3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
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<strong>3.</strong> <strong>Finite</strong>-<strong>Elemente</strong>-<strong>Methode</strong> (<strong>FEM</strong>)<br />
ũ<br />
NI<br />
1<br />
u1 u2 u3 u4 u5<br />
x1 x2 x3 x4 x5<br />
N3<br />
N4<br />
x1 x2 x3 x4 x5<br />
h1<br />
h2<br />
h3<br />
Abbildung <strong>3.</strong><strong>3.</strong>: Bereichsweise linearer Ansatz<br />
Für die virtuellen Verrückungen (Testfunktionen) wird ein analoger Ansatz gewählt (vgl.<br />
��Ð�Ö��ÒVerfahren), d.h.<br />
und<br />
δu h (x) =<br />
(δu h (x)) ′ =<br />
N�<br />
NJ(x)δuJ<br />
J=1<br />
h4<br />
x<br />
x<br />
(<strong>3.</strong>6)<br />
N�<br />
BJ(x)δuJ. (<strong>3.</strong>7)<br />
J=1<br />
Einsetzen dieser Ansätze in die schwache Form (<strong>3.</strong>1), bzw. in die erste Variation (<strong>3.</strong>2) liefert<br />
δW[u h � �<br />
l N�<br />
� �<br />
N�<br />
� � �<br />
l N�<br />
�<br />
] = BIδuI EA BJuJ dx− NIδuI pdx = 0 .<br />
0<br />
I=1<br />
J=1<br />
Da die virtuellen Verschiebungen δuI von x unabhängig sind, können sie aus der Intergration<br />
herausgezogen werden. Damit erhält man die Gleichung<br />
N�<br />
�� l N�<br />
� �<br />
l<br />
δuI BIEA BJuJ dx− NIpdx = 0 , (<strong>3.</strong>8)<br />
I=1<br />
0<br />
J=1<br />
0<br />
die für beliebige δuI gelten muss. Das bedeutet, dass die Klammer (...) verschwinden muss.<br />
Es entstehen N Gleichungen für die N unbekannten Verschiebungen uJ. Da auch diese von<br />
18<br />
0<br />
I=1
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