3. Finite-Elemente-Methode (FEM)
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<strong>3.</strong> <strong>Finite</strong>-<strong>Elemente</strong>-<strong>Methode</strong> (<strong>FEM</strong>)<br />
Hinzu kommen die Gleichgewichtsbeziehungen zwischen den Kraftgrößen. Es gilt (siehe Abbildung<br />
<strong>3.</strong>14 und vgl. TM 1)<br />
M ′ −Q = 0 (<strong>3.</strong>29)<br />
Q ′ +q = 0. (<strong>3.</strong>30)<br />
Daraus folgt direkt, dass M ′′ +q = 0.<br />
q<br />
Q Q+dQ<br />
M M +dM<br />
dx<br />
Abbildung <strong>3.</strong>14.: Gleichgewicht am deformierten Balken<br />
<strong>3.</strong>2.2.1.�ÙÐ�Ö��ÖÒÓÙÐÐ�-Balken<br />
Beim�ÙÐ�Ö��ÖÒÓÙÐÐ�-Balken wird<br />
d.h.<br />
davon ausgegangen, dass der Balken schubstarr ist,<br />
γ = w ′ −β = 0 ❀ w ′ = β (<strong>3.</strong>31)<br />
Dadurch geht in (<strong>3.</strong>27) das Stoffgesetz verloren und die Querkraft ist nur durch die Gleichgewichtsbeziehung<br />
(<strong>3.</strong>29)bestimmt.Verwendet man(<strong>3.</strong>31),soergibtsichfürdasBiegemoment<br />
aus (<strong>3.</strong>25) und (<strong>3.</strong>28) die Gleichung<br />
M = −EIw ′′<br />
(<strong>3.</strong>32)<br />
MitderBedingungM ′′ +q = 0folgtsomitdieVerschiebungsdifferentialgleichungdes�ÙÐ�Ö<br />
��ÖÒÓÙÐÐ�-Balkens (EIw ′′ ) ′′ −q = 0. (<strong>3.</strong>33)<br />
Nun können wir auch das Potential für einen�ÙÐ�Ö��ÖÒÓÙÐÐ�-Balken aufstellen. Für<br />
verschwindende Randlasten gilt<br />
Π[w] = 1<br />
� l<br />
EIw<br />
2 0<br />
′′2 � l<br />
dx− qwdx → min (<strong>3.</strong>34)<br />
0<br />
und die erste Variation bzw. Schwache Form lautet<br />
� l<br />
δΠ[w] = EIw ′′ δw ′′ � l<br />
dx− qδwdx = 0. (<strong>3.</strong>35)<br />
28<br />
0<br />
0
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