3. Finite-Elemente-Methode (FEM)

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
Damit lassen sich für EAe = EA = const und pe = p0 = const die Elementsteifigkeitsmatrix
K e und der Elementlastvektor F e berechnen. Wir erhalten
K e � � � �
1 − � �
he 1 1 EA 1 −1
= EAhe 1 − = (3.12)
he he
he −1 1
he
F e � � � he xe 1−
= p0 dxe = p0he
� �
1
(3.13)
2 1
Anmerkungen
0
he
xe
he
• Die Elementsteifigkeitsmatrix ist symmetrisch.
• Der Rang von K e ist 1, d.h. die Matrix ist nicht invertierbar. Den Nulleigenwerten
entsprechen die Starrkörperbewegungen.
• Die Zeilensumme und die Spaltensumme ergeben jeweils Null.
• Die resultierende Kraft ergibt sich durch F e 1 +Fe 2
= p0he.
Zur Bestimmung des Gesamtpotentials, also zum Zusammenbau des Gesamtsystems aus
den Elementen, müssen die Übergangsbedingungen (Kompatibilitäten) berücksichtigt werden.
Betrachte hierzu zwei Elemente mit den Elementnummern e−1 und e (Abbildung 3.7).
u e−1
1
(e−1)
u e−1
2
u e 1
(e)
Abbildung 3.7.: Zwei zu assemblierende Elemente
Der rechte Knoten des Elementes e − 1 und der linke Knoten des Elementes e sollen die
gleichen Verschiebungen erfahren, also
u e−1
2 = u e 1. (3.14)
Da in einem FE-Programm Knoten globale Knotennummern haben, geschieht der Zusammenbau
von lokalen und globalen Verschiebungen nach dem Schema, das in Abbildung 3.8
skizziert ist.
Das heißt
22
u e = A e u (3.15)
Bsp: e = 5 :
�
u (5)
1
u (5)
2
�
=
� 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
⎡
� ⎢
⎣
u1
u2
.
u7
⎤
⎥
⎦
u e 2