Bachelorarbeit - Digitale Bibliothek - Hochschule Neubrandenburg

3. Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung
zusammengefasst. Um den Widerspruch in Gleichung (3.4) zu beseitigen, wird ein
Vektor mit genäherten Beobachtungen L0 eingeführt, so dass
gilt. Das funktionale Modell der Ausgleichung
F(L0, X0) =0 (3.5)
F(ˆL, ˆX) =0 (3.6)
kann durch eine Taylorentwicklung in ein lineares funktionales Modell transformiert
werden, für das die partiellen Ableitungen nach den Beobachtungen und den Unbekannten
zu bilden sind:
F(ˆL, ˆX)
∂F(L, X0) ∂F(L, X0)
=F(L, X0)+ (ˆL − L)+ ( ˆX − X0) =0. (3.7)
∂L
∂X0
Die partiellen Ableitungen lassen sich jeweils in einer Matrix zusammenfassen; für die
Unbekannten (X1,X2,...,Xu) in der A-Matrix (Designmatrix)
⎡
⎢
A = ⎢
⎣
∂F1(L,X)
∂X1
∂F2(L,X)
∂X1
.
∂Fr(L,X)
∂X1
∂F1(L,X)
∂X2
∂F2(L,X)
∂X2
.
∂Fr(L,X)
∂X2
···
···
. ..
···
⎤
∂F1(L,X)
∂Xu ⎥
∂F2(L,X) ⎥
∂Xu ⎥
. ⎥
⎦
∂Fr(L,X)
∂Xu
und für die Beobachtungen (L1,L2,...,Ln) in der B-Matrix
⎡
⎢
B = ⎢
⎣
∂F1(L,X)
∂L1
∂F2(L,X)
∂L1
.
∂Fr(L,X)
∂L1
∂F1(L,X)
∂L2
∂F2(L,X)
∂L2
.
∂Fr(L,X)
∂L2
···
···
. ..
···
(3.8)
⎤
∂F1(L,X)
∂Ln ⎥
∂F2(L,X) ⎥
∂Ln ⎥ . (3.9)
. ⎥
⎦
∂Fr(L,X)
∂Ln
In einer übersichtlicheren Schreibweise lässt sich (3.7) mit den beiden Matrizen wie
folgt darstellen:
Aˆx + Bv + w = 0. (3.10)
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