3. Finite-Elemente-Methode (FEM)

01
01
01
01
01
3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen
2l
Abbildung 3.19.: Beispiel eines durch eine Einzelkraft belasteten Balkens
Einsetzen dieser Ausdrücke in die 1. Variation (3.45) liefert dann
δΠ h e = (δue ) T
��� � le
le�
T
+ Bw −NT
�
β GĀ � �
�
Bw −N β dx u e
B
0
T
βEIB βdx � �� �
K e
MM
� le
−
0
N T
w qdx
Durch (3.47) lassen sich Biegesteifigkeitsmatrix K e
MM
ausrechnen:
K e
MM
= EI
l
K e GĀ
QQ =
l
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
�
0 0 0 0
0 1 0 −1
0 0 0 0
0 −1 0 1
β2
F
w2
0 � ��
K
�
e
QQ
. (3.47)
⎤
⎥
⎦
1 l
2 −1 l
2
l
2
l 2
3 −l
2
l 2
6
−1 − l
2 1 − l
2
l
2
K e = K e
MM +Ke
QQ
l 2
6 −l
2
l 2
3
⎤
⎥
⎦
und Querkraftsteifigkeitsmatrix Ke
QQ
(3.48)
(3.49)
. (3.50)
Als Beispiel betrachten wir den eingespannten Balken aus Abbildung 3.19. Durch die Randbedingungen
werden erste und zweite Zeile und Spalte in den jeweiligen Steifigkeitsmatrizen
gestrichen und es ergibt sich das Gesamtsystem
� � �
EI 0 0
+
2l 0 1
GĀ
�
1 −l
4
2l −l 3l2 ���
w2
β2
Das liefert die Gleichungen
− GĀ
2 w2 +
GĀ 2l w2 − GĀ
2 β2 = F ,
�
EI 2
+
2l 3 GĀl
�
β2 = 0 .
�
=
� F
0
�
33