3. Finite-Elemente-Methode (FEM)

3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
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P3
1 2 3 4 5 6
Abbildung 3.9.: Beispiel eines durch Einzelkräften belasteten Stabes
Als einfaches Beispiel betrachten wir eine Reihe von Ne Stäben mit he = const und EAe =
EA = const und erhalten die globale Steifigkeitsmatrix
K = EA
⎡
⎤
1 −1
⎢ −1 1+1 −1 ⎥
⎢ −1 1+1 −1 ⎥
⎢
h ⎢
.. .. ..
⎥ .
. . . ⎥
⎢
⎥
⎣ −1 1+1 −1 ⎦
−1 1
Greifen an einem Stabsystem zusätzlich Einzelkräfte Pi an, so werden diese auf der rechten
Seite des Gleichungssystems (3.16) berücksichtigt. Belasten wir einen Stab zum Beispiel an
den Knoten 3 und 6 (siehe Abbildung 3.9), so ergibt sich das Gleichungssystem
⎡
⎢
Ku = F = ⎢
⎣
0
0
−P3
0
0
P6
⎤
⎥
⎥.
⎥
⎦
Das stimmt mit der Formel aus dem Prinzip der virtuellen Verrückungen überein, in der die
Kräfte in folgender Weise berücksichtigt werden:
� l
δΠ = EAu ′ δu ′ � l
dx− pδudx−(−P3)δu3 −P6δu6 = 0 .
0
0
Die Finite Elemtente Methode liefert als Ergebnis das Verschiebungsfeld u. In vielen technischen
Fragestellungen sind aber nicht die Verschiebungen von Interesse, sondern z.B. die
Spannungen. Diese lassen sich aus der Lösung von (3.16) in einer Nachlaufrechnung bestimmen.
Dieser Prozess wird ” Postprocessing“ genannt. Die Spannung werden dabei aus der
Dehnung und damit aus der Ableitung der Verschiebung berechnet. Es gelten:
σ = Eε = Eu ′ ,
u e = N e u e , bzw. εe = B e u e .
Damit ergeben sich die Spannungen in einem Element zu
σe = EB e u e = EB e A e �
u = E − 1 1
he he
24
= E ue 2 −u e 1
he
�� u e 1
u e 2
. (3.19)
�
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