkelnäherung) 

ml�� 1�mg�1�Dl( �1��2) �0 

ml�� mg� �Dl( � �� ) �0 

2 2 2 1 

A) Erraten der Eigenschwingungen 

Eigenschwingung a 

� 1 

l 

m 

Eigenschwingung b 

m 

l 

� 1 

� 

2 

l 

D m 

� 

2 

D m 

l 

(1) 

(2) 

l 

� 1 

m 

x 

1 

D 


Rücktreibende Federkräfte: (x = l��) 

FR1 � �Dl( �1�� 2) 

F � �Dl( � � � ) 

R2 2 1 

Die mittlere Feder ist nie gespannt ! 

Schwerpunktsbewegung, 

synchrones Schwingen 

(Feder überflüssig) 

2 g 

�a � 

l 

� � �� 

0 cos( � t �� 

) : 

a a a 

Gegensinnige Bewegung 

asynchrones Schwingen 

Feder doppelt gespannt (F = 2Dl�) 

2 g 2D 

�b � � 

l m 

� � ��cos( 

� t �� 

) : 

b b b b 

� 

2 

m 

x 

2



B) Systematischer Lösungsansatz für gekoppelte Schwingungen 

"Geschickte Koordinaten" �a ,�b (sog. Normalkoordinaten) zur Entkopplung der DGL sind im 

allgemeinen schwierig zu finden. In der Mathematik gibt es dazu die Methode der Eigenwert- 

bzw. Eigenvektorbestimmung. 

a) Ordnen der DGLn in die Form 

�� a � �a � ...... �a 

� 

j j1 1 j2 2 jn n 

Beispiel n = 2 für gekoppeltes Federpendel 

�� g D 

��( � ) � 

l m 

D 

� � 

m 

�� 

D g D 

�( ) � �( � ) � 

m l m 

1 1 2 

2 1 2 

Darstellung der DGL mit Vektoren und Matrizen 

� 

� 

� 

� 

� 

� 1� 

� � 

� � 

2 

g D 

(1) a11 

�( � ) 

l m 

(2) 

� �� 

�� 

� 

� 

�� 

� � � 

� � 

� � � 

� 1� 

� a11 1 � a12 

2 � 

� � �� 

� ��A 

� � �a 

� a � 

2 

21 1 22 2 

b) Lösungsansatz für die Eigenfrequenzen (� steht für �a bzw. �b ) 

� 

� 

� 

� 

� 

� 1� 

�b1cos( 

�t��) � 

� � � � 

� 

� 2� 

�b2cos( 

�t�� ) � 

Da in dem Lösungsansatz für � die Schwingungen �1 und �2 gleiches � und gleiches � haben, 

ist � eine Eigenschwingung. 

c) Einsetzen in DGL (1) und (2) ergibt 

2 

��b g D 

� � � 

l m 

� 

2 

�� 

b 

D 

m b 

b 

D 

m b 

g D 

l m b 

( ) 

( ) ( ) 

1 1 2 

2 1 2 

d) Alles auf die linke Seite bringen 

(1'') 

(2'') 

� g D 2 � 

�( 

� ) �� 

�b1 

� l m � 

D 

- ( ) b2 

� 0 

m 

D 

- ( ) b1 

m 

� g D 2 � 

+ �( 

� ) �� 

�b2 

� 0 

� l m � 

in Vektorform: 

� 

� 2 

� � � � � 

� � �� 

� �� 

� � � � � 

� 

b1 

a11b1 a12b2 b1 

� 

A � � 

b a b a b �b 

� 

2 

21 1 22 2 

Damit erhält man ein homogenes lineares Gleichungssystem, das nur dann eine nichttriviale 

Lösung hat, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix � 0. (Eigenwertgleichung) 

a11 � � a12 

det() �0� 2 � 0 

a a �� 

2 

21 22 

2


Die Determinante ist dann eine Bestimmungsgleichung n-ten Grades für � 2 . 

Die Gleichung heißt "charakteristische Gleichung". 

2 g D D 

( �� ) � 

l m m 

D 

2 g D 

� ( �� ) 

m 

l m 

� 0 

2 g D 2 D 2 

� ( �� ) �( � ) �0 

l m m 

Lösung der quadratischen Gleichung liefert die Eigenfrequenzen � 2 a und � 2 b 

� 2 � � � � 

D g D 

m l m 

1. Lösung: � 2 g 

a � 

l 

Eigenwert(frequenz) a 

2 g 2D 

2. Lösung: �b � � 

l m 

Eigenwert(frequenz) b 


e) Die Eigenschwingungsformen (Koeffizienten b1 und b2 der Eigenvektoren) werden durch 

Einsetzen von �a und �b in (1'') oder (2'') ermittelt. 


2 g 

�a � in (1'') ergibt: 

l 

b1 � b2 � ba 

� � 

� � � 

� 

� 

� 

� 

a 

1a 

� �bacos( 

�at��a) � 

� � � � 

� 

� � �b 

cos( � t�� 

) � 

2a 

a a a 


2 g 2D 

�b � � in (1'') ergibt: 

l m 

b1 � �b2 � bb � � 

� � � 

� 

� 

� 

� 

b 

1b 

� � bbcos( �bt��b) � 

� � � � 

� 

� � ��b 

cos( � t�� 

) � 

2b 

b b b 

f) Die allgemeine Lösung ergibt sich durch Überlagerung der Eigenschwingungsformen � �a und � �b � � � � � � 

� � � �� 

� � � 

� � 

� � � 

� � 

� � 

� � � 

� � 

� 

1a 

1b 

1� 

a b 

� � 

� � 

2 

2a 

2b 

�1 

�ba cos( �at��a) �bbcos( �bt��b) � �b cos( � t�� ) �b cos( � t�� 

) 

a a a b b b 

2 

Die Koeffizienten ba und bb und die Phasen �a und �b ergeben sich aus den Anregungsbedingungen. 

Beispiel: 1) System schwingt mit Eigenschwingung a � Terme mit �b müssen verschwinden: bb = 0 

� � � 

� � � � 

� 

� 1� 

�ba 

cos( �at��a) � 

a � � � � 

� 

� 2� 

�ba 

cos( �at��a) � 

2) System schwingt mit Eigenschwingung b � Terme mit �a müssen verschwinden: ba = 0 

� � 

� 

� � �1 

� � bb 

cos( �bt 

��b 

) � 

� � �b 

� � 

� 

� 

� � � 

� 

��2 

� �� 

bb 

cos( �bt 

��b 

) �


2.2.4 Transversale Schwingungen gekoppelter Federpendel 

Gegenüberstellung: longitudinal / transversal ; n = 2 

longitudinal transversal 

Ruhelage: 

a = a 

o 

D 

m 

D 

1 2 

m 

D 

a o 

D 

m 


D 

1 2 

m 

a a 

a 

- Federn in Ruhelage entspannt - Federn stark vorgespannt 

für eine Feder 


D 

� 1 

- mittlere Feder entspannt 

- gleiche Auslenkung 

- gleichphasige Bewegung 

2 D 

�a � 

m 


D 

� 1 

m 

D 

m 

D 

1 2 

� 2 

m D 

m 

1 2 

�� 

- mittlere Feder doppelt gespannt 


- gegenphasige Bewegung 

2 D 2D3D �b � � � 

m m m 

2 

1 

D 

- Federn schwach gespannt und 

kleine Auslenkungen 

a0 

Deff � D( 

1� 

) 

a 

D 

m 

D 

m 

� 1 

� 2 

- Federn vorgespannt 


- gleichphasige Bewegung 

2 

�a � 

D 

Deff 

m 

m 

� 1 

D 

m 

� 2 

- Federn vorgespannt 


- gegenphasige Bewegung 

D 2D3D 2 

�b � � � 

m m m 

eff eff eff 

D 

D 

D


longitudinal transversal 

Bewegungsgleichungen 

m�� 1�D�1�D( �1��2) �0 

m�� D� �D( � �� ) �0 

2 2 2 1 

Die Federn sollen nun für den longitudinalen Fall eine Vorspannung haben. 

a o 

a 

D 

� 1 

m 

D 

m 

D 

1 2 

� 2 

Bewegungsgleichungen für Vorspannung (a - a0) 

m�� 1 ��D[ �1�( a�a0)] �D{[( �1�( a�a0)] ��2} 

m�� D[ � �( a�a )] �D{[ � � ( a�a )] �� 

) 

2 2 0 2 0 1 

oberes Vorzeichen: Stauchung 

unteres Vorzeichen. Dehnung 

Nach dem Ausmultiplizieren kürzt sich (a - a0) heraus 

und es ergeben sich dieselben Gleichungen wie oben. 

Die Frequenz der longitudinalen Schwingung ist damit 

unabhängig von der Feder-Vorspannung. 

Kennzeichen von Eigenschwingungen: 

� gleiche Frequenz für alle Massenpunkte 

� jede Masse führt eine harmonische Schwingung aus 

� konstante Phasenlage der Einzelschwingungen 

� kein Energieaustausch 


Bewegungsgleichungen 

m�� 1�Deff �1�Deff ( �1��2) �0 

m�� D � �D ( � �� ) �0 

2 eff 2 eff 2 1 

� Normalschwingungen können als Resonanzfälle des gekoppelten Systems aufgefasst werden. 

� Jede freie Schwingung eines gekoppelten Systems kann als Linearkombination seiner 

Eigenschwingungen beschrieben werden.


2.2.5 Weitere Beispiele gekoppelter Schwingungen 


Beispiel 1: Das lineare, dreiatomige Molekül 

Ein freies, lineares dreiatomiges Molekül weist 3N – 5 = 4 Schwingungsfreiheitsgrade auf und hat 

damit 4 Normalschwingungen (Beispiel � CO2): 

� zwei Streckschwingungen (Änderung der Bindungslängen) 

� zwei entartete Deformationsschwingungen (Änderung der Bindungswinkel) 

Bewegungsgleichungen (für longitudinale Streckschwingungen) 

m1�1 � �D1 

( �1 

� �2 

) 

� � 

m � � �D 

� � � ) � D ( � 

� � 

2 

3 

2 

m � � �D 

� � 

3 

1( 

2 1 2 2 � �3 

2( 

�3 

� �2 

) 

) 

Eine Lösung (trivial) lautet �1 = �2 = �3= b + ct 

Das ist aber nur eine Schwerpunktsbewegung und keine Schwingung, so dass sich noch zwei 

longitudinale Streckschwingungen ergeben. 

Spezialfall: m1 = m2 = m3; D1 = D2 = D 

Eigenschwingungen erraten 

a) � � 0 (trivial � Schwerpunktsbewegung) 

b) 

c) 

a 

b � � 

� � 

c 

D 

m 

3D 

m 

asynchrone Bewegung der äußeren 

Atome (Schwerpunkt bleibt in Ruhe) 

asynchrone Bewegung des mittleren 

Atoms (Schwerpunkt bleibt in Ruhe) 

Lösung mit systematischen Ansatz ergibt. 

�1 

� ba 

� ct � bb 

cos( �bt 

��b 

) 

�2 

� ba 

� ct 

0 

� � b � ct � b cos( � t �� 

) 

3 

Normalschwingungen von CO2 

a 

b 

b 

b 

� bc 

cos( �ct 

��c 

) 

� 2bc 

cos( �ct 

��c 

) 

� b cos( � t �� 

) 

� a 

� b 

� c 

symmetrische Streckschwingung �s (� ~ = 1388 cm -1 ) 

asymmetrische Streckschwingung �as (� ~ = 2349 cm -1 ) 

(IR-aktiv) 

entartete Deformationsschwingung � (� ~ = 667 cm -1 ) 

c 

c 

c


Beispiel 2: Kapazitiv gekoppelte LC-Schwingkreise 


Das mechanische Analogon zu gekoppelten LC-Schwingkreisen sind die bekannten gekoppelten 

Federpendel. Hier wird von der Schwingung des 1. Pendels über eine Koppelschnur eine periodische 

Kraft auf das 2. Pendel ausgeübt, die dieses zu erzwungenen Schwingungen anregt. In der nächsten 

Phase dient dann das 2. Pendel als Erreger. Bei diesem Vorgang wird Energie periodisch von einem 

Pendel zum anderen übertragen. 

Das periodische An- und Abschwellen der Amplitude hat das Aussehen einer Schwebung, die durch 

Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen, den sog. Normalschwingungen, zustande kommt. 

Ganz ähnlich sind die Verhältnisse bei gekoppelten elektrischen Schwingungen. 

In der Abb. sind zwei kapazitiv gekoppelte LC-Schwingkreise gezeichnet. Die Kopplung erfolgt über 

den Koppelkondensator Ck. Fließt z.B. vom linken Schwingkreis eine Ladung Q auf Ck wirkt die 

entstehende Spannung U = Q/Ck wie eine treibende Spannung für den rechten LC-Kreis. 

Die Anwendung der Kirchhoffschen 

Schleifen- und Knotenregel liefert: 

u � u � u � 

C1 L1 Ck 0 

uCk � uL2� uC2 

� 0 

i1� iCk � i2 

� 0 

C1 

UC1 

Für die Spannungen über C und L gilt allgemein: 

Q 

u 

C C idt 

C � � 1 

� und u L i 

L t 

� 

d 

d 

Differenziert man die beiden Schleifengleichungen ergeben sich für den 

Spezialfall C1 = C2 = C und L1 = L2 = L die beiden DGL : 

i1 

d 

� L 

C dt 

i 

C 

Ck 

k 

2 

i1 

2 

d 

� L 

dt 

2 

i2 

2 

i 

� 

C 

Ck 

k 

� 0 

i2 

� � 0 

C 

2 

di1�� 

2 

dt 

i1 

� 

LC 

1 

( i 

LC 2� k 

i1) 

2 

di2�� 

2 

dt 

i2 

� 

LC 

1 

( i 

LC 2� k 

i1) 

L1 i1 i2 L2 

1 Ck 

2 

UCk 

Mit Hilfe der Knotenregel iCk = i2 - i1 werden daraus zwei 

gekoppelte DGL für die Ströme i1 und i2 . 

Bildet man die Summe (1)+(2) und die Differenz (1)-(2) der beiden Gleichungen, wird das 

Gleichungssystem mit dem Ansatz ia = i1 + i2 und ib = i1 - i2 entkoppelt. 

d 

dt 

2 

2 

2 

1 

( i1 

� i2) 

� ( i1 

� i2) 

� 0 

LC 

d 

1 2 

( i1 

� i2) 

� ( � )( i1 

� i2) 

� 0 

2 

dt LC LCk 

Die Lösungen ia und ib sind die beiden Normalschwingungen. 

Für die beiden Normalfrequenzen �a aund �b erhält man: 

iCk 

C2 

UC2


Normalfrequenz �a 

2 1 

�a � 

LC 

Die Normalschwingung zu �a (ib = 0 = i - i ) 1 2 

entspricht dem Fall, dass beide Ströme in dieselbe 

Richtung fließen (i1 = i2) und Ck stromfrei bleibt 

(iCk = 0). Der Koppelkondensator bleibt dann immer 

ladungsfrei und könnte auch ganz weggelassen 

werden. 

C C 2 1 1 

' � ; L' �2L 

� �a � � 

2 

LC ' ' LC 


Normalfrequenz �b 

2 1 2 

�b � � 

LC LCk 

Bei �b (ia = 0 = i + i ) fließen die beiden 

1 2 

Ströme in entgegengesetzter Richtung 

(i1 = - i2). Der Koppelkondensator wird 

dann doppelt so stark aufgeladen 

(iCk = |i1| + |i2|. 

Der allgemeine Fall stellt eine Überlagerung beider Schwingungsformen, d.h. eine Schwebung, dar. 

Starke Kopplung: Der Grenzfall Ck � 0 bedeutet starke Kopplung: 

Die beiden Schwingkreise verhalten sich wie ein einzelner Schwingkreis 

mit L = L1 + L2 und 1/C = 1/C1 + 1/C2 . 

Schwache Kopplung: Schwache Kopplung liegt für Ck >> C vor. 

Die treibende Spannung am Koppelkondensator U = Q/Ck wird relativ klein. 

Für Ck � � werden die beiden Schwingkreise sogar entkoppelt, da U � 0 geht, unabhängig davon 

wieviel Ladung dem Kondensator zugeführt wird. Der Koppelkondensator wirkt für AC-Signale wie 

ein Kurzschlußdraht und zwingt die Verbindung der beiden LC-Kreise auf Erdpotential. 

Für schwache Kopplung ergibt sich die Schwebungs- oder Austauschfrequenz �� = �b - �a zu 

(Leiten Sie diese Beziehungen her): 

1 

�� 

LC 

C 

C k 

Die mittlere Frequenz: � � �� 

� 

� � � 

� 

� 

12 / 

1 � � 

� ��1� LC� 

� 

1 

2 

C � 

2 

� 

� 

C k 

a b ergibt sich zu:


Beispiel 3: Induktiv gekoppelte LC-Schwingkreise 


In der Abb. sind zwei induktiv gekoppelte LC-Schwingkreise gezeichnet. Die Kopplung erfolgt durch 

Annäherung der beiden Spulen. Das von Spule 1 erzeugte Magnetfeld durchsetzt teilweise auch die 

Spule 2 und erzeugt in ihr eine zusätzliche Induktionsspannung u'ind,L2 = -L12di1/dt , die wie eine 

treibende Spannung für den rechten LC-Kreis wirkt und sich zur Induktionsspannung uind,L2 = -L2di2/dt 

addiert. Umgekehrt gilt sinngemäß das gleiche. 


Schleifen- und Knotenregel auf die 

Kreise 1 und 2 liefert: 

u � u � u'� 

C1 L1 L1 

0 

u � u � u'� 

C2 L2 L2 

0 

Für die Spannungen über C und L gilt allgemein: 

Q 

u 

C C idt 

C � � 1 

� und u L i 

L t 

� 

d 

uL � �uind 

d 

Differenziert man die beiden Schleifengleichungen, ergeben sich für den 

Spezialfall C1 = C 2 = C und L1 = L2 = L die beiden gekoppelten DGL : 

2 

i1 

2 

d 

L 

dt 

d 

L 

dt 

2 

i2 

2 

i1 

� � L 

C 

12 

i2 

� � L 

C 

12 

d 

d 

2 

i2 

2 

dt 

2 

i1 

2 

dt 

� 

� 

0 

0 

Bildet man die Summe (1)+(2) und die Differenz (1)-(2) der beiden Gleichungen, 

wird das Gleichungssystem mit dem Ansatz ia = i1 + i2 und ib = i1 - i2 entkoppelt. 

d 

dt 

d 

dt 

2 

2 

2 

2 

1 

( i1 

� i2) 

� ( i1 

� i2) 

� 0 

( L � L ) C 

12 

1 

( i1 

� i2) 

� ( i1 

� i2) 

� 0 

( L � L ) C 

12 

Die Lösungen ia und ib sind die beiden Normalschwingungen. 

Für die beiden Normalfrequenzen �a und �b erhält man: 

2 

�a � 

1 

( L�L12) C 

(5) 

2 

�b � 

1 

( L�L12) C 

(6) 

Im Normalfall stellt die freie Schwingung des gekoppelten Schwingkreises eine 

Überlagerung der Normalschwingungen mit den Frequenzen �a und �b dar. 

C1 

UC1 

1 L12 2 

L1 

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

L2 

UC2 

C2


Beispiel 4: Widerstandsgekoppelte LC-Schwingkreise 


In der Abb. sind zwei gekoppelte LC-Schwingkreise gezeichnet, die mit einem Widerstand gekoppelt 

sind. Die Kopplung auf den rechten Schwingkreis erfolgt durch die Spannung, die der Strom i1 im 

Widerstand R erzeugt. Diese Spannung wirk im rechten Schwingkreis wie eine erregende Spannung. 


Schleifen- und Knotenregel auf die Kreise 1 

und 2 liefert: 

u C1 

� uL1 

� uR 

� u R � uL2 

� uC2 

i1 - i2 - iR = 0 

� 0 

� 0 

C1 

UC1 

L1 

i1 i2 

iR 

1 R 

2 

Für den Spezialfall C1 = C 2 = C und L1 = L2 = L ergeben sich die beiden gekoppelten DGL : 

Q1 

di1 

� L � iRR 

� 0 

C dt 

di2 

Q2 

� iRR 

� L � � 0 

dt C 

Wegen i1 - i2 - iR = 0 (dQ1/dt - dQ2/dt - iR = 0 ) gilt weiter: 

dQ 

� ( 

dt 

1 

2 

Q1 

2 

Q1 

d 

� L 

C dt 

2 

Q1 

2 

d 

dt 

d 

dt 

2 

Q2 

2 

dQ 

� ( 

dt 

1 

dQ 

� 

dt 

2 

2 

) R � 0 

dQ2 

d Q2 

Q2 

� ) R � L � � 0 

dt 

2 

dt C 

R dQ1 

dQ2 

Q1 

� ( � ) � � 0 

L dt dt LC 

R dQ2 

dQ1 

Q2 

� ( � ) � � 0 

L dt dt LC 

Bildet man die Summe (1)+(2) und die Differenz (1)-(2) der beiden Gleichungen, 

wird das Gleichungssystem mit dem Ansatz Qa = Q1 + Q2 und Qb = Q1 - Q2 entkoppelt. 

2 

Qa 

2 

d 

dt 

d 

dt 

2 

Qb 

2 

Qa 

� � 0 

LC 

2R 

dQ 

� 

L dt 

b 

Qb 

� � 0 

LC 

� 

2 

a � 

1 

LC 

2 

2 1 � R � 

� b � � � � 

LC � L � 

Die Eigenschwingung mit �b ist eine gedämpfte Schwingung, während die Eigenschwingung 

mit der Frequenz �a nicht gedämpft ist ! 

(1) 

(2) 

L2 

UC2 

C2

Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 2.2 Gekoppelte ...

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?