3. Finite-Elemente-Methode (FEM)

1 2 3 4 5 6 7
3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
globale Knotennummer
(Elementnummer e)
1 (5) 2 lokale Knotennummer
Abbildung 3.8.: Zusammenhang zwischen globalen und lokalen Knotennummern
A e ist eine sogenannte Boolesche Matrix. Damit lässt sich der Zusammenbau/Assemblierung
wie folgt realisieren:
Π h (u) =
Ne �
e=1
= 1
2 uT
Π e =
Ne �
e=1
Ne � 1
2 (ue ) T K e u e −
e=1
Π h (u) = 1
2 uT Ku−u T F → min
Für die 1. Variation gilt damit
Ne �
e=1
(u e ) T F e
(Ae ) T K e A e u−u T
Ne �
(Ae ) T F e
δΠ h (u) = δu T [Ku−F] = 0, ∀ δu
e=1
❀ Ku = F, (3.16)
wobei die globale Steifigkeitsmatrix K wieder eine symmetrische Matrix ist. Sie und der
globale Lastvektor F sind durch die Formeln
K =
F =
Ne �
e=1
Ne �
e=1
(A e ) T K e A e
(A e ) T F e
(3.17)
(3.18)
gegeben. Eine Berechnung der Matrizen K und F nach (3.17) und (3.18) ist numerisch
sehr ineffizient, da die Boolesche Matrix A e viele 0-Einträge enthält. Daher wird bei der
Implementierung anders vorgegangen. Es wird mit einem Koinzidenzschema (Zeigerfeld gearbeitet).
Zum obigen Beispiel (Abbildung 3.8) wird z.B. folgendes Schema gespeichert.
Element 1 2 3 4 5 6
lokaler Knoten 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
globaler Knoten 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
Tabelle 3.1.: Koinzidenzschema/Topologiefeld
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