3. Finite-Elemente-Methode (FEM)

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
Beim��Ð�Ö��Ò- bzw.Ê�ØÞ-Verfahren ist ein Ansatz für das gesamte Gebiet zu machen,
was bei komplexen Berandungen und Randbedingungen (��Ð�Ö��Ò: Ansatz erfüllt alle
Randbedingungen,Ê�ØÞ: Ansatz erfüllt kinematische Randbedingungen) sehr kompliziert
werden kann. Abhilfe schafft ein bereichsweise definierter Ansatz, was uns auf die Methode
der finiten Elemente führt (�ÓÙÖ�ÒØ1888-1972).
3.1. Schwache Form und Variationsformulierung
Man kann verschiedene Zugänge zur Methode der Finiten Elemente finden. Wir betrachten
zunächst das einfache eindimensionale Beispiel eines einseitig eingespannten Stabes aus Abbildung
3.1.
Differentialgleichung :
x
p(x) F
l
EA
Abbildung 3.1.: Einseitig eingespannter Balken
N ′ +p = 0 GGW
N = EAε Stoffgesetz
ε = u ′ Kinematik
⎫
⎬
⎭ (EAu′ ) ′ +p = 0
Eine Lösung erhält man durch Integration des letzten Ausdrucks und Einsetzen der Randbedingungen:
u(0) = 0 kinematische Randbedingung
N(l) = EAu ′ (l) = F dynamische Randbedingung
15

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
3.1.1. Schwache Form / Prinzip der virtuellen Verrückungen
Umeinen Ansatzzufinden,fordernwir, dassdasIntegralder Funktion N ′ +pmultipliziertmit
einer Testfunktion verschwinden soll. Partielle Integration und Einsetzen von Materialgesetz
und Kinematik liefert
� l
0 = (N ′ +p)ηdx
=
=
0
� l
0
� l
0
(−Nη ′ +pη)dx+Nη | l
0
EAu ′ η ′ dx−
� l
0
pηdx+Nη | l
0 .
Die letzte Gleichung ist äquivalent zum Prinzip der virtuellen Verrückungen, denn setzt man
η = δu, so erhält man
� l
EAu
0
′ δu ′ � l
dx−
pδudx− Nδu|
0 � �� �
l
0 = 0, (3.1)
� �� �
δW i
−δW a
das heißt δW i = δW a . In Worten: Bei einer virtuellen Verrückung aus der Gleichgewichtslage
ist die Arbeit der inneren Kräfte gleich der Arbeit der äußeren Kräfte.
Betrachte nun den Term − Nδu| l
0 für unser konkretes Beispiel
�
x = 0 : u(0) = 0 ❀ δu = 0
− Nδu|
x = l : N = F
l
0 = −Fδu(l).
Schwache Form: geringe Differenzierbarkeitsanforderungen an den Ansatz für u.
3.1.2. Variationsprinzip
Die Gleichung (3.1) lässt sich auch aus dem Potential des Stabes ableiten. Hier berechnen
wir einen Minimalwert für das Potential in Abhängigkeit der Verrückung u(x). Dies führt zur
Variationsrechnung
� l
1
Π[u] =
0 2 EAu′2 � l
dx−
pudx− Nu|
0 � �� �
l
0 → min
� �� �
δΠ[u] =
Anmerkung:
16
� l
0
Π i
EAu ′ δu ′ dx−
� l
0
Π a
pδudx− Nδu| l
0 = 0. (3.2)
• identisches Resultat wie vorher, aber nicht immer existiert Π (Plastizität)
• vgl. Ritz-Verfahren

3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher
Differentialgleichungen
3.2.1. Stabelement
3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen
Als Ausgangspunkt wählen wir Gleichung (3.1), bzw. (3.2) und betrachten dabei Systeme
ohne Randlasten (Abbildung 3.2), d.h.
� l
δΠ[u] = EAu ′ δu ′ � l
dx− pδudx = 0.
0
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
00 11
x
0
p(x)
l
Abbildung 3.2.: Einseitig eingespannter Balken ohne Randlast
Wir erstellen einen bereichsweisen Ansatz für u und verwenden dabei die Formfunktionen NI
(Abbildung 3.3). Wir erhalten für die Verschiebung
u h (x) =
N�
NI(x)uI. (3.3)
I=1
Die in Abbildung 3.3 dargestellten Formfunktionen NI sind durch
⎧
⎨ 1−
NI(x) =
⎩
xI−x
für xI−1 < x < xI
hI−1
1+ xI−x
für xI < x < xI+1
hI
0 sonst.
(3.4)
mit hI = xI+1 −xI und hI−1 = xI −xI−1 gegeben. Mit den Gleichungen (3.3) und (3.4)
ergibt sich eine Formel für die Ableitung der Verschiebung
mit
(u h (x)) ′ =
N�
I=1
BI(x) = N ′ I (x) =
N ′ I (x)uI =
⎧
⎨
N�
BI(x)uI, (3.5)
I=1
1 für xI−1 < x < xI
hI−1
−1
für xI < x < xI+1
hI ⎩
0 sonst
17

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
ũ
NI
1
u1 u2 u3 u4 u5
x1 x2 x3 x4 x5
N3
N4
x1 x2 x3 x4 x5
h1
h2
h3
Abbildung 3.3.: Bereichsweise linearer Ansatz
Für die virtuellen Verrückungen (Testfunktionen) wird ein analoger Ansatz gewählt (vgl.
��Ð�Ö��ÒVerfahren), d.h.
und
δu h (x) =
(δu h (x)) ′ =
N�
NJ(x)δuJ
J=1
h4
x
x
(3.6)
N�
BJ(x)δuJ. (3.7)
J=1
Einsetzen dieser Ansätze in die schwache Form (3.1), bzw. in die erste Variation (3.2) liefert
δW[u h � �
l N�
� �
N�
� � �
l N�
�
] = BIδuI EA BJuJ dx− NIδuI pdx = 0 .
0
I=1
J=1
Da die virtuellen Verschiebungen δuI von x unabhängig sind, können sie aus der Intergration
herausgezogen werden. Damit erhält man die Gleichung
N�
�� l N�
� �
l
δuI BIEA BJuJ dx− NIpdx = 0 , (3.8)
I=1
0
J=1
0
die für beliebige δuI gelten muss. Das bedeutet, dass die Klammer (...) verschwinden muss.
Es entstehen N Gleichungen für die N unbekannten Verschiebungen uJ. Da auch diese von
18
0
I=1

3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen
x unabhängig sind, lassen sie sich ebenfalls aus dem Integral ziehen, wodurch
N�
� l � l
BIEABJ dxuJ = NIpdx (3.9)
J=1
0
0
entsteht. Mit den Abkürkungen KIJ = � BIEABJ dx und FI = � NIpdx lässt sich (3.9)
kürzer schreiben als
N�
J=1
KIJuJ = FI
(3.10)
bzw. Ku = F. (3.11)
Beispiel:
Betrachten wir noch einmal den einseitig eingespannten Balken ohneRandlastmitp(x) = p0.
u1
x
h1
p0
l
u2
EA
Abbildung 3.4.: Diskretisierung Balken ohne Randlast
Wählt man für die Ansatzfunktionen lineare Ansätze (Abbildung 3.5), so ergeben sich die
Gleichungen
u h = N1u1 +N2u2 +N3u3
� u h � ′ =
� − 1
h1 u1 + 1
h1 u2, 0 ≤ x ≤ h1
− 1
h2 u2 + 1
h2 u3, h1 ≤ x ≤ h1 +h2
h2
u3
19

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
u1 u2 u3
h1
N1
N2
h2
N3
− 1
h1
1
h1
−
1
h2
1
h2
N ′ 3
N ′ 1
N ′ 2
Abbildung 3.5.: Beispiel eines linearen Ansatzes
Nun können wir die Komponenten der Steifigkeitsmatrix KIJ und die der rechten Seite FI
gemäß (3.10) berechnen und wir erhalten für (3.11) das System
⎡
⎢
EA⎢
⎣
1
h1
− 1
h1
− 1
h1
1 1
+ h1 h2
0 − 1
h2
0
− 1
h2
1
h2
⎤⎡
⎥⎢
⎥⎢
⎦⎣
u1
u2
u3
⎤
⎥
⎦
= p0
Alle Einträge, die h1 enthalten, kommen vom Stab zwischen den Knoten 1 und 2. Die Einträge,
die h2 enthalten, erhalten wir durch den Stab zwischen den Knoten 2 und 3. Hier erkennt
man gut den elementweisen Aufbau des Gleichungssystems und daher macht auch der Name
” Finite Elemente Methode“ durchaus Sinn.
Das Gleichungssystem ist singulär. Um die Verschiebungen wirklich ausrechnen zu können,
müssen die Randbedingungen u1 = 0 und damit δu1 = 0 eingearbeitet werden. Aus u1 = 0
folgt direkt, dass die erste Spalte der Matrix gestrichen werden kann. Die zweite Randbedingung
δu1 führt zum Streichen der ersten Zeile, s. Gleichung (3.8). Dadurch erhalten wir das
lineare Gleichungssystem
EA
� 1
h1
+ 1
h2
1
h2
− 1
h2
1
h2
�� u2
u3
�
= p0
� � h1
2
⎡
⎢
⎣
� h1
2
�
h2 + 2
h1
2
+ h2
2
3.2.1.1. Elementsteifigkeitsmatrix und Elementlastfaktor
Betrachtet wird nun ein ” Element“ zwischen zwei Knoten. Mit e bezeichnen wir im Folgenden
die Elementnummer. Hat eine der Größen den Index e, so bezieht sich diese Größe auf das
Element mit der Nummer e.
Betrachten wir zunächst einen linearen Ansatz für die Formfunktion, wie er in Abbildung 3.6
20
h2
2
h2
2
�
.
�
⎤
⎥
⎦ .

N e 1
N e 2
u e 1
3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen
xe
he
u e 2
xe
xe
e : Elementnummer
N e 1 (xe) = 1− xe
N e 2(xe) = xe
Abbildung 3.6.: Allgemeines 2-Knoten-Stabelement
dargestellt ist. Wir erhalten für die Verschiebungen im Stab
2�
�
ue =
= N e u e = (u e ) T (N e ) T ,
(ue) ′ =
I=1
2�
I=1
N e I(xe)u e I = � N e 1 N e 2
B e I (xe)u e I = � − 1
he
1
he
� � u e 1
u e 2
� � u e 1
u e 2
he
he
�
= B e u e = (u e ) T (B e ) T .
Zur Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrix und des Elementlastvektors wird das diskrete
Gesamtpotential betrachtet. Es gilt:
Π h Ne �
(u) =
e=1
Π e (u e ) ,
wobei das Potential eines Elements gegeben ist durch
Π e (u e ) = 1
� he
(ue)
2 0
′ EAe(ue) ′ �
dxe − uepedxe
= 1
2 (ue ) T
� he
(B e ) T EAeB e dxeu e −(u e ) T
� he
0
0
(N e ) T pedxe
Damit gilt für die 1. Variation des Elementpotentials, d.h. für die schwache Form auf Elementebene:
⎡
⎤
δΠ e = (δu e ) T
⎢�
he
⎢ (B
⎣ 0
e ) T EAeB e dxe u
� �� �
e � he
− (N
0
e ) T ⎥
pedxe⎥
= 0.
⎦
� �� �
K e
F e
21

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
Damit lassen sich für EAe = EA = const und pe = p0 = const die Elementsteifigkeitsmatrix
K e und der Elementlastvektor F e berechnen. Wir erhalten
K e � � � �
1 − � �
he 1 1 EA 1 −1
= EAhe 1 − = (3.12)
he he
he −1 1
he
F e � � � he xe 1−
= p0 dxe = p0he
� �
1
(3.13)
2 1
Anmerkungen
0
he
xe
he
• Die Elementsteifigkeitsmatrix ist symmetrisch.
• Der Rang von K e ist 1, d.h. die Matrix ist nicht invertierbar. Den Nulleigenwerten
entsprechen die Starrkörperbewegungen.
• Die Zeilensumme und die Spaltensumme ergeben jeweils Null.
• Die resultierende Kraft ergibt sich durch F e 1 +Fe 2
= p0he.
Zur Bestimmung des Gesamtpotentials, also zum Zusammenbau des Gesamtsystems aus
den Elementen, müssen die Übergangsbedingungen (Kompatibilitäten) berücksichtigt werden.
Betrachte hierzu zwei Elemente mit den Elementnummern e−1 und e (Abbildung 3.7).
u e−1
1
(e−1)
u e−1
2
u e 1
(e)
Abbildung 3.7.: Zwei zu assemblierende Elemente
Der rechte Knoten des Elementes e − 1 und der linke Knoten des Elementes e sollen die
gleichen Verschiebungen erfahren, also
u e−1
2 = u e 1. (3.14)
Da in einem FE-Programm Knoten globale Knotennummern haben, geschieht der Zusammenbau
von lokalen und globalen Verschiebungen nach dem Schema, das in Abbildung 3.8
skizziert ist.
Das heißt
22
u e = A e u (3.15)
Bsp: e = 5 :
�
u (5)
1
u (5)
2
�
=
� 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
⎡
� ⎢
⎣
u1
u2
.
u7
⎤
⎥
⎦
u e 2

1 2 3 4 5 6 7
3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
globale Knotennummer
(Elementnummer e)
1 (5) 2 lokale Knotennummer
Abbildung 3.8.: Zusammenhang zwischen globalen und lokalen Knotennummern
A e ist eine sogenannte Boolesche Matrix. Damit lässt sich der Zusammenbau/Assemblierung
wie folgt realisieren:
Π h (u) =
Ne �
e=1
= 1
2 uT
Π e =
Ne �
e=1
Ne � 1
2 (ue ) T K e u e −
e=1
Π h (u) = 1
2 uT Ku−u T F → min
Für die 1. Variation gilt damit
Ne �
e=1
(u e ) T F e
(Ae ) T K e A e u−u T
Ne �
(Ae ) T F e
δΠ h (u) = δu T [Ku−F] = 0, ∀ δu
e=1
❀ Ku = F, (3.16)
wobei die globale Steifigkeitsmatrix K wieder eine symmetrische Matrix ist. Sie und der
globale Lastvektor F sind durch die Formeln
K =
F =
Ne �
e=1
Ne �
e=1
(A e ) T K e A e
(A e ) T F e
(3.17)
(3.18)
gegeben. Eine Berechnung der Matrizen K und F nach (3.17) und (3.18) ist numerisch
sehr ineffizient, da die Boolesche Matrix A e viele 0-Einträge enthält. Daher wird bei der
Implementierung anders vorgegangen. Es wird mit einem Koinzidenzschema (Zeigerfeld gearbeitet).
Zum obigen Beispiel (Abbildung 3.8) wird z.B. folgendes Schema gespeichert.
Element 1 2 3 4 5 6
lokaler Knoten 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
globaler Knoten 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
Tabelle 3.1.: Koinzidenzschema/Topologiefeld
23

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
01
01
01
01
01
01
01
01
01
P3
1 2 3 4 5 6
Abbildung 3.9.: Beispiel eines durch Einzelkräften belasteten Stabes
Als einfaches Beispiel betrachten wir eine Reihe von Ne Stäben mit he = const und EAe =
EA = const und erhalten die globale Steifigkeitsmatrix
K = EA
⎡
⎤
1 −1
⎢ −1 1+1 −1 ⎥
⎢ −1 1+1 −1 ⎥
⎢
h ⎢
.. .. ..
⎥ .
. . . ⎥
⎢
⎥
⎣ −1 1+1 −1 ⎦
−1 1
Greifen an einem Stabsystem zusätzlich Einzelkräfte Pi an, so werden diese auf der rechten
Seite des Gleichungssystems (3.16) berücksichtigt. Belasten wir einen Stab zum Beispiel an
den Knoten 3 und 6 (siehe Abbildung 3.9), so ergibt sich das Gleichungssystem
⎡
⎢
Ku = F = ⎢
⎣
0
0
−P3
0
0
P6
⎤
⎥
⎥.
⎥
⎦
Das stimmt mit der Formel aus dem Prinzip der virtuellen Verrückungen überein, in der die
Kräfte in folgender Weise berücksichtigt werden:
� l
δΠ = EAu ′ δu ′ � l
dx− pδudx−(−P3)δu3 −P6δu6 = 0 .
0
0
Die Finite Elemtente Methode liefert als Ergebnis das Verschiebungsfeld u. In vielen technischen
Fragestellungen sind aber nicht die Verschiebungen von Interesse, sondern z.B. die
Spannungen. Diese lassen sich aus der Lösung von (3.16) in einer Nachlaufrechnung bestimmen.
Dieser Prozess wird ” Postprocessing“ genannt. Die Spannung werden dabei aus der
Dehnung und damit aus der Ableitung der Verschiebung berechnet. Es gelten:
σ = Eε = Eu ′ ,
u e = N e u e , bzw. εe = B e u e .
Damit ergeben sich die Spannungen in einem Element zu
σe = EB e u e = EB e A e �
u = E − 1 1
he he
24
= E ue 2 −u e 1
he
�� u e 1
u e 2
. (3.19)
�
P6

3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen
u e 1
(e)
he
Abbildung 3.10.: Knotenverschiebungen auf Elementebene
Anmerkung
Wir werden aus (3.19) immer eine konstante Spannung im Element σe = const erhalten. Für
p(x) �= 0 kann das nur eine Näherung darstellen.
Bei konstanter Spannung ist die Normalkraft im Element ebenfalls konstant und es besteht
der Zusammenhang
u
Ne = σeAe = EAe
e 2 −ue1 .
he
Bis hierhin haben wir nur Stäbe betrachtet, deren Lage mit der Koordinatenrichtung zusammenfällt.
Für Fachwerke dagegen ist die Einbeziehung von gedrehten Stäben, d.h. die
Beschreibung von Stäben in beliebiger Lage notwendig. Betrachte dazu einen um den Winkel
α gedrehten Stab, wie er in Abbildung 3.11 dargestellt ist.
y
x
u e 1
u e 1,x
1
¯x
u e 1,y
Wir erkennen die Beziehungen
he, EA
α
2
u e 2
u e 2
u e 2,x
u e 2,y
Abbildung 3.11.: Stab in allgemeiner Lage
u e 2
α
u2,x
u e 1,x = ue 1 cosα ue 2,x = ue 2 cosα
u e 1,y = ue 1 sinα ue 2,y = ue 2 sinα
u e 1 = ue 1,x cosα+ue 1,y sinα ue 2 = ue 2,x cosα+ue 2,y sinα
·
u2,y
α
25

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
Damit lässt sich nun ein Zusammenhang zwischen lokalen Freiheitsgraden (ue 1 ,ue2 ) und globalen/kartesischen
Freiheitsgraden (ue 1x,ue 1y,ue 2x,ue 2y) beschreiben
u e =
� u e 1
u e 2
� � �
cosα sinα 0 0
=
0 0 cosα sinα
� �� �
R e
⎡
u
⎢
⎣
e 1,x
ue 1,y
ue 2,x
ue ⎤
⎥
⎦
2,y
� �� �
u
(3.20)
Bezeichnet man die Transformationsmatrix mit R e und den Vektor der Verschiebungen mit
u, dann lässt sich (3.20) kurz schreiben als
u e = R e u und
δu e = R e δu.
Für den obigen Stab aus Abbildung 3.11 lassen sich damit die Elementsteifigkeitsmatrix ˆK e
und der Elementlastvektor ˆ F e
bezüglich des globalen Koordinatensystems berechnen aus
δΠe = δu T
�
ReT � he
B
0
T EAeB d¯xR e
� �� �
ˆK e
u−R eT
� he
N
0
T ped¯x
� �� �
ˆF e
�
= 0
ˆK e
= R eT K e R e (3.21)
ˆF e = R eT F e
(3.22)
Für EAe = EA = const, p = p0 = const und he = h gilt damit
ˆK e
= EA
⎡
c
⎢
h ⎣
2 cs −c2 −cs
cs s2 −cs −s2 −c2 −cs c2 cs
−cs −s2 cs s2 ⎤
⎥
⎦
ˆF e
= p0h
⎡ ⎤
c
⎢ s ⎥
2 ⎣ c ⎦
s
,
wobei die Abkürzungen c = cosα und s = sinα verwendet wurden.
3.2.2. Balkenelemente
Zunächst sollen einige Grundlagen der Balkentheorie zusammengestellt werden. Es wird ein
eindimensionaler Spannungszustand vorausgesetzt und bezüglich der Kinematik wird angenommen,
dass deformierte Querschnitte eben bleiben. Eine Längsdeformation der Balkenmittellinie
wird zunächst vernachlässigt. Ein deformierter Balken und die verwendeten Größen
sind in Abbildung 3.12 skizziert. Außerdem verwenden wir die Notation (·) ′ = ∂(·)
∂x .
Mit den Größen w und β lässt sich die Schubverzerrung γxz = γ berechnet (Abbildung 3.13).
26

Es gelten die kinematischen Beziehungen
z
3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen
w
P ′
P
β
Abbildung 3.12.: Deformierter Balken
β
z
w ′
Abbildung 3.13.: Schubverzerrung
w = w(x) (3.23)
u(x,z) = −zβ(x) (3.24)
γxz = γ = ∂w
∂x
x
+ ∂u
∂z = w′ −β (3.25)
ε = ∂u
∂x = −zβ′ . (3.26)
Für die Kraftgrößen Querkraft Q und Biegemoment M gelten mit σ = Eε und τ = Gγ die
linearen Beziehungen
�
Q = τ dA = GĀγ, (3.27)
�
M =
zσdA = −Eβ ′
�
z 2 dA = −EIβ ′
wobei Ā die Ersatzfläche für Schub darstellt, da τ nicht konstant über A ist.
x
(3.28)
27

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
Hinzu kommen die Gleichgewichtsbeziehungen zwischen den Kraftgrößen. Es gilt (siehe Abbildung
3.14 und vgl. TM 1)
M ′ −Q = 0 (3.29)
Q ′ +q = 0. (3.30)
Daraus folgt direkt, dass M ′′ +q = 0.
q
Q Q+dQ
M M +dM
dx
Abbildung 3.14.: Gleichgewicht am deformierten Balken
3.2.2.1.�ÙÐ�Ö��ÖÒÓÙÐÐ�-Balken
Beim�ÙÐ�Ö��ÖÒÓÙÐÐ�-Balken wird
d.h.
davon ausgegangen, dass der Balken schubstarr ist,
γ = w ′ −β = 0 ❀ w ′ = β (3.31)
Dadurch geht in (3.27) das Stoffgesetz verloren und die Querkraft ist nur durch die Gleichgewichtsbeziehung
(3.29)bestimmt.Verwendet man(3.31),soergibtsichfürdasBiegemoment
aus (3.25) und (3.28) die Gleichung
M = −EIw ′′
(3.32)
MitderBedingungM ′′ +q = 0folgtsomitdieVerschiebungsdifferentialgleichungdes�ÙÐ�Ö
��ÖÒÓÙÐÐ�-Balkens (EIw ′′ ) ′′ −q = 0. (3.33)
Nun können wir auch das Potential für einen�ÙÐ�Ö��ÖÒÓÙÐÐ�-Balken aufstellen. Für
verschwindende Randlasten gilt
Π[w] = 1
� l
EIw
2 0
′′2 � l
dx− qwdx → min (3.34)
0
und die erste Variation bzw. Schwache Form lautet
� l
δΠ[w] = EIw ′′ δw ′′ � l
dx− qδwdx = 0. (3.35)
28
0
0

2
3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen
x
1 3
l/2 l/2
ξ = −1 ξ = 0 ξ = 1
Abbildung 3.15.: Freiheitsgrade am�ÙÐ�Ö��ÖÒÓÙÐÐ�-Balken
Alswesentlichebzw.geometrischeRandbedingungengeltenbeim�ÙÐ�Ö��ÖÒÓÙÐÐ�-Balken
die Absenkung w und die Neigung w ′ . Dies hat zur Konsequenz, dass die elementweisen Ansätze
stetig in w und w ′ sein müssen (C 1 -Stetigkeit). Dies ist eine höhere Stetigkeitsanforderung
als beim Stabelement, bei dem nur stetige Funktionswerte (C 0 -Stetigkeit) gefordert
werden. Daraus ergibt sich ein einfaches Balkenelement mit jeweils zwei Freiheitsgraden (Absenkung
und Neigung) an zwei Knoten, siehe Abbildung 3.15.
Als Ansätze für die Absenkung w im Element wird eine Interpolation mit Formfunktionen
aus einem kubischen Polynom gewählt:
NI(ξ) = a 0 I +a1 I ξ +a2 I ξ2 +a 3 I ξ3
ξ
für I = 1,2,3,4
Hier ist I die Nummer des Freiheitsgrades und nicht die Knotennummer. Mit der dimensionslosen
Koordinate ξ, für die gilt
x = l 2x
(ξ +1) → ξ =
2 l −1
lassen sich die Ableitungen schreiben als
d(·)
dx
= d(·)
dξ
2
l
und
d 2 (·)
Die Ansatzkoeffizienten a 0 I ,...,a3 I
dx2 = d2 (·)
dξ2 4
.
l2 ergeben sich aus folgenden Bedingungen:
I = 1 : N1(−1) = 1, ∂N1
∂ξ (−1) = 0, N1(1) = 0, ∂N1
(1) = 0,
∂ξ
I = 2 : N2(−1) = 0, ∂N2
∂ξ (−1) = 1, N2(1) = 0, ∂N2
(1) = 0,
∂ξ
I = 3 : N3(−1) = 0, ∂N3
∂ξ (−1) = 0, N3(1) = 1, ∂N3
(1) = 0,
∂ξ
I = 4 : N4(−1) = 0, ∂N4
∂ξ (−1) = 0, N4(1) = 0,
4
∂N4
(1) = 1 .
∂ξ
(3.36)
29

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
Die Lösung dieses Systems sind die sogenannten Hermite-Funktionen
N1(ξ) = 1 �
3
2−3ξ +ξ
4
� ,
N2(ξ) = 1 �
2 3
1−ξ −ξ +ξ
4
� ,
N3(ξ) = 1 � 3
2+3ξ −ξ
4
� ,
N4(ξ) = 1 �
2 3
−1−ξ +ξ +ξ
4
� ,
die in Abbildung 3.16 skizziert sind. Also ergibt sich
w h (ξ) = N1(ξ)w1 +N2(ξ)
�
= N1(ξ)
1
NI
N2
N1
N3
N4
Abbildung 3.16.: Hermite-Funktionen
� �
dw
+N3(ξ)w2 +N4(ξ)
dξ 1
l
2 N2(ξ) N3(ξ)
l
2 N4(ξ)
⎡
�
⎢
⎣
w1
w ′ 1
w2
w ′ 2
ξ
� �
dw
dξ
⎤
⎥
⎦
2
(3.37)
(3.38)
= N(ξ)w . (3.39)
Für die zweite Ableitung erhält man
� w h (ξ) � ′′ = 4
l 2
d2wh 1
=
dξ2 l2 � �
6ξ l(3ξ −1) −6ξ l(3ξ +1) w (3.40)
= B(ξ)w (3.41)
Einsetzen in die schwache Form führt zu
⎛
30
δΠ = δw T
⎜�
⎜ 1
⎜ B
⎝ −1
T (ξ)EIB(ξ) l
2 dξ
� �� �
K e
� 1
w − N
−1
T (ξ)q(ξ) l
2 dξ
� �� �
F e
⎟ = 0.
⎠
⎞

3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen
Damit erhält man eine Elementsteifigkeitsmatrix K e und der Elementlastvektor F e . Für den
Eintrag K e 11 errechnet man zum Beispiel
K e 11 =
� 1
1
l4(6ξ)2EI l EI
dξ =
2 2l312ξ3 �
�
�
�
−1
und für den Eintrag F e 1
F e 1 =
� 1
−1
1
4 (2−3ξ +ξ3 l
)q0
2
1
−1
dξ = q0l
2 .
= 12 EI
l 3
Für die gesamte Elementsteifigkeitsmatrix K e mit EI = const und den Elementlastvektor
F e mit q = q0 = const errechnet man
K e = EI
l3 ⎡
12 6l −12 6l
⎢ 6l 4l
⎣
2 −6l 2l2 −12 −6l 12 −6l
6l 2l2 −6l 4l2 ⎤
⎥
⎦ , (3.42)
F e = q0l
⎡
1
⎢
l
⎢ 6
2 ⎢ 1
⎣
− l
⎤
⎥ .
⎥
⎦
6
(3.43)
Beachtenswert ist die Tatsache, dass die Belastung durch eine Streckenlast zu Einträgen in
den Verdrehungsfreiheitsgraden, d. h. zu Einträgen in den Spalten 2 und 4 des Lastvektors
führt.
3.2.2.2.Ì�ÑÓ×��Ò�ÓBalken
Die allgemeine Beziehungen für Kinematik, Stoffgesetz und Gleichgewicht wurde bereits in
3.2.2 zur Verfügung gestellt. BeimÌ�ÑÓ×��Ò�Ó-Balken, einen schubweichen Balken, werden
Absenkung w und Verdrehung β als unabhängige kinematische Größen betrachtet. Das
Potential ist damit durch
Π[w,β] = 1
� l
Mβ
2 0
′ dx+ 1
� l � l
Qγdx− qwdx
2 0 0
= 1
� l
EIβ
2
′2 dx+ 1
� l
G
2
Ā(w′ −β) 2 � l
dx− qwdx → min. (3.44)
0
0
gegeben. Da beide Funktionen w und β jeweils nun in der ersten Ableitung auftreten, können
wir für beide Funktionen lineare Ansätze wählen.
Betrachten wir zunächst aber die 1. Variation
� l
δΠ[w,β] = EIβ ′ δβ ′ � l
dx+ GĀ(w′ −β)(δw ′ � l
−δβ)dx− qδwdx = 0. (3.45)
0
0
0
0
31

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
Lineare Ansätze (siehe Abbildung 3.17) sind wie beim Stabelement durch N1 = 1− xe
l und
N2 = xe
gegeben. Damit lässt sich l folgendesÌ�ÑÓ×��Ò�Ó-Element generieren, das in
Abbildung 3.18 skizziert ist.
N1
xe
l
N2
Abbildung 3.17.: Lineare Ansätze für Balkengrößen
β1
w1
Abbildung 3.18.: Freiheitsgrade desÌ�ÑÓ×��Ò�Ó-Elements
Für Absenkung w h und Verdrehung β h des Elementes gilt
w h = N1w1 +N2w2
β h = N1β1 +N2β2.
Mit dem Unbekanntenvektor u e für ein Element
u e =
⎡
⎢
⎣
w1
β1
w2
β2
⎤
⎥
⎦
β2
w2
(3.46)
können wir folgende Matrixschreibweise einführen, wobei wir durch den Index w bzw. β die
Ansatzfunktionen unterscheiden.
32
wh = � N1 0 N2 0 � ue = Nwue ; δwh = Nwδue = (δue ) TN T
w
βh = � �
e 0 N1 0 N2 u = Nβue ; δβh = Nβδue = (δue ) TN T
β
w h′ = � − 1
l 0 1
βh′ = � 0 −1 0 l 1
l
0 l � ue = Bwue ; δwh′ = Bwδue = (δue ) TB T
w
�
e u = Bβue ; δβh′ = Bβδue = (δue ) TB T
β

01
01
01
01
01
3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen
2l
Abbildung 3.19.: Beispiel eines durch eine Einzelkraft belasteten Balkens
Einsetzen dieser Ausdrücke in die 1. Variation (3.45) liefert dann
δΠ h e = (δue ) T
��� � le
le�
T
+ Bw −NT
�
β GĀ � �
�
Bw −N β dx u e
B
0
T
βEIB βdx � �� �
K e
MM
� le
−
0
N T
w qdx
Durch (3.47) lassen sich Biegesteifigkeitsmatrix K e
MM
ausrechnen:
K e
MM
= EI
l
K e GĀ
QQ =
l
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
�
0 0 0 0
0 1 0 −1
0 0 0 0
0 −1 0 1
β2
F
w2
0 � ��
K
�
e
QQ
. (3.47)
⎤
⎥
⎦
1 l
2 −1 l
2
l
2
l 2
3 −l
2
l 2
6
−1 − l
2 1 − l
2
l
2
K e = K e
MM +Ke
QQ
l 2
6 −l
2
l 2
3
⎤
⎥
⎦
und Querkraftsteifigkeitsmatrix Ke
QQ
(3.48)
(3.49)
. (3.50)
Als Beispiel betrachten wir den eingespannten Balken aus Abbildung 3.19. Durch die Randbedingungen
werden erste und zweite Zeile und Spalte in den jeweiligen Steifigkeitsmatrizen
gestrichen und es ergibt sich das Gesamtsystem
� � �
EI 0 0
+
2l 0 1
GĀ
�
1 −l
4
2l −l 3l2 ���
w2
β2
Das liefert die Gleichungen
− GĀ
2 w2 +
GĀ 2l w2 − GĀ
2 β2 = F ,
�
EI 2
+
2l 3 GĀl
�
β2 = 0 .
�
=
� F
0
�
33

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
Für einen Rechteckquerschnitt mit Breite b und Höhe h gilt: I = bh3
12
Lösung des Gleichungssystems liefert die Absenkung w2:
w2 = 8Fl(α2 +6)
G Ā(α2 +24) , α = 4√ 3 b
h .
Für einen schlanken Balken (h → 0) erhält man im Grenzwert das Ergebnis
5 und Ā = bh. Die 6
w2 = 8Fl
GĀ = 4wSchub �= wBiegung.
Dieses problematische Verhalten desÌ�ÑÓ×��Ò�Ó-Balken bezeichnet man als locking“,
”
da das Element zu steif reagiert und die Biegedeformation wBiegung = 8Fl3 unterdrückt wird.
3EI
Dieses Verhalten kann durch eine gemischte Elementformulierung behoben werden. Hierzu
betrachten wir erneut das Gesamtpotential eines Balkens.
Π[w,β] = 1
� l
EIβ
2 0
′2 dx+ 1
� l
G
2 0
Ā(w′ −β) 2 dx−Last ,
wobeiwirdenLasttermnichtweiterbetrachtenwollen.UnterderEinbeziehungvonM = EIβ ′
und Q = GĀγ können wir eine gemischte Formulierung erzeugen, bei der neben den kinematischen
Größen w und β auch die Größen M und Q auftauchen:
Π[w,β,Q,M] = 1
� l
(Mβ
2 0
′ +Qγ) dx
� l��
= Mβ ′ − 1M
2
2�
�
+ Qγ −
EI
1 Q
2
2
GĀ ��
dx → stat.
0
Im Gleichgewichtsverhältnis muss dieses Funktional einen Stationärwert annehmnen. Die Minimumseigenschaft
geht bei der gemischten Formulierung verloren. Imweiteren konzentrieren
wir uns auf eine bezüglich Q gemischte Formulierung, d.h.
Π[w,β,Q] = 1
� l
EIβ
2 0
′2
� l
dx+ Q(w
0
′ −β) dx− 1
� l
Q
2 0
2
dx . (3.51)
GĀ Für die erste Variation erhält man daher
� l
δΠ[w,β,Q] = EIβ
0
′ δβ ′ � l
dx+ Q(δw
0
′ � l
−δβ) dx+ δQ(w
0
′ −β) dx
� l
Q
− = 0.
GĀδQdx (3.52)
0
Definieren wir nun ein Element mit den in Abbildung 3.20 skizzierten Freiheitsgraden
34
û e = � w1 β1 w2 β2 Q � T = � (u e ) T Q � T
(3.53)

β1
w1
3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen
Q β2
Abbildung 3.20.: Freiheitsgrade für gemischte Formulierung
d.h. w und β sind linear im Element, während Q als konstant über die gesamte Elementlänge
angenommen wird. Damit gilt folgende Darstellung für die interpolierten Felder:
w h = � N1 0 N2 0 0 � û e = ˆN wû e
β h = � 0 N1 0 N2 0 � û e = ˆN βû e
Q h = � 0 0 0 0 1 � û e = ˆN Q û e .
Analog zu vorher lassen sich (w h ) ′ ,(β h ) ′ und die virtuellen Verrückungen ausdrücken. Setzt
man diesen Ansatz in die Variation (3.52) ein, so erhält man für ein Element
δΠ h e = (δu e ) T
� le
+
ˆK e
0
ˆN T
Q
��� le
ˆN
0
T
� le�
βEI ˆB βdx+ ˆN
0
T
w − ˆN T
�
ˆN β Qdx
� � � le
ˆN w − ˆN β dx+ ˆN T 1
Q
GĀ ˆN
� �
Q dx ue = K e MM +K e MQ +K e QM +K e QQ
⎡
0 0 0 0 −1
⎢ EI
⎢
0 0 − le
= ⎢
⎣
EI
le −le
0 0 0 0
0 −
2
1
EI EI 0 le le
−le −1 −
2
le 1 − 2 le
⎤
2
⎥
⎦
0
− le
G Ā
w2
(3.54)
DaQinjedemElementkonstantistunddamitnichtvondenNachbarelementen abhängt(vgl.
Abbildung3.21)kannQaufElementenebeneherauskondensiertwerden. MitGleichung (3.53)
lässt sich das Gleichungssystem schreiben als
� K e
MM Ke
MQ
K e
QM Ke
QQ
�� � � �
e e
u F
=
Q 0
Aus der letzten Zeile lässt sich Q bestimmen:
K e
QM ue +K e
QQ
Q = 0
❀ Q = − � K e �
−1 e
QQ ) KQM ue .
(3.55)
35

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
000 111
000 111
Q
00 11
00 11
00 11
Abbildung 3.21.: Querkraft konstant auf Elementebene
Setzt man dies wieder in (3.55) ein, so erhält man eine reine Verschiebungsformulierung in
den Unbekannten (w,β)
F e = K e
MM ue +K e
MQQ = � K e
MM −Ke
� � � e −1 e
MQ KQQ ) KQM � �� �
K e
u e ,
mit der folgenden Steifigkeitsmatrix K e :
K e = K e
MM + GĀ
⎡ le 1 2
⎢
le ⎢
⎣
−1
le
2
le l
2
2 e
4 −le
l
2
2 e
4
−1 −le 1 − 2 le
2
36
le
2
l2 e
4 −le
2
l 2 e
4
⎤
⎥
⎦
(3.56)