3. Finite-Elemente-Methode (FEM)

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3. Finite-Elemente-Methode (FEM) 01 01 01 01 01 01 01 01 01 P3 1 2 3 4 5 6 Abbildung 3.9.: Beispiel eines durch Einzelkräften belasteten Stabes Als einfaches Beispiel betrachten wir eine Reihe von Ne Stäben mit he = const und EAe = EA = const und erhalten die globale Steifigkeitsmatrix K = EA ⎡ ⎤ 1 −1 ⎢ −1 1+1 −1 ⎥ ⎢ −1 1+1 −1 ⎥ ⎢ h ⎢ .. .. .. ⎥ . . . . ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −1 1+1 −1 ⎦ −1 1 Greifen an einem Stabsystem zusätzlich Einzelkräfte Pi an, so werden diese auf der rechten Seite des Gleichungssystems (3.16) berücksichtigt. Belasten wir einen Stab zum Beispiel an den Knoten 3 und 6 (siehe Abbildung 3.9), so ergibt sich das Gleichungssystem ⎡ ⎢ Ku = F = ⎢ ⎣ 0 0 −P3 0 0 P6 ⎤ ⎥ ⎥. ⎥ ⎦ Das stimmt mit der Formel aus dem Prinzip der virtuellen Verrückungen überein, in der die Kräfte in folgender Weise berücksichtigt werden: � l δΠ = EAu ′ δu ′ � l dx− pδudx−(−P3)δu3 −P6δu6 = 0 . 0 0 Die Finite Elemtente Methode liefert als Ergebnis das Verschiebungsfeld u. In vielen technischen Fragestellungen sind aber nicht die Verschiebungen von Interesse, sondern z.B. die Spannungen. Diese lassen sich aus der Lösung von (3.16) in einer Nachlaufrechnung bestimmen. Dieser Prozess wird ” Postprocessing“ genannt. Die Spannung werden dabei aus der Dehnung und damit aus der Ableitung der Verschiebung berechnet. Es gelten: σ = Eε = Eu ′ , u e = N e u e , bzw. εe = B e u e . Damit ergeben sich die Spannungen in einem Element zu σe = EB e u e = EB e A e � u = E − 1 1 he he 24 = E ue 2 −u e 1 he �� u e 1 u e 2 . (3.19) � P6
3.2. FE Diskretisierung gewöhnlicher Differentialgleichungen u e 1 (e) he Abbildung 3.10.: Knotenverschiebungen auf Elementebene Anmerkung Wir werden aus (3.19) immer eine konstante Spannung im Element σe = const erhalten. Für p(x) �= 0 kann das nur eine Näherung darstellen. Bei konstanter Spannung ist die Normalkraft im Element ebenfalls konstant und es besteht der Zusammenhang u Ne = σeAe = EAe e 2 −ue1 . he Bis hierhin haben wir nur Stäbe betrachtet, deren Lage mit der Koordinatenrichtung zusammenfällt. Für Fachwerke dagegen ist die Einbeziehung von gedrehten Stäben, d.h. die Beschreibung von Stäben in beliebiger Lage notwendig. Betrachte dazu einen um den Winkel α gedrehten Stab, wie er in Abbildung 3.11 dargestellt ist. y x u e 1 u e 1,x 1 ¯x u e 1,y Wir erkennen die Beziehungen he, EA α 2 u e 2 u e 2 u e 2,x u e 2,y Abbildung 3.11.: Stab in allgemeiner Lage u e 2 α u2,x u e 1,x = ue 1 cosα ue 2,x = ue 2 cosα u e 1,y = ue 1 sinα ue 2,y = ue 2 sinα u e 1 = ue 1,x cosα+ue 1,y sinα ue 2 = ue 2,x cosα+ue 2,y sinα · u2,y α 25
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