3. Finite-Elemente-Methode (FEM)

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
Für einen Rechteckquerschnitt mit Breite b und Höhe h gilt: I = bh3
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Lösung des Gleichungssystems liefert die Absenkung w2:
w2 = 8Fl(α2 +6)
G Ā(α2 +24) , α = 4√ 3 b
h .
Für einen schlanken Balken (h → 0) erhält man im Grenzwert das Ergebnis
5 und Ā = bh. Die 6
w2 = 8Fl
GĀ = 4wSchub �= wBiegung.
Dieses problematische Verhalten desÌ�ÑÓ×��Ò�Ó-Balken bezeichnet man als locking“,
”
da das Element zu steif reagiert und die Biegedeformation wBiegung = 8Fl3 unterdrückt wird.
3EI
Dieses Verhalten kann durch eine gemischte Elementformulierung behoben werden. Hierzu
betrachten wir erneut das Gesamtpotential eines Balkens.
Π[w,β] = 1
� l
EIβ
2 0
′2 dx+ 1
� l
G
2 0
Ā(w′ −β) 2 dx−Last ,
wobeiwirdenLasttermnichtweiterbetrachtenwollen.UnterderEinbeziehungvonM = EIβ ′
und Q = GĀγ können wir eine gemischte Formulierung erzeugen, bei der neben den kinematischen
Größen w und β auch die Größen M und Q auftauchen:
Π[w,β,Q,M] = 1
� l
(Mβ
2 0
′ +Qγ) dx
� l��
= Mβ ′ − 1M
2
2�
�
+ Qγ −
EI
1 Q
2
2
GĀ ��
dx → stat.
0
Im Gleichgewichtsverhältnis muss dieses Funktional einen Stationärwert annehmnen. Die Minimumseigenschaft
geht bei der gemischten Formulierung verloren. Imweiteren konzentrieren
wir uns auf eine bezüglich Q gemischte Formulierung, d.h.
Π[w,β,Q] = 1
� l
EIβ
2 0
′2
� l
dx+ Q(w
0
′ −β) dx− 1
� l
Q
2 0
2
dx . (3.51)
GĀ Für die erste Variation erhält man daher
� l
δΠ[w,β,Q] = EIβ
0
′ δβ ′ � l
dx+ Q(δw
0
′ � l
−δβ) dx+ δQ(w
0
′ −β) dx
� l
Q
− = 0.
GĀδQdx (3.52)
0
Definieren wir nun ein Element mit den in Abbildung 3.20 skizzierten Freiheitsgraden
34
û e = � w1 β1 w2 β2 Q � T = � (u e ) T Q � T
(3.53)