3. Finite-Elemente-Methode (FEM)

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3. Finite-Elemente-Methode (FEM) Lineare Ansätze (siehe Abbildung 3.17) sind wie beim Stabelement durch N1 = 1− xe l und N2 = xe gegeben. Damit lässt sich l folgendesÌ�ÑÓ×��Ò�Ó-Element generieren, das in Abbildung 3.18 skizziert ist. N1 xe l N2 Abbildung 3.17.: Lineare Ansätze für Balkengrößen β1 w1 Abbildung 3.18.: Freiheitsgrade desÌ�ÑÓ×��Ò�Ó-Elements Für Absenkung w h und Verdrehung β h des Elementes gilt w h = N1w1 +N2w2 β h = N1β1 +N2β2. Mit dem Unbekanntenvektor u e für ein Element u e = ⎡ ⎢ ⎣ w1 β1 w2 β2 ⎤ ⎥ ⎦ β2 w2 (3.46) können wir folgende Matrixschreibweise einführen, wobei wir durch den Index w bzw. β die Ansatzfunktionen unterscheiden. 32 wh = � N1 0 N2 0 � ue = Nwue ; δwh = Nwδue = (δue ) TN T w βh = � � e 0 N1 0 N2 u = Nβue ; δβh = Nβδue = (δue ) TN T β w h′ = � − 1 l 0 1 βh′ = � 0 −1 0 l 1 l 0 l � ue = Bwue ; δwh′ = Bwδue = (δue ) TB T w � e u = Bβue ; δβh′ = Bβδue = (δue ) TB T β
01 01 01 01 01 3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen 2l Abbildung 3.19.: Beispiel eines durch eine Einzelkraft belasteten Balkens Einsetzen dieser Ausdrücke in die 1. Variation (3.45) liefert dann δΠ h e = (δue ) T �� le le� T + Bw −NT � β GĀ � � � Bw −N β dx u e B 0 T βEIB βdx � �� K e MM � le − 0 N T w qdx Durch (3.47) lassen sich Biegesteifigkeitsmatrix K e MM ausrechnen: K e MM = EI l K e GĀ QQ = l ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ � 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 −1 0 1 β2 F w2 0 � �� K � e QQ . (3.47) ⎤ ⎥ ⎦ 1 l 2 −1 l 2 l 2 l 2 3 −l 2 l 2 6 −1 − l 2 1 − l 2 l 2 K e = K e MM +Ke QQ l 2 6 −l 2 l 2 3 ⎤ ⎥ ⎦ und Querkraftsteifigkeitsmatrix Ke QQ (3.48) (3.49) . (3.50) Als Beispiel betrachten wir den eingespannten Balken aus Abbildung 3.19. Durch die Randbedingungen werden erste und zweite Zeile und Spalte in den jeweiligen Steifigkeitsmatrizen gestrichen und es ergibt sich das Gesamtsystem � � � EI 0 0 + 2l 0 1 GĀ � 1 −l 4 2l −l 3l2 �� w2 β2 Das liefert die Gleichungen − GĀ 2 w2 + GĀ 2l w2 − GĀ 2 β2 = F , � EI 2 + 2l 3 GĀl � β2 = 0 . � = � F 0 � 33
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