3. Finite-Elemente-Methode (FEM)

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
3.1.1. Schwache Form / Prinzip der virtuellen Verrückungen
Umeinen Ansatzzufinden,fordernwir, dassdasIntegralder Funktion N ′ +pmultipliziertmit
einer Testfunktion verschwinden soll. Partielle Integration und Einsetzen von Materialgesetz
und Kinematik liefert
� l
0 = (N ′ +p)ηdx
=
=
0
� l
0
� l
0
(−Nη ′ +pη)dx+Nη | l
0
EAu ′ η ′ dx−
� l
0
pηdx+Nη | l
0 .
Die letzte Gleichung ist äquivalent zum Prinzip der virtuellen Verrückungen, denn setzt man
η = δu, so erhält man
� l
EAu
0
′ δu ′ � l
dx−
pδudx− Nδu|
0 � �� �
l
0 = 0, (3.1)
� �� �
δW i
−δW a
das heißt δW i = δW a . In Worten: Bei einer virtuellen Verrückung aus der Gleichgewichtslage
ist die Arbeit der inneren Kräfte gleich der Arbeit der äußeren Kräfte.
Betrachte nun den Term − Nδu| l
0 für unser konkretes Beispiel
�
x = 0 : u(0) = 0 ❀ δu = 0
− Nδu|
x = l : N = F
l
0 = −Fδu(l).
Schwache Form: geringe Differenzierbarkeitsanforderungen an den Ansatz für u.
3.1.2. Variationsprinzip
Die Gleichung (3.1) lässt sich auch aus dem Potential des Stabes ableiten. Hier berechnen
wir einen Minimalwert für das Potential in Abhängigkeit der Verrückung u(x). Dies führt zur
Variationsrechnung
� l
1
Π[u] =
0 2 EAu′2 � l
dx−
pudx− Nu|
0 � �� �
l
0 → min
� �� �
δΠ[u] =
Anmerkung:
16
� l
0
Π i
EAu ′ δu ′ dx−
� l
0
Π a
pδudx− Nδu| l
0 = 0. (3.2)
• identisches Resultat wie vorher, aber nicht immer existiert Π (Plastizität)
• vgl. Ritz-Verfahren