3. Finite-Elemente-Methode (FEM)

β1
w1
3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen
Q β2
Abbildung 3.20.: Freiheitsgrade für gemischte Formulierung
d.h. w und β sind linear im Element, während Q als konstant über die gesamte Elementlänge
angenommen wird. Damit gilt folgende Darstellung für die interpolierten Felder:
w h = � N1 0 N2 0 0 � û e = ˆN wû e
β h = � 0 N1 0 N2 0 � û e = ˆN βû e
Q h = � 0 0 0 0 1 � û e = ˆN Q û e .
Analog zu vorher lassen sich (w h ) ′ ,(β h ) ′ und die virtuellen Verrückungen ausdrücken. Setzt
man diesen Ansatz in die Variation (3.52) ein, so erhält man für ein Element
δΠ h e = (δu e ) T
� le
+
ˆK e
0
ˆN T
Q
��� le
ˆN
0
T
� le�
βEI ˆB βdx+ ˆN
0
T
w − ˆN T
�
ˆN β Qdx
� � � le
ˆN w − ˆN β dx+ ˆN T 1
Q
GĀ ˆN
� �
Q dx ue = K e MM +K e MQ +K e QM +K e QQ
⎡
0 0 0 0 −1
⎢ EI
⎢
0 0 − le
= ⎢
⎣
EI
le −le
0 0 0 0
0 −
2
1
EI EI 0 le le
−le −1 −
2
le 1 − 2 le
⎤
2
⎥
⎦
0
− le
G Ā
w2
(3.54)
DaQinjedemElementkonstantistunddamitnichtvondenNachbarelementen abhängt(vgl.
Abbildung3.21)kannQaufElementenebeneherauskondensiertwerden. MitGleichung (3.53)
lässt sich das Gleichungssystem schreiben als
� K e
MM Ke
MQ
K e
QM Ke
QQ
�� � � �
e e
u F
=
Q 0
Aus der letzten Zeile lässt sich Q bestimmen:
K e
QM ue +K e
QQ
Q = 0
❀ Q = − � K e �
−1 e
QQ ) KQM ue .
(3.55)
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