3. Finite-Elemente-Methode (FEM)

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3. Finite-Elemente-Methode (FEM) Die Lösung dieses Systems sind die sogenannten Hermite-Funktionen N1(ξ) = 1 � 3 2−3ξ +ξ 4 � , N2(ξ) = 1 � 2 3 1−ξ −ξ +ξ 4 � , N3(ξ) = 1 � 3 2+3ξ −ξ 4 � , N4(ξ) = 1 � 2 3 −1−ξ +ξ +ξ 4 � , die in Abbildung 3.16 skizziert sind. Also ergibt sich w h (ξ) = N1(ξ)w1 +N2(ξ) � = N1(ξ) 1 NI N2 N1 N3 N4 Abbildung 3.16.: Hermite-Funktionen � � dw +N3(ξ)w2 +N4(ξ) dξ 1 l 2 N2(ξ) N3(ξ) l 2 N4(ξ) ⎡ � ⎢ ⎣ w1 w ′ 1 w2 w ′ 2 ξ � � dw dξ ⎤ ⎥ ⎦ 2 (3.37) (3.38) = N(ξ)w . (3.39) Für die zweite Ableitung erhält man � w h (ξ) � ′′ = 4 l 2 d2wh 1 = dξ2 l2 � � 6ξ l(3ξ −1) −6ξ l(3ξ +1) w (3.40) = B(ξ)w (3.41) Einsetzen in die schwache Form führt zu ⎛ 30 δΠ = δw T ⎜� ⎜ 1 ⎜ B ⎝ −1 T (ξ)EIB(ξ) l 2 dξ � �� K e � 1 w − N −1 T (ξ)q(ξ) l 2 dξ � �� F e ⎟ = 0. ⎠ ⎞
3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen Damit erhält man eine Elementsteifigkeitsmatrix K e und der Elementlastvektor F e . Für den Eintrag K e 11 errechnet man zum Beispiel K e 11 = � 1 1 l4(6ξ)2EI l EI dξ = 2 2l312ξ3 � � � � −1 und für den Eintrag F e 1 F e 1 = � 1 −1 1 4 (2−3ξ +ξ3 l )q0 2 1 −1 dξ = q0l 2 . = 12 EI l 3 Für die gesamte Elementsteifigkeitsmatrix K e mit EI = const und den Elementlastvektor F e mit q = q0 = const errechnet man K e = EI l3 ⎡ 12 6l −12 6l ⎢ 6l 4l ⎣ 2 −6l 2l2 −12 −6l 12 −6l 6l 2l2 −6l 4l2 ⎤ ⎥ ⎦ , (3.42) F e = q0l ⎡ 1 ⎢ l ⎢ 6 2 ⎢ 1 ⎣ − l ⎤ ⎥ . ⎥ ⎦ 6 (3.43) Beachtenswert ist die Tatsache, dass die Belastung durch eine Streckenlast zu Einträgen in den Verdrehungsfreiheitsgraden, d. h. zu Einträgen in den Spalten 2 und 4 des Lastvektors führt. 3.2.2.2.Ì�ÑÓ×��Ò�ÓBalken Die allgemeine Beziehungen für Kinematik, Stoffgesetz und Gleichgewicht wurde bereits in 3.2.2 zur Verfügung gestellt. BeimÌ�ÑÓ×��Ò�Ó-Balken, einen schubweichen Balken, werden Absenkung w und Verdrehung β als unabhängige kinematische Größen betrachtet. Das Potential ist damit durch Π[w,β] = 1 � l Mβ 2 0 ′ dx+ 1 � l � l Qγdx− qwdx 2 0 0 = 1 � l EIβ 2 ′2 dx+ 1 � l G 2 Ā(w′ −β) 2 � l dx− qwdx → min. (3.44) 0 0 gegeben. Da beide Funktionen w und β jeweils nun in der ersten Ableitung auftreten, können wir für beide Funktionen lineare Ansätze wählen. Betrachten wir zunächst aber die 1. Variation � l δΠ[w,β] = EIβ ′ δβ ′ � l dx+ GĀ(w′ −β)(δw ′ � l −δβ)dx− qδwdx = 0. (3.45) 0 0 0 0 31
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