3. Finite-Elemente-Methode (FEM)

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3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen
x
1 3
l/2 l/2
ξ = −1 ξ = 0 ξ = 1
Abbildung 3.15.: Freiheitsgrade am�ÙÐ�Ö��ÖÒÓÙÐÐ�-Balken
Alswesentlichebzw.geometrischeRandbedingungengeltenbeim�ÙÐ�Ö��ÖÒÓÙÐÐ�-Balken
die Absenkung w und die Neigung w ′ . Dies hat zur Konsequenz, dass die elementweisen Ansätze
stetig in w und w ′ sein müssen (C 1 -Stetigkeit). Dies ist eine höhere Stetigkeitsanforderung
als beim Stabelement, bei dem nur stetige Funktionswerte (C 0 -Stetigkeit) gefordert
werden. Daraus ergibt sich ein einfaches Balkenelement mit jeweils zwei Freiheitsgraden (Absenkung
und Neigung) an zwei Knoten, siehe Abbildung 3.15.
Als Ansätze für die Absenkung w im Element wird eine Interpolation mit Formfunktionen
aus einem kubischen Polynom gewählt:
NI(ξ) = a 0 I +a1 I ξ +a2 I ξ2 +a 3 I ξ3
ξ
für I = 1,2,3,4
Hier ist I die Nummer des Freiheitsgrades und nicht die Knotennummer. Mit der dimensionslosen
Koordinate ξ, für die gilt
x = l 2x
(ξ +1) → ξ =
2 l −1
lassen sich die Ableitungen schreiben als
d(·)
dx
= d(·)
dξ
2
l
und
d 2 (·)
Die Ansatzkoeffizienten a 0 I ,...,a3 I
dx2 = d2 (·)
dξ2 4
.
l2 ergeben sich aus folgenden Bedingungen:
I = 1 : N1(−1) = 1, ∂N1
∂ξ (−1) = 0, N1(1) = 0, ∂N1
(1) = 0,
∂ξ
I = 2 : N2(−1) = 0, ∂N2
∂ξ (−1) = 1, N2(1) = 0, ∂N2
(1) = 0,
∂ξ
I = 3 : N3(−1) = 0, ∂N3
∂ξ (−1) = 0, N3(1) = 1, ∂N3
(1) = 0,
∂ξ
I = 4 : N4(−1) = 0, ∂N4
∂ξ (−1) = 0, N4(1) = 0,
4
∂N4
(1) = 1 .
∂ξ
(3.36)
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